Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="runhead"> Distinctio quarta. Capitulum secundum. </p>
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      doppiarai il quadrato del mezzo diametro .ge. overo .ea., haremo similmente .288. per lo
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      quadrato di ciascuna linea .gb. e .ba. e é .gb. arco dela mitá del mezzo cerchio .abg. Di poi si
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      dividiremo la corda .bg. sopra il ponto .c. in .2. parti iguali. Per li ponti .ce. meneremo la linea
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      df. Sará .df. diametro del cerchio .abgd. e fará gli angoli retti sopra il ponto .c. col la cor-
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      da .b g. E ancora divida l’ arco .bfg. in .2. parti iguali. Onde, se dal ponto .f. meneremo le linee
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      .fb.fg., sará ciascuna corda la quarta parte del mezzo cerchio .gba., ala quale notitia verre-
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      mo cosí. Perché l’ angolo .bce. è retto, se ’l quadrato dela linea, che è .72., cioé la quarta parte
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      del quadrato dela corda .bg., trarremo del quadrato dela linea .be., che è sotto al’ angolo ret-
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      to rimarranno .72. per lo quadrato dela linea. Onde tutta .dc. è .12. e radici de .72. E chia-
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      mase binomio, comme nela parte de sopra, in questa opra del’ arithmetica, fo manifesto. E que-
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      sto binomio non si puó exprimere con numeri. Onde, se traremo .ec. del .ef. rimarranno .12.
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      meno radice di .72. per la linea .cf. E chiamase quella linea .cf. residuo overo abscisio: con-
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      ciosiacosaché sia fatto de numero meno radice. Dipoi piglieremo li quadrati dele linee .fc.
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      e .cb. e harai el quadrato dela corda .bf. overo .fg. E, comme si pigli el quadrato dele linee
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      .cf., io te lo voglio dimostrare. Poni e detti nomi, cioé .12. e radice di .72., comme dal lato si
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      mostra; multiplicherai .12. per .12., fanno .144. E poi multiplica radice di .72. meno in sé, cioé
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      per radici di .72. meno, fanno .72. che, con .144., fanno .216., del quale tra’ el doppio di .12. mul-
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      tiplicato in radice di .72., fanno .24. radici di .72. E cosí haremo per lo quadrato dela linea
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      .cf.216. meno .24. radici di .72., che sonno una radici .41472. Overo, perché la linea .ef. è
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      divisa comme viene in sul ponto .c., fienno ’.2. quadrati .ef. e .ec. iguali al quadrato .cf. e al dop-
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      pio di quel ch’ é fatto del .ec. in .ef., per la .7a. del .2o., imperoché li quadrati dele linee .ef. e .ec.
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      sonno .216. del qual, togliendo el doppio dela multplicatione del .ef. in .ec., cioé di .24. in radi-
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      ci di .72., fanno .216. meno la radici di .41472. e chiamase el primo reciso, comme sopra nel’ a-
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      rithmetica mostrai. Al quale quadrato, agionto el quadrato dela linea .bc., cioé .72., haremo
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      .288. meno la radici de .41472. per lo quadrato dela corda .bf., che si chiama el quarto reci-
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      so. Del quale la radice è quella linea detta linea minor. E, se secondo l’ appressamento vuoi pro-
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      cedere a notitia dela linea .bf., la radici di .41472. piglia, che è pocho meno di .203 2/3. che, de
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      .288. tratta, rimane poco piú di .84 1/3. per lo quadrato de ciascuna delle .4. corde .gf.fb.hb.
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      .ha. overo, altramente, del quadrato dela linea .ec. truova la radici, ch’ é poco meno di .8 1/2. E
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      quella tra’ dela linea .ef., cioé di .12., rimane poco piú di .3 1/2. per la linea .cf. Del quale il quadra-
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      to, che è poco piú di .12 1/3., se l’ agiognamo col quadrato del .bc., haremo poco piú di .84 1/3. per
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      lo quadrato di ciascuna dele .4. corde. Le quali, multiplicate per lo .4., cioé per lo quadrato
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      di .4., che è .16., haremo .1350. per lo quadrato dela somma dele .4. corde de’ quali la radici è cir-
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      ca .36 3/4. Ma l’ arco .abg. è .37 5/7. Onde ancora siamo alquanto de longni al trovare per la noti-
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      tia di .4. corde. Onde ancora divideró una di quelle .4. corde in .2. corde iguali. E sia la cor-
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      da .ah. divisa sopra il ponto .i. E meneró li ponti .i.e. e il diametro .kl. che divide l’ arco .akh.
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      in .2. parti iguali in sul ponto .k. E meneró la corda .ak. La qual sará il lato d’ una figura aven-
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      ti .16. lati iguali, cadente dentro al cerchio .abg. E verró ala notitia di quello secondo che
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      è detto di sopra: cioé che del quadrato .ae., cioé di .144., si traga el quadrato dela linea .ai., che
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      è circa .21 1/11., cioé la quarta parte del quadrato dela linea .ah.122 10/11., per lo quadrato dela li-
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      nea .ei. Dove quella linea è .11 1/11. Lo quale, se lo togliamo dela linea .ek., rimará .ik. circa .10/11.
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      Del quale il quadrato è circa 9/11. che, agionto al quadrato dela linea .ai., haremo .21 9/10. per lo
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      quadrato dela linea .ak., che è la corda del’ ottava parte del’ arco .abg. Onde, se multiplica-
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      remo .21 10/11. per lo quadrato del .8., haremo circa .1402. per lo quadrato dele .8. corde iguali
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      cadenti nel mezzo cerchio .abg., dele quali la radici è circa .37 1/2. o poco meno. Ma l’ arco .abg.
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      é piú di .37 5/7. Per la qual cosa, se per lo detto modo dividerai l’ arco .ak. e di quello truovi
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      la corda, haremo apresso ala longhezza del’ arco .abg. E cosí, sempre dividendo l’ arco, ha-
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      remo, in modo che la differentia è cosa insensibile al’ arco. E peró cosí poi venire ala noti-
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      tia di qual vuoi arco. Nondimeno, a piú tua chiarezza de quello che è ditto, la sequente con
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      diligentia notarai. Avenga che dificil cosa sia, per queste vie, ala notitia precisa deli archi e
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      corde pervenire. E, per questo, si manifesta la gran difficultá dela quadratura del cerchio che,
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      da tutti ‘philosophi, la sua quadratura si conprende essere possibile e dabile, benché finora per nullo sia
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      trovata, se non quanto per Archimede se dimostra nel suo terzo libro. El qual modo fo per
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      l’ aproximamento dela proportione del suo diametro ala circunferentia, commo denanze in
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      questo te dissi e dimostrai et cetera. Or prendi l’ altra. Videlicet.
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