1per costruzione DE:DF=DF:DG=DG:DH=DH:DI=DI:DL, fra
la serie delle quali equazioni si noti particolarmente la DE:DG=DG:DI,
d'onde DG2/DE=DI. Ora, per l'identica DE2:DG2=DE2/DE:DG2/DE, sarà
DE2:DG2=DE:DI, e perciò V AC:V.DE=DG.DE:DF.DI.E per
chè, per la stessa imperata costruzione, DE:DI=DF:DL; dunque in ul
timo V.AC:V.DE=DG.DF=DF.DL=DG:DL=AC:DL. Al
qual punto ridottosi il calcolo, non rimane a far altro che a invocare il
Lemma matematico, premesso alla VII di questo, per concluder l'intento
così, come lo conclude propriamente il Viviani con queste parole: “ Ma per
chè le quattro DG, DH, DI, DL son continue proporzionali, il quadrato DG,
ovvero AC, al DL, starà come il cubo DG al cubo DI, per il mio Lemma,
o come il cubo DE al cubo DG, o come il cubo BD al BA. Adunque i punti
1122[Figure 1122]
la serie delle quali equazioni si noti particolarmente la DE:DG=DG:DI,
d'onde DG2/DE=DI. Ora, per l'identica DE2:DG2=DE2/DE:DG2/DE, sarà
DE2:DG2=DE:DI, e perciò V AC:V.DE=DG.DE:DF.DI.E per
chè, per la stessa imperata costruzione, DE:DI=DF:DL; dunque in ul
timo V.AC:V.DE=DG.DF=DF.DL=DG:DL=AC:DL. Al
qual punto ridottosi il calcolo, non rimane a far altro che a invocare il
Lemma matematico, premesso alla VII di questo, per concluder l'intento
così, come lo conclude propriamente il Viviani con queste parole: “ Ma per
chè le quattro DG, DH, DI, DL son continue proporzionali, il quadrato DG,
ovvero AC, al DL, starà come il cubo DG al cubo DI, per il mio Lemma,
o come il cubo DE al cubo DG, o come il cubo BD al BA. Adunque i punti
1122[Figure 1122]Figura 223.
C, L sono all'iperbola, nella quale i quadrati delle or
dinate son fra loro in ragion reciproca de'cubi delle
ascisse ” (ivi).
C, L sono all'iperbola, nella quale i quadrati delle or
dinate son fra loro in ragion reciproca de'cubi delle
ascisse ” (ivi).
Sembrava perciò che fosse per formularsi la pro
posizione: Scala velocitatis in cono, dum esinanitur,
est hyperbola, in qua quadrata ordinatarum sunt ut
cubi abscissarum reciproce, ma pure piacque al Vi
viani di metterla piuttosto sotto quest'altra forma:
posizione: Scala velocitatis in cono, dum esinanitur,
est hyperbola, in qua quadrata ordinatarum sunt ut
cubi abscissarum reciproce, ma pure piacque al Vi
viani di metterla piuttosto sotto quest'altra forma:
“ PROPOSITIO XXVII. — In cono ABC (fig. 223)
velocitas superioris superficiei AB aquae descendentis,
et per forum C in fundo exeuntis, ad velocitatem
ciusdem superficiei in DE, est ut FC, media inter
altitudines HC, GC, ad tertiam proportionalem CI
continuam post CG, CH ” (ivi, fol. 44).
velocitas superioris superficiei AB aquae descendentis,
et per forum C in fundo exeuntis, ad velocitatem
ciusdem superficiei in DE, est ut FC, media inter
altitudines HC, GC, ad tertiam proportionalem CI
continuam post CG, CH ” (ivi, fol. 44).
Soggiungesi immediatamente a queste parole del manoscritto: Hine
scula velocitatum in cono. E che veramente resulti dalla nuova forma pro
posta la scala delle velocità, dimostrata dianzi dallo stesso Autore per altra
via, è facile persuadersene così ragionando: Secondo la proposta, AB:DE=
FC:CI. Ma FC=VHC.CG, e, dall'esser per costruzione CG:CH=
HC:CI, ne viene CI=CH2/CG; dunque AB:DE=VHC.CG:CH2/CG=
√HC.CG3:CH2=√CG3:CH2/√CH=√CG3:√CH3, e perciò AB2:DE2=
CG3:CH3, che è l'equazione alla seconda iperbola cubica, nelle ordinate alla
quale era stata imposta la scala delle velocità del cono, mentre, essendo
stato ripieno d'acqua, a poco a poco si vuota.
scula velocitatum in cono. E che veramente resulti dalla nuova forma pro
posta la scala delle velocità, dimostrata dianzi dallo stesso Autore per altra
via, è facile persuadersene così ragionando: Secondo la proposta, AB:DE=
FC:CI. Ma FC=VHC.CG, e, dall'esser per costruzione CG:CH=
HC:CI, ne viene CI=CH2/CG; dunque AB:DE=VHC.CG:CH2/CG=
√HC.CG3:CH2=√CG3:CH2/√CH=√CG3:√CH3, e perciò AB2:DE2=
CG3:CH3, che è l'equazione alla seconda iperbola cubica, nelle ordinate alla
quale era stata imposta la scala delle velocità del cono, mentre, essendo
stato ripieno d'acqua, a poco a poco si vuota.
Il Viviani preferì questa seconda forma di proposizione alla prima, per
ch gli serviva meglio all'intenzion di paragonare insieme le velocità de'li
velli supremi, nel votarsi il cono e il conoide parabolico della medesima base
e della medesima altezza, ricavandone un corollario notabile, qual'è che il
cono, benchè vaso minore e contenuto, s'evacua assai più presto del conoide,
ch gli serviva meglio all'intenzion di paragonare insieme le velocità de'li
velli supremi, nel votarsi il cono e il conoide parabolico della medesima base
e della medesima altezza, ricavandone un corollario notabile, qual'è che il
cono, benchè vaso minore e contenuto, s'evacua assai più presto del conoide,