Se DA, EB segnano due livelli dell'acqua, dentro il vaso conoideo descritto
dalla semiparabola DCA, abbiamo, per la XXII di questo, V.DA:V.EB=
EB2.√DC:DA2.√CE, e per la similitudine dei triangoli, e per le proprietà
1120[Figure 1120]
dalla semiparabola DCA, abbiamo, per la XXII di questo, V.DA:V.EB=
EB2.√DC:DA2.√CE, e per la similitudine dei triangoli, e per le proprietà
1120[Figure 1120]Figura 221.
della parabola, EH:AD=CE:CD=EB2:AD2,
onde EH:1=EB2:AD, ossia EH:EB=EB:
EH. La parabola stessa poi dà (*) EB2:DA2=
CE:CD=EH:EG; dunque V.DA:V.EB=
EH.EB:EG.EH=EB:EG.E perchè, essendo
DA uguale ad EG, abbiamo, per la segnata con
asterisco, EG2=(EB2.EG)/EH, d'onde EB:EG=
FG:(EB.EG)/HE; presa EO, quarta proporzionale
dopo EH, EB, EG, s'otterrà la nuova espressione V.DA:V.EB=EG:EO.
Ora, avendosi, per la medesima sopra segnata, CE:CD=EH:EG=
EG2:EG3/EH, e osservando che EG3/EH=EO2, ne conseguirà finalmente CE:CD=
EG2:EO2=DA2:EO2. “ Quare (dal lungo giro di questo calcolo ne con
cludeva il Viviani) scala ordinatarum ad DC, repraesentantium velocitates su
premarum velocitatum, dum vas conoidale parabolicum exinanitur; est ad
curvam lineam PAO, fortasse infinitam: infinitam profecto, cum sit hyper
bola secunda, nempe in qua quadrata applicatarum DA, EO, sunt reciproce
ut CE, CD ” (MSS. Gal. Disc., T. CXVII, fol. 30).
della parabola, EH:AD=CE:CD=EB2:AD2,
onde EH:1=EB2:AD, ossia EH:EB=EB:
EH. La parabola stessa poi dà (*) EB2:DA2=
CE:CD=EH:EG; dunque V.DA:V.EB=
EH.EB:EG.EH=EB:EG.E perchè, essendo
DA uguale ad EG, abbiamo, per la segnata con
asterisco, EG2=(EB2.EG)/EH, d'onde EB:EG=
FG:(EB.EG)/HE; presa EO, quarta proporzionale
dopo EH, EB, EG, s'otterrà la nuova espressione V.DA:V.EB=EG:EO.
Ora, avendosi, per la medesima sopra segnata, CE:CD=EH:EG=
EG2:EG3/EH, e osservando che EG3/EH=EO2, ne conseguirà finalmente CE:CD=
EG2:EO2=DA2:EO2. “ Quare (dal lungo giro di questo calcolo ne con
cludeva il Viviani) scala ordinatarum ad DC, repraesentantium velocitates su
premarum velocitatum, dum vas conoidale parabolicum exinanitur; est ad
curvam lineam PAO, fortasse infinitam: infinitam profecto, cum sit hyper
bola secunda, nempe in qua quadrata applicatarum DA, EO, sunt reciproce
ut CE, CD ” (MSS. Gal. Disc., T. CXVII, fol. 30).
Si supponga che, rivolgendosi intorno all'asse DC della parabola il ret
tangolo IC, generi un vaso cilindrico. In questo le velocità del supremo li
vello si sa, per le precedenti dimostrazioni, che scemano come le applicate
alla parabola da D in C, mentre, nel conoide parabolico, crescono secondo
le medesime applicate, che però debbon prendersi in ordine inverso, cioè da
C in D. La quale osservazione dà luogo al Viviani di soggiungere il seguente
tangolo IC, generi un vaso cilindrico. In questo le velocità del supremo li
vello si sa, per le precedenti dimostrazioni, che scemano come le applicate
alla parabola da D in C, mentre, nel conoide parabolico, crescono secondo
le medesime applicate, che però debbon prendersi in ordine inverso, cioè da
C in D. La quale osservazione dà luogo al Viviani di soggiungere il seguente
“ Corollarium I. — In vase cylindrico, vel prismatico IC, et in conoide
parabolico ICA, velocitates EF, ID; ID, EH augentur in continua eademque
ratione, cum inter se rationem habeant EH ad ID. Hinc schala velocitatum,
etiam in vase cylindrico, est in lineis ordinatim ductis ad hyperbola quadra
tica PAO, cuius asymptoti sint DC, CM ” (ibid., fol. 44).
parabolico ICA, velocitates EF, ID; ID, EH augentur in continua eademque
ratione, cum inter se rationem habeant EH ad ID. Hinc schala velocitatum,
etiam in vase cylindrico, est in lineis ordinatim ductis ad hyperbola quadra
tica PAO, cuius asymptoti sint DC, CM ” (ibid., fol. 44).
Si supponga inoltre essere il triangolo ICD, nella medesima figura 221,
il lato di un prisma vuoto, con la base orizontalmente collocata in alto, e
forato in qualche punto del suo spigolo inferiore, d'onde versando l'acqua
è certo che si abbasserà in modo (dice ancora il Grandi nel Corollario IV
dopo la citata proposizione del Movimento delle acque) analogo al conoide
parabolico. Avendo infatti tutte le sezioni rettangolari del detto prisma la
medesima lunghezza, staranno come le basi ID, PR, ossia come le ascisse
DC, RC, o i quadrati delle ordinate DI, RQ, o finalmente come le sezioni
circolari del conoide. Di qui ne concludeva il Viviani l'altro corollario, che
cioè medesima è la scala delle velocità, per ambedue le forme dei vasi.
il lato di un prisma vuoto, con la base orizontalmente collocata in alto, e
forato in qualche punto del suo spigolo inferiore, d'onde versando l'acqua
è certo che si abbasserà in modo (dice ancora il Grandi nel Corollario IV
dopo la citata proposizione del Movimento delle acque) analogo al conoide
parabolico. Avendo infatti tutte le sezioni rettangolari del detto prisma la
medesima lunghezza, staranno come le basi ID, PR, ossia come le ascisse
DC, RC, o i quadrati delle ordinate DI, RQ, o finalmente come le sezioni
circolari del conoide. Di qui ne concludeva il Viviani l'altro corollario, che
cioè medesima è la scala delle velocità, per ambedue le forme dei vasi.