1integri ex ratione dicta, quia oporteret ut eſſent ambo impares aut
pares, & ſic differrent numero pari, ergo oporteret ut eſſet unus me
dius numerus quad. ſunt & alię rationes, ſed neque unus poſſet eſſe inte
ger, & alius fractus, non eſſet. n. 6 numerus integer: relinquitur ergo ut
ſint duo fracti: ſed in numeris fractis quad. deductis ad minimas deno
minationes operum, ut tam denominator <08> numerator habeat radi
ces, ergo oportet q̊d hoc ſit in illis, & quia iuncti debent facere inte
gros 6, neceſſe eſt ut denominator ſit unus, & idem in utroque, et q̊d nu
meratores ſimul iuncti ſint ſexcuplum denominatoris, ſi fracti debent
ęquipollere 6, ergo ille denominator cum ſit quad. & numeratores am
bo ſint quad. & ſint ſexcuplum denominatoris, oportebit inuenire nu
merum quad. qui ductus in 6, faciat numerum qui componitur ex duob. quad.
aut componitur ęqualiter, ergo proportio medietatis ad medietatem 6, eſt
ueluti totius ad 6, ſed totu continet 6 in quad. quia ex 6 in quad. fit totum,
ergo ex medietate in quad. idem fit medietas, ſed medietas eſt nume
rus quad. ergo 3 eſſet numerus quad. quod eſt falſum, oportet igitur ut nume
ri illi ſint inæ quales, & ut 6 diuidatur in duas partes inęquales, hoc
aut fit diuidendo quemlibet numerum parem, qui componitur ex duob.
numeris quad. nam ſi eſſet impar, non poſſet prodire numerus integer, &
cum prouenerit numerus quad. ille erit quem quęrimus, nam diuiſo 6 per to
tum illum numerum, inde q̊d prouenit multiplicato per numeros quad,
componentes illum numerum productum, producuntur partes 6, quæ erunt
numeri quad. quia denominator utriuſque partis ex ſuppoſito eſt nume
rus quadratus, qui multiplicatus eſt per 6, & numeratores ſunt nume
ri quadrati, qui componebant numerum productum, et tales partes ęquantur
6, quia numerus productus componitur ex numeratoribus, & produ
citur tale compoſitum ex 6 in denominatorem, & hic eſt diuiſus per deno
minatorem, ergo prouenit 6, ſi emm multiplicato 3 in 4 fit 12, diuiſo 12 per
4, exit neceſſario idem 3. Pro colligendo ergo numeros omnes, qui
componuntur ex quadratis, propones tibi ſeriem quad. omnium, & inde iun
ges, & diuides per 6, & cum prodierit quadratus, inuenitur denominator,
& numeri componentes ipſum erunt numeratores, et ſuppoſiti deno
minatoribus conſtituent partes. Vt uerò cognoſcas, ex quibus poſ
ſit componi primum ex imparibus, non oportet aſſumere niſi 135,
quia 7 diuiſum per 6 relinquit 1, & 9 diuiſum per 6, relinquit 3, & 35
diuiſum per 6 relinquit 5. ergo non poteſt componi numerus im
par, qui diuidatur per 6, ut ſuperſit impar alius quàm 1. 3. 5. ſed 1 & 3
& 5, & 5 componunt 4 & 1, & 1 & 3 & 5 componunt 2, ſcilicet abie
cto 6, ergo tales numeri quadrati ſi ſint impares, uel ambo terminan
tur in 3, ut 9 & 81, qui faciunt 90, uel in 1 & 5, ſed nullus numerus
quadratus diuiſus per 6 terminatur in 5, quia 1 ductum in ſe produ
cit 1, & 3 pro ducit 3, & 5 pro ducit 1, ut 5 in 5 facit 25, & 11 in 11
pares, & ſic differrent numero pari, ergo oporteret ut eſſet unus me
dius numerus quad. ſunt & alię rationes, ſed neque unus poſſet eſſe inte
ger, & alius fractus, non eſſet. n. 6 numerus integer: relinquitur ergo ut
ſint duo fracti: ſed in numeris fractis quad. deductis ad minimas deno
minationes operum, ut tam denominator <08> numerator habeat radi
ces, ergo oportet q̊d hoc ſit in illis, & quia iuncti debent facere inte
gros 6, neceſſe eſt ut denominator ſit unus, & idem in utroque, et q̊d nu
meratores ſimul iuncti ſint ſexcuplum denominatoris, ſi fracti debent
ęquipollere 6, ergo ille denominator cum ſit quad. & numeratores am
bo ſint quad. & ſint ſexcuplum denominatoris, oportebit inuenire nu
merum quad. qui ductus in 6, faciat numerum qui componitur ex duob. quad.
aut componitur ęqualiter, ergo proportio medietatis ad medietatem 6, eſt
ueluti totius ad 6, ſed totu continet 6 in quad. quia ex 6 in quad. fit totum,
ergo ex medietate in quad. idem fit medietas, ſed medietas eſt nume
rus quad. ergo 3 eſſet numerus quad. quod eſt falſum, oportet igitur ut nume
ri illi ſint inæ quales, & ut 6 diuidatur in duas partes inęquales, hoc
aut fit diuidendo quemlibet numerum parem, qui componitur ex duob.
numeris quad. nam ſi eſſet impar, non poſſet prodire numerus integer, &
cum prouenerit numerus quad. ille erit quem quęrimus, nam diuiſo 6 per to
tum illum numerum, inde q̊d prouenit multiplicato per numeros quad,
componentes illum numerum productum, producuntur partes 6, quæ erunt
numeri quad. quia denominator utriuſque partis ex ſuppoſito eſt nume
rus quadratus, qui multiplicatus eſt per 6, & numeratores ſunt nume
ri quadrati, qui componebant numerum productum, et tales partes ęquantur
6, quia numerus productus componitur ex numeratoribus, & produ
citur tale compoſitum ex 6 in denominatorem, & hic eſt diuiſus per deno
minatorem, ergo prouenit 6, ſi emm multiplicato 3 in 4 fit 12, diuiſo 12 per
4, exit neceſſario idem 3. Pro colligendo ergo numeros omnes, qui
componuntur ex quadratis, propones tibi ſeriem quad. omnium, & inde iun
ges, & diuides per 6, & cum prodierit quadratus, inuenitur denominator,
& numeri componentes ipſum erunt numeratores, et ſuppoſiti deno
minatoribus conſtituent partes. Vt uerò cognoſcas, ex quibus poſ
ſit componi primum ex imparibus, non oportet aſſumere niſi 135,
quia 7 diuiſum per 6 relinquit 1, & 9 diuiſum per 6, relinquit 3, & 35
diuiſum per 6 relinquit 5. ergo non poteſt componi numerus im
par, qui diuidatur per 6, ut ſuperſit impar alius quàm 1. 3. 5. ſed 1 & 3
& 5, & 5 componunt 4 & 1, & 1 & 3 & 5 componunt 2, ſcilicet abie
cto 6, ergo tales numeri quadrati ſi ſint impares, uel ambo terminan
tur in 3, ut 9 & 81, qui faciunt 90, uel in 1 & 5, ſed nullus numerus
quadratus diuiſus per 6 terminatur in 5, quia 1 ductum in ſe produ
cit 1, & 3 pro ducit 3, & 5 pro ducit 1, ut 5 in 5 facit 25, & 11 in 11