1c b ad b d, uelut g a ad a d, & hoc eſt primum.
Quia ergo c a eſt æ
qualis c b, erit c a ad b d, uelut g a ad a d, & iam fuit a d ad c a, ut b d
ad f b, per conuerſam igitur a d ad b d, ut g a ad a d, & ut b d ad fb,
interpoſitis ergo a d & d b inter a g & b f cum compoſita ſit pro
portio a g ad b f ex proportione a g ad a d, & ad d b, & d b
ad b f, & proportio a d ad d b, ſit æqualis proportioni
165[Figure 165]
a g ad a d, & d b ad b f, igitur proportio a g ad b f. Per de
monſtrata ab Alchindo eſt duplicata proportioni a d ad
d b quod eſt ſecundum. Rurſus quia ex primo demon
ſtrato, uel eius conuerſo proportio a d ad a c eſt uelut b d
ad b f, & d b ad a c, ut a d ad a g, proportiones ergo
166[Figure 166]
a d & d b ad a c componunt proportionem produ
cti a d in d b, quod ſit h ad quadratum a c quod ſit
k, & ſimiliter proportio b d ad b f & a d ad a g com
ponunt proportionem producti ex b d in a d, quod
ſit l ad productum b f in a g, quod ſit m, per demonſtrata ab Eucli
de in ſexto Elementorum, igitur proportio h ad k ut l ad m, ſed h &
qualis c b, erit c a ad b d, uelut g a ad a d, & iam fuit a d ad c a, ut b d
ad f b, per conuerſam igitur a d ad b d, ut g a ad a d, & ut b d ad fb,
interpoſitis ergo a d & d b inter a g & b f cum compoſita ſit pro
portio a g ad b f ex proportione a g ad a d, & ad d b, & d b
ad b f, & proportio a d ad d b, ſit æqualis proportioni
165[Figure 165]a g ad a d, & d b ad b f, igitur proportio a g ad b f. Per de
monſtrata ab Alchindo eſt duplicata proportioni a d ad
d b quod eſt ſecundum. Rurſus quia ex primo demon
ſtrato, uel eius conuerſo proportio a d ad a c eſt uelut b d
ad b f, & d b ad a c, ut a d ad a g, proportiones ergo
166[Figure 166]a d & d b ad a c componunt proportionem produ
cti a d in d b, quod ſit h ad quadratum a c quod ſit
k, & ſimiliter proportio b d ad b f & a d ad a g com
ponunt proportionem producti ex b d in a d, quod
ſit l ad productum b f in a g, quod ſit m, per demonſtrata ab Eucli
de in ſexto Elementorum, igitur proportio h ad k ut l ad m, ſed h &
l ſunt æquales, quia producuntur ex eiſdem, igitur per demonſtra
ta in quinto Elementorum Euclidis, k eſt æquale m, ergo a c eſt me
dia pro portione inter b f & g a, quod eſt tertium. Quia uerò ex pri
mo demonſtrato eſt fb ad b d, ut a c ad a d, & c b ad idem b d, ut g a
ad idem a d erit coniungendo fb & b c ad b d, ut coniun
167[Figure 167]gendo g a & a c ad a d, ſed fb & b c componunt f c & g a,
& a c componunt g c, igitur ut f c ad b d, ita g c ad a d, er
go permutando g c ad f c, ut a d ad b d, quod eſt quartum.
In Prop. 23
Propoſ. 9.
Propoſ. 9.
Cum ergo punctum d fuerit datum, licet inuenire a g & b f, faci
lè, ut Archimedes præſupponit proportionem g d ad d f datam &
quærit eam, quæ eſt a d ad d b, & peruenitur ad res numero triplo
quadrati dimidij lineæ aſſumptæ æquales cubo & numero, qui ſit
ex duplo cubi dimidij in 1 m: ipſa proportione, & quod produci
tur diuiſo per 1 p: ipſa proportione. Veluti poſita a b 10, & propor
tione quam uolo g d ad d f ſexcupla, duco 5 dimidium 10 in ſe fit 25,
& triplico, fit 75 numerus rerum. Inde duco 5 idem dimidium ad
cubum fit 125, duplico fit 250, duco in 5, qui eſt 1 m: proportione fit
1250, diuido per 7, qui eſt 1 p: proportione exit 178 4/7 numerus, qui
cum cubo æquatur 75 rebus. Cum ergo conſtituta fuerit diuiſio in
c, non recipit proportionem g d ad f d quam uolueris, ſed ſequitur
una ſola ad illam, & eſt mirabile, quoniam lineę uidentur ſumi liberè.
Sed non eſt ita. Et etiam quia Archimedes uidetur aſſumere aliam lineam,
ſed non inueſtigat eam, imò oſtendit eam ex aſſumptis. At Eutoci
us oſtendit ambas, unam ex propria inuentione, aliam ex Diocle, ſed
lè, ut Archimedes præſupponit proportionem g d ad d f datam &
quærit eam, quæ eſt a d ad d b, & peruenitur ad res numero triplo
quadrati dimidij lineæ aſſumptæ æquales cubo & numero, qui ſit
ex duplo cubi dimidij in 1 m: ipſa proportione, & quod produci
tur diuiſo per 1 p: ipſa proportione. Veluti poſita a b 10, & propor
tione quam uolo g d ad d f ſexcupla, duco 5 dimidium 10 in ſe fit 25,
& triplico, fit 75 numerus rerum. Inde duco 5 idem dimidium ad
cubum fit 125, duplico fit 250, duco in 5, qui eſt 1 m: proportione fit
1250, diuido per 7, qui eſt 1 p: proportione exit 178 4/7 numerus, qui
cum cubo æquatur 75 rebus. Cum ergo conſtituta fuerit diuiſio in
c, non recipit proportionem g d ad f d quam uolueris, ſed ſequitur
una ſola ad illam, & eſt mirabile, quoniam lineę uidentur ſumi liberè.
Sed non eſt ita. Et etiam quia Archimedes uidetur aſſumere aliam lineam,
ſed non inueſtigat eam, imò oſtendit eam ex aſſumptis. At Eutoci
us oſtendit ambas, unam ex propria inuentione, aliam ex Diocle, ſed