771469LIBER DECIMVS.
cundum præmiſſa nota.
Copuletur itaq;
à puncto p ad punctũ m linea in ſuperficie circuli altitudi-
nis, quæ ſit p m: eritq́; neceſſariò, ut quæ eſt ꝓportio lineæ c d ad h k, uel lineæ b c ad k p, eadẽ ſit ꝓ-
portio lineæ a b ad lineã p m. Quòd ſi dicatur hoc nõ eſſe poſsibile: quę eſt ergo proportio lineæ c d
ad h k, uel b c ad k p: eadẽ erit lineæ a b ad aliquã aliã lineam maiorẽ uel minorẽ linea p m, per 3 th. 1
huius. Sit ergo nũc illa proportio lineæ a b ad quandã minorem linea m p, quæ ſit p r. Quæ eſt ergo
proportio lineæ c d ad lineã h k, uel b c ad lineã k p, eadẽ eſt lineæ a b ad lineã p r: quæ autẽ eſt pro-
portio lineæ c d ad lineã h k, eadẽ eſt lineæ b c ad lineã k p: ergo per 16 p 5 quæ eſt proportio lineæ
c d ad b c, eadẽ eſt h k ad k p: & quæ eſt proportio lineæ b c ad k p, eadẽ eſt lineæ a b ad lineã p r: ergo
itẽ per 16 p 5 quæ eſt proportio lineæ b c ad a b, eadẽ eſt lineæ k p ad p r: & ſic lineæ c d, b c, a b pro-
portionales erunt lineis h k, k p, p r: ſed quæ eſt proportio lineæ a b ad b c, eadẽ eſt lineæ b d ad a b:
ergo & in ipſarũ comproportionalibus ſic erit, quòd ſicut ſe habet linea r p ad p k, ſic coniunctim ſe
habebit tota p h ad lineã p r. Ducãtur ergo lineæ h r & k r: fientq́; duo triãguli, qui h r p & k r p, quo-
rum cõmunis eſt angulus r p h, & latera dictũ angulũ continẽtia reſpectu diuerſorũ trigonorũ ſunt
proportionalia: quæ enim eſt ꝓportio lineæ p r lateris maioris trianguli ad lineã p k latus minoris
trianguli: eadẽ ꝓportio lineę h p lateris maioris trigoni ad lineã p r latus trigoni p r k minoris: ergo
per 6 p 6 illi trianguli ſunt æ quianguli: ergo per 4 p 6 latera ipſorũ æ quos angulos reſpiciẽtia ſunt
proportionalia. Eſt ergo ꝓportio lineæ h p ad lineã p r, & lineæ p r ad lineã p k, ſicut lineæ h r ad li-
neã k r: ſed quam proportionẽ habet linea h p ad lineã p r, hanc habet linea b d ad lineã a b: & quam
habet linea b d ad a b, hãc habet linea a b ad b c: & quam habet a b ad b c, hãc habet linea h m ad k m
ex hypotheſi: per 11 ergo p 5 patet quòd quam proportionẽ habet linea h r ad lineã k r, hãc habet li-
nea h m ad lineã k m: hoc aũt eſt impoſsibile, & cõtra 56 th. 1 huius: quoniã in ſemicirculo quocunq;
duab. lineis ductis ad quẽcũq; pũctũ քipherię, ſcilicet una à termino diametri & alia à cẽtro, ut ſunt
in ꝓpoſito lineę h m & k m, duas alias lineas ab eiſdẽ pũctis ad ali udpũctũ circũſerentiæ quodcũq;
duabus prioribus ꝓportionales ducere eſt impoſsibile. Eſt ergo impoſsibile lineã a b ad aliá mino-
rem lineá quam linea p m, eandẽ habere ꝓportionẽ quam linea b d ad lineã h p, uel quam linea c d
ad h k, uel quã linea b c ad k p. Sed neq; poteſt linea a b habere illã proportionẽ ad aliquá lineá ma-
iorẽ linea p m: quoniã eadẽ eſt ratio, & eodẽ modo deducitur ad impoſsibile. Ergo quę eſt ꝓportio
c d ad lineã h k, uel lineæ b c ad k p: eadę erit lineæ a b ad p m: & ſequetur repetita priori demõſtra-
