276246GEOMETR. PRACT.
PROBL. 2. PROPOS. 3.
DIVISO rectilineo quolibet in triangula ex vno aliquo puncto, rectas
lineas ipſis triangulis ordine proportionales inuenire.
lineas ipſis triangulis ordine proportionales inuenire.
Sit rectilineum quo dlibet A B C D E F, diuiſum in triangula A B C, A C D,
ADE, AEF, per rectas ex angulo A, (vel aliquo puncto aſsignato in vno latere)
ad omnes angulos oppoſitos ductas: atque hiſce triangulis inueniendæ ſint or-
dine totidem rectæ proportionales. Ex omnibus angulis dempto angulo A, ad
179[Figure 179]
rectas ex A, egredientes ducantur perpendiculares B I,
CL, DK, DN, EM, FO, pro altitudinibus triangulorũ.
(Nihil autem refert, ſi interdum perpendiculares cadant
in rectas extra triangula productas, cuiuſmodi hic ſunt
DK, DN,) ita vt ſingula triangula binas habeant altitudi-
nes, præter duo extrema, quæ ſingulas duntaxat habent.
Deinde in recta quacunque GH, accipiatur GP, æ qualis
altitudini BI, primi trianguli ABC; & P Q, æqualis altitu-
dini DK, ſecundi trianguli A C D, reſpectu eiuſdem baſis
AC. Poſt hæcſiat, vt CL altitudo 1112. ſexti. ſpectu baſis AD, ad EM, altitudinẽ tertij trianguli ADE, reſpectu eiuſdem baſis
AD, ita PQ. ad QR; Et vt DN, altitudo tertij trianguli ADE, reſpectu baſis AE,
ad FO, altitudinem quartitrianguli AEF, reſpectu eiuſdem baſis AE, ita QR, ad
RH, atque ita deinceps, ſi plura fuerint triangula, ſumendo ſemper duas alti-
tudines ad communem baſem demiſſas, & c. Dico quatuor rectas G P, PQ,
QR, R H, eſſe quatuor triangulis ordine proportionales. Nam vt in ſcholio
propoſ. 1. lib. 6. Euclid demonſtratum eſt, à nobis, ita eſt triangulum A B C, ad
triangulum ACD, vt altitudo BI, ad altitudinem D K, propter baſem commu-
nem AC, hoc eſt, vt GP, ad PQ, cum hæ ſumptæ ſint illis altitudinibus æquales.
Eadem de cauſa ita eſt triangulum ACD, ad triangulum ADE, vt altitudo CL,
ad altitudinem EM, hoc eſt, vt PQ. ad QR, cum ex conſtructione ſit, vt CL, ad
EM, ita PQ. ad QR. Pari denique ratione ita eſt triangulum ADE, ad triangu-
lum AEF, vt altitudo DN, ad altitudinem, FO, hoc eſt, vt QR, ad R H, cum ſit
per conſtructionem, vt DM, ad FO, ita QR, ad RH. Conſtat ergo id, quod pro-
poſitum fuit.
ADE, AEF, per rectas ex angulo A, (vel aliquo puncto aſsignato in vno latere)
ad omnes angulos oppoſitos ductas: atque hiſce triangulis inueniendæ ſint or-
dine totidem rectæ proportionales. Ex omnibus angulis dempto angulo A, ad
CL, DK, DN, EM, FO, pro altitudinibus triangulorũ.
(Nihil autem refert, ſi interdum perpendiculares cadant
in rectas extra triangula productas, cuiuſmodi hic ſunt
DK, DN,) ita vt ſingula triangula binas habeant altitudi-
nes, præter duo extrema, quæ ſingulas duntaxat habent.
Deinde in recta quacunque GH, accipiatur GP, æ qualis
altitudini BI, primi trianguli ABC; & P Q, æqualis altitu-
dini DK, ſecundi trianguli A C D, reſpectu eiuſdem baſis
AC. Poſt hæcſiat, vt CL altitudo 1112. ſexti. ſpectu baſis AD, ad EM, altitudinẽ tertij trianguli ADE, reſpectu eiuſdem baſis
AD, ita PQ. ad QR; Et vt DN, altitudo tertij trianguli ADE, reſpectu baſis AE,
ad FO, altitudinem quartitrianguli AEF, reſpectu eiuſdem baſis AE, ita QR, ad
RH, atque ita deinceps, ſi plura fuerint triangula, ſumendo ſemper duas alti-
tudines ad communem baſem demiſſas, & c. Dico quatuor rectas G P, PQ,
QR, R H, eſſe quatuor triangulis ordine proportionales. Nam vt in ſcholio
propoſ. 1. lib. 6. Euclid demonſtratum eſt, à nobis, ita eſt triangulum A B C, ad
triangulum ACD, vt altitudo BI, ad altitudinem D K, propter baſem commu-
nem AC, hoc eſt, vt GP, ad PQ, cum hæ ſumptæ ſint illis altitudinibus æquales.
Eadem de cauſa ita eſt triangulum ACD, ad triangulum ADE, vt altitudo CL,
ad altitudinem EM, hoc eſt, vt PQ. ad QR, cum ex conſtructione ſit, vt CL, ad
EM, ita PQ. ad QR. Pari denique ratione ita eſt triangulum ADE, ad triangu-
lum AEF, vt altitudo DN, ad altitudinem, FO, hoc eſt, vt QR, ad R H, cum ſit
per conſtructionem, vt DM, ad FO, ita QR, ad RH. Conſtat ergo id, quod pro-
poſitum fuit.
ALITER.
Sit rurſus rectilineum ABCDEF, diuiſum in triangula ABC, ACD, ADE,
AEF, ex puncto A. Quoniam bina proxima triangula conſtituunt qua drila-
terum, cuius diameter eſt latus vtrique triangulo commune, cuiuſmodi eſt A-
BCD, ducemus diametro AC, ex D, parallelam D O, quæ ſecet latus BC, pro-
ductum in O. Sic in quadrilatero ACDE, diametro AD, parallelam ducemus
EP, quæ ſecet latus CD, protractum in P. Itemque in quadrilatero ADEF, dia-
metro AE, parallelam ducemus FQ. quæ latus DE, productum ſecet in Q. De-
inde in recta quauis GN, ſumantur G H, HK, ipſis BC, CO, æquales, Et
AEF, ex puncto A. Quoniam bina proxima triangula conſtituunt qua drila-
terum, cuius diameter eſt latus vtrique triangulo commune, cuiuſmodi eſt A-
BCD, ducemus diametro AC, ex D, parallelam D O, quæ ſecet latus BC, pro-
ductum in O. Sic in quadrilatero ACDE, diametro AD, parallelam ducemus
EP, quæ ſecet latus CD, protractum in P. Itemque in quadrilatero ADEF, dia-
metro AE, parallelam ducemus FQ. quæ latus DE, productum ſecet in Q. De-
inde in recta quauis GN, ſumantur G H, HK, ipſis BC, CO, æquales, Et