1Si autem a d cadat extra a b ducatur d e: quæ ſi cadat ſupra b c uel
infra, cum totum ſit maius parte erit a d e, ut prius maior a b c quod
eſt contra Euclidem. Reliquum eſt ut d c cadat ſupra b c: hoc au
tem eſſe non poteſt, nam cum ſuppoſuerimus a b eſſe minorem a c
erit angulus a c b minor angulo a b c, quare a c b eſt minor recto, &
ideò a c d maior recto, at a c d æqualis eſt a c d, alteri igitur a c d eſt
maior recto a c b minor, erit ergo pars maior toto.
infra, cum totum ſit maius parte erit a d e, ut prius maior a b c quod
eſt contra Euclidem. Reliquum eſt ut d c cadat ſupra b c: hoc au
tem eſſe non poteſt, nam cum ſuppoſuerimus a b eſſe minorem a c
erit angulus a c b minor angulo a b c, quare a c b eſt minor recto, &
ideò a c d maior recto, at a c d æqualis eſt a c d, alteri igitur a c d eſt
maior recto a c b minor, erit ergo pars maior toto.
His demonſtratis quis dicere poſſet ex ſuperius expoſitis quod
angulus rectilineus ſemper eſſet maior angulo contactus? quia an
gulus contactus non poteſt diuidi niſi obliqua linea, recti lineus
autem tam obliqua quam recta. Propter hoc exponantur circuli
193[Figure 193]
tres ſe tangentes a b, a c, a d hac rati
one ut a b, b c, c d ſint æquales, erunt
enim centra omnia in linea conta
ctus, & ducatur a e f g recta quomo
dolibet: & erunt ductis lineis b c,
c f, d g anguli e f g recti, quare om
nes trigoni a b e, a c f, a d g, ſimiles
& ideo a e, e f, f g æquales, atque por
tiones a g, a f, a e, iuxta proportio
nem circulorum, quare a g, erit ſex
quialtera a f & a f dupla a e, igitur
per præcedentem maior erit angu
lus e a f, quam f a g, & a d a ex recta
& peripheria quam e a f, igitur augendo eadem ratione cum perue
niamus ad angulum b a g qui fermè eſt recto æqualis cum deficiat
ſolo angulo contactus, liquet angulum e a g eſſe longè maiorem
multis rectilineis. Iſtud poſſet etiam demonſtrari uia Archimedis
diuidendo arcus g a in h & f a in k bifariam ducendo que lineas re
ctas g h & fk & ita diuidendo h a in 1, & k a in m bifariam, & ducen
do rectas atque ita ſemper appropinquando puncto a. Concludo er
go quod angulus contactus ex recta & peripheria eſt maior multis
rectilineis. Cauſa autem erroris eſt quod multi exiſtimarunt corro
larium illud eſſe Euclidis cum non ſit. Nam Euclidi ſufficit hoc
quòd angulus contactus non poſsit recta diuidi, nam eo utitur poſt
modum in demonſtrationibus. Eo uerò quod ſit minor omnibus re
ctilineis angulis non utitur, ideò etiam ſi uerum fuiſſet non addidiſſet:
quanto minus: cum uerum non ſit, ideò fuit adiectum ab aliquo qui
idem fore credidit non poſſe diuidi recta linea & eſſe minus quocunque
quod recta linea diuidi poſſet, quod apertè ut dixi falſum eſt.
angulus rectilineus ſemper eſſet maior angulo contactus? quia an
gulus contactus non poteſt diuidi niſi obliqua linea, recti lineus
autem tam obliqua quam recta. Propter hoc exponantur circuli
193[Figure 193]tres ſe tangentes a b, a c, a d hac rati
one ut a b, b c, c d ſint æquales, erunt
enim centra omnia in linea conta
ctus, & ducatur a e f g recta quomo
dolibet: & erunt ductis lineis b c,
c f, d g anguli e f g recti, quare om
nes trigoni a b e, a c f, a d g, ſimiles
& ideo a e, e f, f g æquales, atque por
tiones a g, a f, a e, iuxta proportio
nem circulorum, quare a g, erit ſex
quialtera a f & a f dupla a e, igitur
per præcedentem maior erit angu
lus e a f, quam f a g, & a d a ex recta
& peripheria quam e a f, igitur augendo eadem ratione cum perue
niamus ad angulum b a g qui fermè eſt recto æqualis cum deficiat
ſolo angulo contactus, liquet angulum e a g eſſe longè maiorem
multis rectilineis. Iſtud poſſet etiam demonſtrari uia Archimedis
diuidendo arcus g a in h & f a in k bifariam ducendo que lineas re
ctas g h & fk & ita diuidendo h a in 1, & k a in m bifariam, & ducen
do rectas atque ita ſemper appropinquando puncto a. Concludo er
go quod angulus contactus ex recta & peripheria eſt maior multis
rectilineis. Cauſa autem erroris eſt quod multi exiſtimarunt corro
larium illud eſſe Euclidis cum non ſit. Nam Euclidi ſufficit hoc
quòd angulus contactus non poſsit recta diuidi, nam eo utitur poſt
modum in demonſtrationibus. Eo uerò quod ſit minor omnibus re
ctilineis angulis non utitur, ideò etiam ſi uerum fuiſſet non addidiſſet:
quanto minus: cum uerum non ſit, ideò fuit adiectum ab aliquo qui
idem fore credidit non poſſe diuidi recta linea & eſſe minus quocunque
quod recta linea diuidi poſſet, quod apertè ut dixi falſum eſt.