1a b, & latus eius detracto dimidio reſidui erit b c linea, quare diui
ſio nota, & eſt ut dicamus : uolo diuidere datam lineam, ut quantita
tes adiectæ ſub mutua proportione ad unam tertiam cum parti
bus obtineant inter ſe proportionem datam.
ſio nota, & eſt ut dicamus : uolo diuidere datam lineam, ut quantita
tes adiectæ ſub mutua proportione ad unam tertiam cum parti
bus obtineant inter ſe proportionem datam.
Per 1. ſecun
di Element.
di Element.
Propoſitio centeſima quadrageſima nona.
Datam lineam ſic diuidere, ut proportio quadratorum ad du
plum unius partis in alteram ſit, ut lineę datæ ad lineam datam.
plum unius partis in alteram ſit, ut lineę datæ ad lineam datam.
Sit data a b quam uolo diuidere, ut proponitur ſub proportio
ne c d ad e, diuido a b bifariam in f, & abſcindo
160[Figure 160]
g d æqualem d e, & inter c g reſiduum & c e inter
pono proportione, & ut h ad c g ita a f medietatis a b ad fk. Omnia
iſta ſunt notiſsima ex primo & ſexto Elemento
161[Figure 161]
rum Euclidis. Si ergo abſcindantur fk ex fa, dico
quod proportio quadratorum l k & k a ad du
plum rectanguli a k in k b eſt ut c d ad d e. Quia. n. c e ad c g dupli
cata eſt ei quę eſt h ad c g, duplicata eſt etiam ei quæ eſt f a ad fk, qua
re ut quadrati a f ad fk, ita c e ad c g, igitur diſiungendo c g ad g e ut
reſidui quadrati k f ad reſiduum quadrati a f, quare c g ad g d ut
quadrati k f ad dimidium reſidui quadrati a f, igitur coniunctim c d
ad d g ut quadrati k f & dimidij reſidui quadrati a f ad ipſum dimi
dium reſidui. At uerò cum g d ſit æqualis d e, erit c d ad d e ut qua
drati k f cum dimidio reſidui ſæpius dicti ad ipſum dimidium reſi
dui. Igitur etiam ut dupli quadrati k f cum reſiduo ad reſiduum, ſunt
enim omnia duplicata. At duplum quadrati k f cum reſiduo eſt æqua
le quadratis a f & f k, igitur quadratorum a f & f k ad differentiam
eo rum proportio eſt ut c d ad d e, igitur dupli quadratorum a f &
f k ad duplum differentiæ quadratorum a f & fk ut c d ad d e. Ve
rum duplum quadratorum a f & f k æquatur quadratis b k & k a.
Et duplum differentiæ quadratorum a f & fk eſt ęquale duplo pro
ducti b k in k a, igitur proportio quadratorum k b & k a ad duplum
producti k b in k a eſt ueluti c d ad d e, quod eſt propoſitum.
ne c d ad e, diuido a b bifariam in f, & abſcindo
160[Figure 160]g d æqualem d e, & inter c g reſiduum & c e inter
pono proportione, & ut h ad c g ita a f medietatis a b ad fk. Omnia
iſta ſunt notiſsima ex primo & ſexto Elemento
161[Figure 161]rum Euclidis. Si ergo abſcindantur fk ex fa, dico
quod proportio quadratorum l k & k a ad du
plum rectanguli a k in k b eſt ut c d ad d e. Quia. n. c e ad c g dupli
cata eſt ei quę eſt h ad c g, duplicata eſt etiam ei quæ eſt f a ad fk, qua
re ut quadrati a f ad fk, ita c e ad c g, igitur diſiungendo c g ad g e ut
reſidui quadrati k f ad reſiduum quadrati a f, quare c g ad g d ut
quadrati k f ad dimidium reſidui quadrati a f, igitur coniunctim c d
ad d g ut quadrati k f & dimidij reſidui quadrati a f ad ipſum dimi
dium reſidui. At uerò cum g d ſit æqualis d e, erit c d ad d e ut qua
drati k f cum dimidio reſidui ſæpius dicti ad ipſum dimidium reſi
dui. Igitur etiam ut dupli quadrati k f cum reſiduo ad reſiduum, ſunt
enim omnia duplicata. At duplum quadrati k f cum reſiduo eſt æqua
le quadratis a f & f k, igitur quadratorum a f & f k ad differentiam
eo rum proportio eſt ut c d ad d e, igitur dupli quadratorum a f &
f k ad duplum differentiæ quadratorum a f & fk ut c d ad d e. Ve
rum duplum quadratorum a f & f k æquatur quadratis b k & k a.
Et duplum differentiæ quadratorum a f & fk eſt ęquale duplo pro
ducti b k in k a, igitur proportio quadratorum k b & k a ad duplum
producti k b in k a eſt ueluti c d ad d e, quod eſt propoſitum.
Co^{m}.
Per 9. ſecun
di Elem.
di Elem.
Per 5. ſecun
di Elem.
di Elem.
Propoſitio centeſima quinquageſima.
Propoſitis duabus lineis lineam communem
162[Figure 162]
utrique adiungere, ut ſit maioris ad additam pro
portio, uelut quadratorum minoris & adiectæ
ad duplum unius in alteram.
162[Figure 162]utrique adiungere, ut ſit maioris ad additam pro
portio, uelut quadratorum minoris & adiectæ
ad duplum unius in alteram.
Hæc eſt quaſi conuerſa præcedentis.
Sit a ma
ior, & b c minor, & fiat b d dupla b c, ſuper quam
erigatur b f æqualis a; & ſit rectangulum d f &
deſcribatur quadratum b c quod ſit b g reſiduę
ſuperficiei ad d f latus ſit h, dico h eſſe lineam quæſitam. Superficies
ior, & b c minor, & fiat b d dupla b c, ſuper quam
erigatur b f æqualis a; & ſit rectangulum d f &
deſcribatur quadratum b c quod ſit b g reſiduę
ſuperficiei ad d f latus ſit h, dico h eſſe lineam quæſitam. Superficies