tione, quæ ducebat ad impoſsibile, ſcilicet, ut quæ eſt ꝓportio lineæ h p ad p m, & lineæ m p ad p k,
eadẽ ſit lineæ h m ad k m. Ductis itaq; pluribus ſemicirculis altitudinis circa centrũ k ſub horizõte,
proportionales lineæ prędictis lineis h m & k m ducãtur ſecundũ modũ 56 th. 1 huius. Si ergo linea
m p ſit perpẽdiculariter inſiſtẽs diametro h g: tũc poſito cẽtro p ſecundũ ſemidiametrũ p m deſcri-
batur circulus: quòd ſi linea p m nõ ſit perpẽdicularis ſuper diametrũ h g: polo itaq; exiſtẽte pũcto
p per 65 th. 1 huius (quoniã ille punctus æqualiter diſtabit ab omnibus in illis ſemicirculis ſignatis
pũctis, ſimilibus pũcto m) ducatur circulus ſecundũ diſtantiã lineæ p m: qui attinget omnia dicta
pũcta ſemicirculorũ altitudinis, in quæ cadũt prædictæ proportionales lineæ, ſiue anguli reflexio-
num iridẽ cauſſantes. Si enim dicatur quòd nõ attingat: accidet ſecundũ pręmiſſa contrariũ 56 th. 1
huius, quod eſt impoſsibile. Poteſt etiá ſic fieri, ut ſemicirculus h m g ſit medietas horizõtis, & facta
diuiſione in pũcto m, intelligatur circũduci idẽ ſemicirculus: nihil enim refert ſemicirculos diuer-
ſos deſcribere uel unũ circũducere: punctusq́; m circumductus deſcribet circulũ iridis, qui eſt n m,
circa centrũ uel polũ p ſecundũ diſtantiã lineæ p m: eruntq́; anguli à termino diametri, ſcilicet pũ-
cto h & à centro k ductarum linearũ ad circulũ n m, omnes æquales in qualibet ſuperficie reflexio-
nis: quia triangulus h m k in tota circum ductione ſimiles ſibi triangulos cauſſat in qualibet ſuper-
ficie reflexionis: & ſimiliter triangulus h m p motu ſuo deſcribet ſimiles triangulos: & triangulus k
m p ſimiliter ſimiles triangulos deſcribet. Si itaq; linea m p non ſit perpẽdicularis ſuper diametrũ h
g: ducatur ergo perpẽdicularis à pũcto m per 12 p 1 ſuper diametrũ h g: cadetq́; illa perpendicularis
per 29 th. 1 huius inter pũcta k & p, uel inter pũcta p & g: quoniã linea m p cũ diametro h g ex aliqua
ſui parte angulũ acutũ continet, ut patet ex pręmiſsis: & ſimiliter linea m k; quia iris nõ apparet niſi
ultra mediũ diametri horizontis, ut prius patuit: cadat ergo illa perpẽdicularis in punctũ o. Simili-
ter quoq; ad idem punctũ diametri neceſſariò cadent ab omnibus aliorũ ſemicirculorum angulis
lineæ perpẽdiculares: uel angulus k o m motu ſuo in omnibus ſuքficiebus reflexionũ æquales an-
gulos cauſſabit. Punctũ ergo o eſt centrũ circuli reflexionis factę ad uiſum. Cũ ergo centrũ iridis ſit
in horizontis diametro: medietas eius erit ſupra horizontẽ, quæ eſt n m, & medietas ſub horizõte:
quoniã tũc cõmunis ſectio ſuքficierũ horizontis & iridis eſt diameter iridis. Idẽq́; accideret ſi linea
m p eſſet քpẽdicularis ſuք diametrũ. Et hic eſt modus, quo Ariſtoteles ꝓpoſitũ cõcluſit. Sed tamen
nõ eſt nobis uiſa fore neceſſaria notitia linearũ, quia ſine illa idem & eodẽ modo declarari poteſt.
