Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="folio"> folio </p>
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      <p class="runhead"> Distinctio quinta. Capitulum quartum. </p>
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      detta proportione da ogni parte sirá </p>
      <p class="main"> Similmente, se ’l circulo .abgde. in quatro parti iguali vorrai dividere, li diametri
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      .az. e .ge., sopra il centro del cerchio .c., a retti angoli, faró segare. Dapoi el mezzo
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      diametro .ez., sopra il ponto .k., divideró e sia la proportione .ck. al .ez. commo .611.
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      a .1522. E porró la retta .cl. iguale ala retta .ck. e, per li ponti .lk., produrró le ret-
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      te .bh. e .df. seganti el diametro .az. ad angoli retti. Sirá ciascuno de’ mezzi cerchi, secondo l’ a-
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      pressamento, diviso in doi parti </p>
      <p class="main"> E, se in doi linee equedistanti voi porre il terzo d’ uno cerchio. Commo sia il cer-
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      chio .abg. del quale il centro sia .d. Porrola equedistame la retta .dg. ala ret-
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      ta .ab. E divideró la periferia .ab. in doi parti iguali sopra il ponto .e. e meneró
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      la retta .ez. equedistante ala retta .bg. Dico che la figura contenta infra le rette eque-
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      distantti .ez. e .bg. e dagli archi .cg. e .eb. è il terzo di tutto il cerchio .abg. La prova. Meneró
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      le rette .da. e .db. e .ag. fienno li triangoli .gab. e .dab. iguali, ai quali, quando s’ agiongnerá
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      la portione .abe., sirá la figura contenta sotto le rette .ga. e .gb. e l’ arco .aeb. iguale al set-
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      tore .da. e .eb., che è la terza parte del circulo .abg. Adonca la figura contenta dale rette .ga.
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      e .gb. e l’ arco .aeb. é il terzo del circulo .agb. E, perché la retta .bg. e .ez. sonno equedistanti,
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      sia l’ arco .eb. e .gz. iguale. Ma l’ arco .eb. è iguale al’ arco .ae. Adonca l’ arco .ae. è iguale al’ ar-
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      co .gz. al quale, agionto l’ arco .bg., sirá certamente l’ arco .aebg. iguale al’ arco .ebgz. Onde
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      la portione del cerchio .ezgb. è iguale ala portione del circulo .agbe. Onde d’ ogni parte si
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      tolga la portione contenta dala retta .bg. e l’ arco .gb. rimarrá la figura contenta dale rette
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      .gb. e .eb. e dagli archi .be. e .gz. iguale ala terza parte del cerchio, cioé ale figure contente dala
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      rette .ga. e .gb. e dal’ arco .aeb., ch’ era bisogno </p>
      <p class="main"> Se il mezzo cerchio .abg. in doi parti iguali voi segare, dividi la retta .ag. in doi
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      parti iguali dala linea .db. e la prova è questa: productte le rette .ba. e .bg., fien-
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      no li triangoli .bdg. e .bda. infra loro iguali, é certamente il lato .ad. del lato .dg.
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      iguali e la retta .bd. è commune e ancora gli angoli che sonno al .d. sonno retti.
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      E, perché la retta .bg. è iguale ala retta .ba. e le rette iguali nel cerchio hano iguali portio-
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      ni e perché la settione .bg. è iguale ala settione .ba. e li triangoli .bdg. e .bda. sonno iguali.
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      Onde la settione .bdai. ala settione .bgdi. è iguale. Diviso é adonca el mezzo cerchio .abg.
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      in doi parti iguali, ch’ era de bisogno fare. E, se colla retta equedistante ala basa .ag. voi
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      dividere in doi parti iguali. El mezzo diametro .bd. sopra il ponto .z. dividi e sia .dz. al .zb.
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      commo .611. a .1512. e per lo ponto .z. mena la retta .ei., la quale dividerá similmente el mezzo
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      cerchio .abg. in doi parti iguali, che saranno, per quelle cose ditte nella divisione de’ cerchi
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      in quatro </p>
      <p class="main"> E, se la portione del cerchio, overo sia menore overo magiore del mezzo cerchio,
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      in doi parti iguali voi dividere, in detto modo, sopra la mitá dela corda sua la
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      saetta menarai. Verbi gratia. Sia data la portione magiore che ’l mezzo cerchio
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      .abg. e sopra la mitá dela sua corda sia menata la saetta .da., la quale dico che di-
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      vide la detta portione .abg. in doi parti iguali che sonno .abd. e .adg., che se proverrebbe
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      per quelle cose che sonno ditte nel mezzo cerchio. E, se dal ponto .d. menaremo la retta .dc.,
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      a retti angoli sopra la corda .bg., la quale dividerá ancora la ditta portione in doi parti igua-
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      li, commo volavamo e haremo diviso la portione magiore e la portione minore.
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      E, se ’l mezzo cerchio .abgc. in tre parti iguali voi dividere, la retta .bc. in doi par-
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      ti iguali dividi al ponto .d. Dipoi l’ arco .bac. in tre parti iguali dividi in sugli pon-
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      ti .a.g. e compilerai .ad. e .dg. che dico che dividono el mezzo cerchio in tre par-
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      ti iguali, che si prova, perché el mezzo cerchio è la portione .abdc. Sia il .d. cen-
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      tro del cerchio del quale cerchio la mittá è il detto semicirculo .abdc. Onde le rette .db.dc.
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      .da.dg. sonno iguali infra loro, sirá ciascuna di quelle figure settore di cerchio contente sot-
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      to le doi rette e gli archi preditti. Onde quando li sonno sotto medesime linee e medesimi ar-
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      chi sonno certamete infra loro iguali. Diviso é adonca il mezzo cerchio in tre parti iguali che
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      sonno .dab.dag.dgc. ch’ era bisogno </p>
      <p class="main"> E, se una figura contenta sopra doi rette e l’ arco dela periferia in doi parti igua-
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      li voi dividere, commo sia el settore di cerchio .abcd. Dico che divida l’ arco .ac.
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      in doi parti iguali in sul ponto .b. e dal ponto .d. si meni la retta .db. la quale dico
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      che la divide la detta figura in doi parti iguali commo era bisogno. E questo é
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