Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="folio"> folio </p>
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      <p class="runhead"> Distinctio prima. Capitulum octavum. </p>
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      Havendo mostro in che modo el catetto di ciascuno triangolo si truova, mi pare
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      di necessitá dimostrare la cagione e il perché, nel trovare l’ area de’ triangoli per lo
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      secondo modo dato, li lati s’ agiongono insiemi e dela somma se ne pigli la mitá
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      e aoperare comme nel capitolo passato mostrammo. E a questa indurremo una
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      figura triangulare .abg. Ove dividerai l’ angolo .b. e l’ angolo .g. in .2. parti iguali dale rette
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      .bt. e .tg. E dal ponto .t. si meni li catetti .te.th.tz. E compisi .at. E, perché l’ angolo .thg. e .tzg. è
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      retto, iguale é l’ angolo .thg. al’ angolo .tzg. E l’ angolo .tgh. è iquali al’ angolo .tgz. Perché po-
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      nemmo l’ angolo .g. esser diviso in .2. parti iguali dala linea .gt. Onde seguita l’ angolo .gtz. esse-
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      re iguali al’ angolo .gth. Adunque il triangolo .ztg. è iguali al triangolo .htg. E, perché il la-
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      to .gt. è comune, gli altri lati del’ uno fienno iguali agli altri lati dell’ altro, cioé il lato .th. al
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      lato .tz. E il lato .hg. al lato .gz. Similmente si mostra la retta .hb. ala retta .be. essere iguali e
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      il triangolo .thb. essere iguali al triangolo .teb. E, perché l’ una e l’ altra dele rette .te. e .tz. sonno
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      iguali ala retta .th. fienno infra loro iguali. Onde iguale è la retta .te. ala retta .tz. E, per comu-
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      ne è la retta .ta. E peró .te. e .ta. sonno iguali al .tz. e .ta. E l’ angolo .aet. al’ angolo .azt. è iguale
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      e il lato .at. è comun. Onde equilatero e equiangolo é il triangolo .aet. al triangolo. azt. E
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      peró il lato .az. è iguali al lato .ae. E, perché e gli é iguali la retta .az. ala retta .ae., se s’ agiongni
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      a ogni parte la retta .eb., sará la retta .ab. iguali a .2. rette, cioé .az. e .eb., cioé al .az. e .bh. Ancora,
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      perché la retta .zg. è iguali ala retta .gh., saranno le .2. rette .ag.hb. iguali a .2. rette .ab. e .gh. Im-
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      peroché .ab. é quanto .az. e .bh. e il .hz. è quanto .gh. E peró, agiongnendo al .ab. il .gh., ha-
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      remo .ab. e .gh. iguali al .ag. e .hb., comme dicemmo. Adunque .ag. e .hb. sonno la mitá de’ detti
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      lati de’ triangoli posto. Onde .eb. è quello che la mitá de’ detti lati avanza el lato .ag. E, simil-
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      mente, .ae. è quello che la mitá de’ detti lati avanza al lato .bg. E il .gz. è quello che la mitá de’
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      detti lati avanza el lato .ab. Onde la retta .ab. e .hg. sonno la mitá de’ lati del triangolo .abg. e
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      sonno le .3. differentie. E ancora .ag. e .hb. sonno la mitá de’ .3. lati di detto triangolo. Meni-
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      se adunque la retta .ab. e .ag. per lo diritto: ne’ ponti .l. e .m. E sia .bl. iguali ala retta .hg. E il
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      .gm. sia iguale ala retta .hb. Sirá adunque l’ una e l’ altra retta .al. e .am. quanto che la mitá de’
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      lati del triangolo. E poi si produca .at. nel ponto .k. e faciasi la retta .lk. e .km. E sia l’ angolo
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      .alk. retto. E retto sia ancora .amk. e, perché le .2. rette .al. e .ak. sonno iguali ale .2. rette. ak. e
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      .am. e l’ angolo .lak. è iguali al’ angolo .mak. Onde il lato .lk. è iguali al lato .mk. e gli altri la-
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      ti e angoli sonno infra loro iguali. Seghisi adunque la linea .gb. in .2. parti: una iguali ala li-
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      nea .bl. e sia .bn. e compisi .nk.kg.kb. e, perché .gh. è l’ avanzo dela mitá de’ lati del triangolo
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      .abg., alo lato .ab., iguali é .al.bn., cioé al .bl. Onde .ng. è iguali al .gm., cioé al .hb. Onde e trian-
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      goli .gmk. e .blk. sonno ortogonij e la potentia dela linea .kg. è iguali a .2. potentie di .2. li-
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      nee .gm. e .mk. e la potentia dela linea .bk. è iguale a .2. potentie di .2. linee .kl. e .bl., cioé del .kl.
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      e .bn. Ma la potentia dela linea .lk. è iguali ala potentia .km. Onde quanto la potentia dela
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      linea .kg. soprabunda la potentia dela linea .kb. tanto la potentia .ng. avanza la potentia .nb.
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      Onde la linea .kn. è catetto sopra la linea .bg. che chiaro appare. Imperó, quando si negasse,
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      dirá l’ aversario sia il catetto .ko. E, perché la potentia del .kg. avanza la potentia del .kb., mag-
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      giore adunque .kg. del .kb. E, se ’l .ko. è catteto, avanzerá la potentia del .gk. la potentia del .bk.
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      quanto la potentia del .go. avanza la potentia del .bo. E noi habiamo mostro che la poten-
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      tia del .gk. avanza la potentia del .bk. quello che la potentia del .gn. avanza la potentia del
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      .nb. Adunque .ob. e .nb. fienno iguali e cosí .gn. e .go., che è impossibile. E peró .kn. è catetto e
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      non altro. E ancora .kn. è iguali al .kl. imperoché il .kb. è comune infra .2. triangoli ortogonii
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      .klb. e .knb. e .bn. e .bl. sonno iguali. E peró seguita .kn. e .kl. essere iguali. E, perché gli an-
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      goli .knb. e .klb. sonno retti, rimarranno gli angoli .nbl. e .lkn. iguali a .2. angoli retti. Ma
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      gli angoli .ebn. e .nbl., similmente, sonno iguali a .2. angoli retti, per la .13a. del primo, impero-
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      ché la linea .nb. cade sopra la linea .el. Onde l’ angolo .ebn. è iguali al’ angolo .lkn. E l’ angolo
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      .lkb. è la mitá del’ angolo .lkn., perché la linea .kb. divide e .2. triangoli iguali. Adonca è igua-
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      le l’ angolo .ebt. (che è la mitá del’ angolo .ebh.) al’ angolo .lkb. e l’ angolo .e. è retto, ch’ é iguale
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      al’ angolo .l. retto. Adunque l’ angolo .etb. è iguale al’ angolo .lbk. e ‘l triangolo adunque .kbl.
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      sia simile al triangolo .bte. La proportione adunque del .kl. al .lb. è commo la proportione
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      del .be. al .et. Multiplicato adunque .kl. in .et., fa quanto .lb. in .be. Ma la proportione del
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      tetragono .et. a quello che fa .et. in .kl. è commo la proportione del .et. al .lk. e la proportione
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      del .et. al .lk. è comme .ae. alo .al., per la seconda del sexto. Imperoché .te. e .lk. sonno equedi-
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      stanti. La proportione adunque del .ae. alo .al. è commo la proportione del tetragono .et.
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