nis, quæ ſit p m: eritq́; neceſſariò, ut quæ eſt ꝓportio lineæ c d ad h k, uel lineæ b c ad k p, eadẽ ſit ꝓ-
portio lineæ a b ad lineã p m. Quòd ſi dicatur hoc nõ eſſe poſsibile: quę eſt ergo proportio lineæ c d
ad h k, uel b c ad k p: eadẽ erit lineæ a b ad aliquã aliã lineam maiorẽ uel minorẽ linea p m, per 3 th. 1
huius. Sit ergo nũc illa proportio lineæ a b ad quandã minorem linea m p, quæ ſit p r. Quæ eſt ergo
proportio lineæ c d ad lineã h k, uel b c ad lineã k p, eadẽ eſt lineæ a b ad lineã p r: quæ autẽ eſt pro-
portio lineæ c d ad lineã h k, eadẽ eſt lineæ b c ad lineã k p: ergo per 16 p 5 quæ eſt proportio lineæ
c d ad b c, eadẽ eſt h k ad k p: & quæ eſt proportio lineæ b c ad k p, eadẽ eſt lineæ a b ad lineã p r: ergo
itẽ per 16 p 5 quæ eſt proportio lineæ b c ad a b, eadẽ eſt lineæ k p ad p r: & ſic lineæ c d, b c, a b pro-
portionales erunt lineis h k, k p, p r: ſed quæ eſt proportio lineæ a b ad b c, eadẽ eſt lineæ b d ad a b:
ergo & in ipſarũ comproportionalibus ſic erit, quòd ſicut ſe habet linea r p ad p k, ſic coniunctim ſe
habebit tota p h ad lineã p r. Ducãtur ergo lineæ h r & k r: fientq́; duo triãguli, qui h r p & k r p, quo-
rum cõmunis eſt angulus r p h, & latera dictũ angulũ continẽtia reſpectu diuerſorũ trigonorũ ſunt
proportionalia: quæ enim eſt ꝓportio lineæ p r lateris maioris trianguli ad lineã p k latus minoris
trianguli: eadẽ ꝓportio lineę h p lateris maioris trigoni ad lineã p r latus trigoni p r k minoris: ergo
per 6 p 6 illi trianguli ſunt æ quianguli: ergo per 4 p 6 latera ipſorũ æ quos angulos reſpiciẽtia ſunt
proportionalia. Eſt ergo ꝓportio lineæ h p ad lineã p r, & lineæ p r ad lineã p k, ſicut lineæ h r ad li-
neã k r: ſed quam proportionẽ habet linea h p ad lineã p r, hanc habet linea b d ad lineã a b: & quam
habet linea b d ad a b, hãc habet linea a b ad b c: & quam habet a b ad b c, hãc habet linea h m ad k m
ex hypotheſi: per 11 ergo p 5 patet quòd quam proportionẽ habet linea h r ad lineã k r, hãc habet li-
nea h m ad lineã k m: hoc aũt eſt impoſsibile, & cõtra 56 th. 1 huius: quoniã in ſemicirculo quocunq;
duab. lineis ductis ad quẽcũq; pũctũ քipherię, ſcilicet una à termino diametri & alia à cẽtro, ut ſunt
in ꝓpoſito lineę h m & k m, duas alias lineas ab eiſdẽ pũctis ad ali udpũctũ circũſerentiæ quodcũq;
duabus prioribus ꝓportionales ducere eſt impoſsibile. Eſt ergo impoſsibile lineã a b ad aliá mino-
rem lineá quam linea p m, eandẽ habere ꝓportionẽ quam linea b d ad lineã h p, uel quam linea c d
ad h k, uel quã linea b c ad k p. Sed neq; poteſt linea a b habere illã proportionẽ ad aliquá lineá ma-
iorẽ linea p m: quoniã eadẽ eſt ratio, & eodẽ modo deducitur ad impoſsibile. Ergo quę eſt ꝓportio
