Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="runhead"> Distinctio sexta. Capitulum </p>
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      adunque dela linea .ag. nel terzo di ciascuna superficie .ab. è magiore del corpo di piú base.
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      Giá posto fo equale al’ embado, overo capacitá spere .zh. é molto magiore del corpo detto e
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      quella è infra quello e questo è impossibile. Non adunque la multiplicatione dela linea .ag.,
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      che è la mitá del diametro della spera .ab., nel terzo dela superficie sua è magiore del corpo
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      suo: quella adunque è iguale di quello corpo e quello é quello vogliamo la dischiaratione.
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      E, quando questo dichiarato sie e vogliamo havere la mitá dela spera, e multiplicaremo l’ a-
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      rea dela superficie sua nel sexto delo suo diametro. Overo la mitá del diametro suo multi-
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      plicaremo nel terzo dela sua superficie. Verbi gratia: sia il diametro dela data spera .10., la
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      quale, per la mitá sua, fanno .50. li quali, in .3 1/7. multiplicati, fanno .157 1/7., che sonno l’ area dela
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      superficie dela mezza spera. La quale, se multiplicaremo per lo sexto di quello, vienne .261 19/21., cioé
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      multiplicando .157 1/7. via .1 2/3., che è il .1/6. di .10., fanno .261 19/21., comme disse per l’ area dela mitá
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      dela </p>
      <p class="main"> E, se sia de bisogno a noi misurare una portione de spera che sia magiore o mino-
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      re dela mezza spera, comme sonno le fonte ritonde e gli vasi i quali hano li fondi
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      tondi, l’ altezza del detto corpo che è una linea che si extende dal centro del cer-
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      chio dela bocca di quella tale parte e va infino al ponto del polo del detto cerchio colla mi-
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      tá del diametro dela spera, proportionare curiamo. E quella parte dela superficie dela mitá
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      dela spera e ancora dela misura sua togliamo. E haremo il desiderio. Verbi gratia: sia la linea
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      .ab. el diametro dela bocca d’ una fonte ritonda e .g. sia il suo centro e il ponto .d. sia il polo del
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      detto cerchio. Onde la linea .dg. sta ortogonalmente sopra la superficie del cerchio del qua-
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      le il diametro è .ab. Dove il quadrato dela mitá del diametro .ab. divideremo per .gd. e hare-
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      mo quello che resta di tutto il diametro dela spera sopra la linea .gd. Verbi gratia: sia la linea
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      .ab., cioé il diametro, radici di .160. Onde .gb., che è la mitá del .ab., sia radice di .40., del quale
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      il quadrato sia .40. El quale, se lo dividiamo per .gd., che lo poniamo .4., vienne .10. per lo avan-
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      zo del diametro sopra la linea .dg. El quale diametro, in .2. parti iguali diviso sopra il ponto .z.,
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      sia il detto .z. centro del cerchio grande cadente nela spera, el quale cerchio sia il cerchio .aebd.
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      Proportioneró adonca la linea .gd. con lo mezzo il diametro dela spera, che è .zd., cioé .4. con
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      .7. sia .gd. del .zd. gli .4/7. Onde torremo li .4/7. del’ area dela superficie dela mitá dela spera, cioé di
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      .308., che viene dela superficie del .dz. in .de. multiplicato in .3 1/7., viene .176. per l’ area dela super-
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      ficie dela portione dela spera, dela quale la basa è il cerchio del quale il diametro è .ab. e il suo
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      polo è .d. e l’ arco cadente in quella portione è l’ arco .adb. fatto dal cerchio grande cadente
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      nela spera. E la sua misura corporea, cioé la misura corporea dela detta portione, s’ ará se ’l ter-
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      zo del’ area dela sua superficie si multiplica in .7., cioé nelo mezzo diametro .zd., e di quella se
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      ne traga la misura corporea dela piramide di colonna, dela quale la sommitá è uno ponto .z.
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      e la sua basa è uno cerchio del quale il diametro è la linea .ab. e la sua altezza è la linea .zg., che
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      è .3. E la sua misura, cioé la misura dela detta piramide, é .125 5/7. Rimangano adonca, tratti di
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      .410 2/3., che è la multiplicatione del mezzo diametro in el terzo di .176., rimangono .285. meno
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      .1/21. per l’ area corporale dela portione </p>
      <p class="main"> E, se l’ area del’ avanzo dela spera vuoli, cioé l’ area d’ una portione magiore dela mi-
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      tá dela spera dela quale sia la basa, cioé la bocca, quel medesimo cerchio del qua-
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      le il diametro è .ab. e la sua alteza è la linea .eg., che si chiama saetta, che la poniamo
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      essere .10. E vogliamo la misura dela detta portione. Dico che operiamo in questa
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      comme nella minore portione dela mitá dela spera facemmo. Cioé el quadrato dela linea
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      .gb., che è .40., dividiamo per la saetta .ge. e haremo .4. per la linea .gd., che è la saetta del’ altra
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      portione dela spera. Dove tutto il diametro dela spera è .ed. che è .14., nel quale, se multipli-
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      caremo la saetta .eg. e quello multiplicaremo per .3 1/7., overo se del’ area dela superficie dela mitá dela spera che è
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      .308.
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      torremo li .10/7., cioé la parte che á la saetta .eg. al mezzo il diametro
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      .cz., haremo .440. per l’ area dela superficie di questa parte magiore dela mitá dela spera. La
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      quale area, se nel sexto del diametro dela spera la multiplicarai, overo se ’l terzo di quella area
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      nela mitá del diametro multiplicarai, haremo .1026 2/3., al quali agionto la piramide di colon-
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      na sopra detta, che è .125 5/7., cioé la piramide .abz., fanno .1152 5/21. per la grandezza di quella magior
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      portione. Poterebesi fare la demostratione, dove se demostrarebbe queste cose dette dela par-
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      te dele spere essere chiare, ma perché el tempo poco non lo patisci per l’ altre cose che seguano,
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      le lascieró. Adunque a questa distinctione faremo fine e seguendo del’ altra diremo
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      Deo gratias.
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