1g c dupla toti e a.
quare ut g c ad g d ut e a ad e b permutando, & per
euerſam ut e a ad a b, ita g c ad c d, ut g c ad c d componitur ex g e ad
f e, & f c ad c d, igitur e a ad c b componitur ex eiſdem. Proportio
autem g c ad f c eſt minor, quam f c ad c d, igitur minor quàm du
plicata f c ad c d. conſtat uerò ex eiſdem, quod proportio c a ad a b
maior eſt duplicata g c ad f c.
euerſam ut e a ad a b, ita g c ad c d, ut g c ad c d componitur ex g e ad
f e, & f c ad c d, igitur e a ad c b componitur ex eiſdem. Proportio
autem g c ad f c eſt minor, quam f c ad c d, igitur minor quàm du
plicata f c ad c d. conſtat uerò ex eiſdem, quod proportio c a ad a b
maior eſt duplicata g c ad f c.
Propoſitio centeſima trigeſima tertia.
Si fuerint duæ quantitates, quarum una alteri dupla ſit: minua
tur à minore quædam quantitas eademque maiori addatur, erit mino
ris ad reſiduum maior proportio, quam aggregati ad maiorem duplicata.
Si uerò minori addatur et à maiore detrahatur, erit aggregati ad mi
nore m minor proportio quàm maioris ad reſiduum duplicata.
tur à minore quædam quantitas eademque maiori addatur, erit mino
ris ad reſiduum maior proportio, quam aggregati ad maiorem duplicata.
Si uerò minori addatur et à maiore detrahatur, erit aggregati ad mi
nore m minor proportio quàm maioris ad reſiduum duplicata.
Com.
139[Figure 139]
Sit a b dupla c d, & addatur quæ
dam ad b a, quę ſit a g, eadem detraha
tur ex c d & ſit c h, dico, quod propor
tio e d ad d h maior eſt, quam duplica
ta g b ad a b, & rurſus ſi quædam ad c & minuatur ex a b utpotè
c f addatur c d, & a e minuatur ex a b, erit proportio f d ad c d mi
nor duplicata a b ad g e. Primum ſic reſecentur a n & k l æquales ſin
gulæ c h, igitur a l dupla eſt e h & a b fuit dupla a d, c d igitur ut in
priore conſtitutioné præcedentis a b ad l b, ut c d ad h d & a b ad
b l maior, quam duplicata a b ad b k ut minor quàm k b ad b l. hoc
enim demonſtratum eſt in fine, igitur c d ad h d maior, quàm du
plicata a k ad k b, ſed a k ad k b maior eſt per uigeſimam tertiam, hu
ius ſcilicet per demonſtrationem illius, quàm g b ad b a, igitur mul
to maior c d ad d h, quàm duplicata g b ad b a, quod eſt primum.
dam ad b a, quę ſit a g, eadem detraha
tur ex c d & ſit c h, dico, quod propor
tio e d ad d h maior eſt, quam duplica
ta g b ad a b, & rurſus ſi quædam ad c & minuatur ex a b utpotè
c f addatur c d, & a e minuatur ex a b, erit proportio f d ad c d mi
nor duplicata a b ad g e. Primum ſic reſecentur a n & k l æquales ſin
gulæ c h, igitur a l dupla eſt e h & a b fuit dupla a d, c d igitur ut in
priore conſtitutioné præcedentis a b ad l b, ut c d ad h d & a b ad
b l maior, quam duplicata a b ad b k ut minor quàm k b ad b l. hoc
enim demonſtratum eſt in fine, igitur c d ad h d maior, quàm du
plicata a k ad k b, ſed a k ad k b maior eſt per uigeſimam tertiam, hu
ius ſcilicet per demonſtrationem illius, quàm g b ad b a, igitur mul
to maior c d ad d h, quàm duplicata g b ad b a, quod eſt primum.
Secundum ſic per eadem, addito enim duplo f c ipſi
140[Figure 140]
a b ut in ſecunda figura, & ſint a m, & m n erit f d ad c d,
ut n a ad a b, quare cum n a ad a b ſit minor duplicata per
præcedentem in b ad a b, & a b ad e b ſit maior, ut demon
ſtratum eſt in uigeſima tertia huius, quàm m b ad a b, erit
f d ad d c multo minor duplicata a b ad b e, quod eſt ſe
cundum.
140[Figure 140]a b ut in ſecunda figura, & ſint a m, & m n erit f d ad c d,
ut n a ad a b, quare cum n a ad a b ſit minor duplicata per
præcedentem in b ad a b, & a b ad e b ſit maior, ut demon
ſtratum eſt in uigeſima tertia huius, quàm m b ad a b, erit
f d ad d c multo minor duplicata a b ad b e, quod eſt ſe
cundum.
Propoſitio centeſima trigeſima quarta.
Si rectangula ſuperficies ſit cuius pars tertia quadrata ſit, corpus
quod ex latere quadratæ in reſiduum ſuperficiei conſtat maius eſt
quouis corpore ex eadem ſuperficies aliter diuiſa conſtituto.
quod ex latere quadratæ in reſiduum ſuperficiei conſtat maius eſt
quouis corpore ex eadem ſuperficies aliter diuiſa conſtituto.
Sit rectangulum a c cuius tertia pars c e ſit quadrata, dico quod
corpus, quod conſtat ex e d in a b eſt maius omni corpore, quod fue
rit ex latere partis ſuperficiei a b in reliquam partem. Si non diuidatur
uel ſupra uel infra, & primo in f erit autem proportio e d ad d f, ut e c ad
corpus, quod conſtat ex e d in a b eſt maius omni corpore, quod fue
rit ex latere partis ſuperficiei a b in reliquam partem. Si non diuidatur
uel ſupra uel infra, & primo in f erit autem proportio e d ad d f, ut e c ad