SCHOLIVM
Ex hoc pater qualiter ex uera demonſtratione ſenſu oſtenſa per
uenimus ad quotquot imaginando, inde intellectu abiectis condi
tionibus non neceſſarijs facimus infinitum & uniuerſale. Demum
ſine artis ſpecialis auxilio oſtendimus theorema uniuerſale (quod
etiam poterat oſtendi Geometricè, ſed longè pulchrius eſt, ac ſubli
mius per περιλαμπουσιν, qua hoc ipſo infinita alia docemus generaliter
per ſimplicem comprehenſionem oſtendere) ſcilicet quod à quouis
puncto peripherię circuli, cuius ſemidiameter eſt media proportio
ne inter totam extenſam à centro uſque exterius, & partem quæ' eſt à
centro ad punctum deſcriptum ſub proportione continua datarum
linearum lineæ ductæ ex eo ad punctum exterius, & punctum de
ſcriptum ſunt in proportione datarum linearum.
uenimus ad quotquot imaginando, inde intellectu abiectis condi
tionibus non neceſſarijs facimus infinitum & uniuerſale. Demum
ſine artis ſpecialis auxilio oſtendimus theorema uniuerſale (quod
etiam poterat oſtendi Geometricè, ſed longè pulchrius eſt, ac ſubli
mius per περιλαμπουσιν, qua hoc ipſo infinita alia docemus generaliter
per ſimplicem comprehenſionem oſtendere) ſcilicet quod à quouis
puncto peripherię circuli, cuius ſemidiameter eſt media proportio
ne inter totam extenſam à centro uſque exterius, & partem quæ' eſt à
centro ad punctum deſcriptum ſub proportione continua datarum
linearum lineæ ductæ ex eo ad punctum exterius, & punctum de
ſcriptum ſunt in proportione datarum linearum.
Propoſitio centeſima quinquageſima quinta.
Quadratorum numerorum proportionem & inuentionem conſiderare.
172[Figure 172]
Primùm oportet ſcire eſſe tres naturales
numerorum ſeries, primam Euclidis iuxta
numerorum ſeries, primam Euclidis iuxta
quamuis proportionem, in qua unum & ter
tius & quintus, & ita uno ſemper intermiſ
ſo ſunt quadrati. Primus quo que. 1. unum &
quartus & ſeptimus & ita duobus intermiſsis ſunt cubi. In ſecun
do ordine eſt naturalis ſeries numerorum, ex qua colligitur alia, &
ex illa bini quilibet ſe ſequentes conſtituunt numerum quadratum.
In tertia numeri impares, qui ſemper collati efficiunt quadratum.
Exemplum 1.
173[Figure 173]
Sit ergo propoſitus numerus cui uelim
addere quadratum numerum, ut fiat qua
dratus totus, accipe numerum quadratum
minorem illo quem uis, & detrahe à propo
ſito numero ſeu quadrato ſeu non reſidu
um, diuide per duplum <02> quadrati quod
detraxiſti, q̊d exit duc in ſe fiet quadratus numerus, idem que additus
numero propoſito, faciet quadratum. Velut capio 16 qui eſt qua
dratus, aufero 9 quadratum minorem relinquitur 7, diuido per 6 du
plum <02> 9, exit 1 1/6 quadratum eius eſt 1 13/36 qui additus ad 16 facit 17 13/36
quadratum cuius <02> eſt 4 1/6.
addere quadratum numerum, ut fiat qua
dratus totus, accipe numerum quadratum
minorem illo quem uis, & detrahe à propo
ſito numero ſeu quadrato ſeu non reſidu
um, diuide per duplum <02> quadrati quod
detraxiſti, q̊d exit duc in ſe fiet quadratus numerus, idem que additus
numero propoſito, faciet quadratum. Velut capio 16 qui eſt qua
dratus, aufero 9 quadratum minorem relinquitur 7, diuido per 6 du
plum <02> 9, exit 1 1/6 quadratum eius eſt 1 13/36 qui additus ad 16 facit 17 13/36
quadratum cuius <02> eſt 4 1/6.
Exemplum 2.
Exemplum 3.
Ex hoc patet propoſito quouis numero quadrato modus inuenien
di infinitos numeros quadratos qui cum illo iuncti facient quadratum.
di infinitos numeros quadratos qui cum illo iuncti facient quadratum.
Cor^{m}. 1.
SCHOLIVM.
Poſſem adducere demonſtrationes omnium horum, ſed reddere
tur res longa cum ſint manifeſtę ex ſeptimo octauo & nono Euclidis.
Exemplum ſecundum capio modò 14 qui non eſt quadratus, aufe
ro 9, remanet 5, diuido per 6 duplum <02> 9 exit 5/6 quadratum eius eſt 25/36
tur res longa cum ſint manifeſtę ex ſeptimo octauo & nono Euclidis.
Exemplum ſecundum capio modò 14 qui non eſt quadratus, aufe
ro 9, remanet 5, diuido per 6 duplum <02> 9 exit 5/6 quadratum eius eſt 25/36