1c d ipſius a f ex Euclide.
Dico ergo quod maior eſt proportio a b
149[Figure 149]
ad c d, quàm a e ad e f, fiat d g ad quam ſit b c ut
a b ad c d, eritque a e ad c g ut a b ad c d, minor au
tem eſt a e ad c f, quam ad c g, igitur minor a e ad
c f quàm a b ad c d quod fuit propoſitum. Simili
ter ſi fuerint duæ quantitates, a b & c d, quarum a b ſit maiore, c d
autem eadem e minor, dico, quòd dimidium aggregati a b & c d
maiorem habebit proportionem ad e, quàm c d & minor, nam iun
cta b f æquali d e ad a b, ita ut f g ſit dimidium totius a f, qùia ergo
150[Figure 150]
f g eſt dimidium f a & fb eſt minor dimidio
f a cum ſit minor b a, & ſimiliter f g eſt mi
nor a b, quia a b eſt maior dimidio a f, quia
eſt maior b f, ergo proportio g f ad c eſt ma
ior quam b f ad e, ita quam c d ad e, & mi
nor quàm a b ad e, quod fuit propoſitum. Quo uiſo uolo <02> 1000
quadratam, & quòd de quadrata dico, dico etiam de alijs radici
bus & erit ex ſecunda regula harum 31 39/62 & quadratum erit 1000
1521/3844. Iuxta ergo primam partem regulæ 31 38/61 erit minus, & in ueritate
in eo, quod fit ducendo, ut uides, & hoc eſt pro
151[Figure 151]
ximum ad 11/160, multiplico igitur duplum 31 39/62,
quod eſt fermè 63 1/4 in 1/160 fient 63/160 detrahe ex
1521/3844 hoc modo, diuide 3844 per 160 exit 24 /40
diuide 1521 per 24, exit 63 3/8, habes igitur quod
1521/3844 ſunt 63/160, igitur detracto 63/160 ex 63/160 nihil relinquitur, & erit <02> exa
cta ualde 1000 hoc 31 38/61 cuius quadratum 1000 41/3421 uides breuita
tem, & propinquitatem in producto differentia eſt 1/100 aut parum
maius quod ad radicem comparatum cum debeat diuidi per du
plum eius erit paulo maius 1/6300. Vnde facilior eſt, & breuior hæc
uia quàm per 00 additus. Rurſus uolo aliquid adimere & cum pro
pinquitate ita facio. Conſidero quòd 31 38/61 eſt maius 1/6300 radice, di
uido 6300 per 62 exit 103 fermè, neque enim curo in hoc fractiones,
multiplico ergo 103 in 38/61 & habeo 3914/6283 hic denominator eſt proxi
mus 6300, aufero ergo 1 ex 3914, habebo ualde proximam <02> 1000,
31 3913/6283 cuius quadratum eſt 1000 minus 1/1048 hoc ut dixi diuiſum
per duplum <02> quod eſt 63 eſt omnino inſenſile in radice.
149[Figure 149]
ad c d, quàm a e ad e f, fiat d g ad quam ſit b c ut
a b ad c d, eritque a e ad c g ut a b ad c d, minor au
tem eſt a e ad c f, quam ad c g, igitur minor a e ad
c f quàm a b ad c d quod fuit propoſitum. Simili
ter ſi fuerint duæ quantitates, a b & c d, quarum a b ſit maiore, c d
autem eadem e minor, dico, quòd dimidium aggregati a b & c d
maiorem habebit proportionem ad e, quàm c d & minor, nam iun
cta b f æquali d e ad a b, ita ut f g ſit dimidium totius a f, qùia ergo
150[Figure 150]
f g eſt dimidium f a & fb eſt minor dimidio
f a cum ſit minor b a, & ſimiliter f g eſt mi
nor a b, quia a b eſt maior dimidio a f, quia
eſt maior b f, ergo proportio g f ad c eſt ma
ior quam b f ad e, ita quam c d ad e, & mi
nor quàm a b ad e, quod fuit propoſitum. Quo uiſo uolo <02> 1000
quadratam, & quòd de quadrata dico, dico etiam de alijs radici
bus & erit ex ſecunda regula harum 31 39/62 & quadratum erit 1000
1521/3844. Iuxta ergo primam partem regulæ 31 38/61 erit minus, & in ueritate
in eo, quod fit ducendo, ut uides, & hoc eſt pro
151[Figure 151]
ximum ad 11/160, multiplico igitur duplum 31 39/62,
quod eſt fermè 63 1/4 in 1/160 fient 63/160 detrahe ex
1521/3844 hoc modo, diuide 3844 per 160 exit 24 /40
diuide 1521 per 24, exit 63 3/8, habes igitur quod
1521/3844 ſunt 63/160, igitur detracto 63/160 ex 63/160 nihil relinquitur, & erit <02> exa
cta ualde 1000 hoc 31 38/61 cuius quadratum 1000 41/3421 uides breuita
tem, & propinquitatem in producto differentia eſt 1/100 aut parum
maius quod ad radicem comparatum cum debeat diuidi per du
plum eius erit paulo maius 1/6300. Vnde facilior eſt, & breuior hæc
uia quàm per 00 additus. Rurſus uolo aliquid adimere & cum pro
pinquitate ita facio. Conſidero quòd 31 38/61 eſt maius 1/6300 radice, di
uido 6300 per 62 exit 103 fermè, neque enim curo in hoc fractiones,
multiplico ergo 103 in 38/61 & habeo 3914/6283 hic denominator eſt proxi
mus 6300, aufero ergo 1 ex 3914, habebo ualde proximam <02> 1000,
31 3913/6283 cuius quadratum eſt 1000 minus 1/1048 hoc ut dixi diuiſum
per duplum <02> quod eſt 63 eſt omnino inſenſile in radice.
Per 11.
quinti Elem.
amplificatam.
quinti Elem.
amplificatam.
Quinta regula eſt omnium pulcherrima, & eſt communis omni
bus & fractis & integris & omnibus generibus radicum, & ſit ex
emplum, uolo <02> radicis ſupraſcriptæ ſcilicet 31 3913/6283 multiplico 31
in 6283, & fit 194793, cui addo 3913, fit 198686 manifeſtum eſt igi
tur, quod 198686/6283 æquiualet 31 3913/6283 hoc facto, quod eſt commune
bus & fractis & integris & omnibus generibus radicum, & ſit ex
emplum, uolo <02> radicis ſupraſcriptæ ſcilicet 31 3913/6283 multiplico 31
in 6283, & fit 194793, cui addo 3913, fit 198686 manifeſtum eſt igi
tur, quod 198686/6283 æquiualet 31 3913/6283 hoc facto, quod eſt commune