c d ad lineã h k, uel lineæ b c ad k p: eadę erit lineæ a b ad p m: & ſequetur repetita priori demõſtra-
tione, quæ ducebat ad impoſsibile, ſcilicet, ut quæ eſt ꝓportio lineæ h p ad p m, & lineæ m p ad p k,
eadẽ ſit lineæ h m ad k m. Ductis itaq; pluribus ſemicirculis altitudinis circa centrũ k ſub horizõte,
proportionales lineæ prędictis lineis h m & k m ducãtur ſecundũ modũ 56 th. 1 huius. Si ergo linea
m p ſit perpẽdiculariter inſiſtẽs diametro h g: tũc poſito cẽtro p ſecundũ ſemidiametrũ p m deſcri-
batur circulus: quòd ſi linea p m nõ ſit perpẽdicularis ſuper diametrũ h g: polo itaq; exiſtẽte pũcto
p per 65 th. 1 huius (quoniã ille punctus æqualiter diſtabit ab omnibus in illis ſemicirculis ſignatis
pũctis, ſimilibus pũcto m) ducatur circulus ſecundũ diſtantiã lineæ p m: qui attinget omnia dicta
pũcta ſemicirculorũ altitudinis, in quæ cadũt prædictæ proportionales lineæ, ſiue anguli reflexio-
num iridẽ cauſſantes. Si enim dicatur quòd nõ attingat: accidet ſecundũ pręmiſſa contrariũ 56 th. 1
huius, quod eſt impoſsibile. Poteſt etiá ſic fieri, ut ſemicirculus h m g ſit medietas horizõtis, & facta
diuiſione in pũcto m, intelligatur circũduci idẽ ſemicirculus: nihil enim refert ſemicirculos diuer-
ſos deſcribere uel unũ circũducere: punctusq́; m circumductus deſcribet circulũ iridis, qui eſt n m,
circa centrũ uel polũ p ſecundũ diſtantiã lineæ p m: eruntq́; anguli à termino diametri, ſcilicet pũ-
cto h & à centro k ductarum linearũ ad circulũ n m, omnes æquales in qualibet ſuperficie reflexio-
nis: quia triangulus h m k in tota circum ductione ſimiles ſibi triangulos cauſſat in qualibet ſuper-
ficie reflexionis: & ſimiliter triangulus h m p motu ſuo deſcribet ſimiles triangulos: & triangulus k
m p ſimiliter ſimiles triangulos deſcribet. Si itaq; linea m p non ſit perpẽdicularis ſuper diametrũ h
g: ducatur ergo perpẽdicularis à pũcto m per 12 p 1 ſuper diametrũ h g: cadetq́; illa perpendicularis
per 29 th. 1 huius inter pũcta k & p, uel inter pũcta p & g: quoniã linea m p cũ diametro h g ex aliqua
ſui parte angulũ acutũ continet, ut patet ex pręmiſsis: & ſimiliter linea m k; quia iris nõ apparet niſi
ultra mediũ diametri horizontis, ut prius patuit: cadat ergo illa perpẽdicularis in punctũ o. Simili-
ter quoq; ad idem punctũ diametri neceſſariò cadent ab omnibus aliorũ ſemicirculorum angulis
lineæ perpẽdiculares: uel angulus k o m motu ſuo in omnibus ſuքficiebus reflexionũ æquales an-
gulos cauſſabit. Punctũ ergo o eſt centrũ circuli reflexionis factę ad uiſum. Cũ ergo centrũ iridis ſit
in horizontis diametro: medietas eius erit ſupra horizontẽ, quæ eſt n m, & medietas ſub horizõte:
quoniã tũc cõmunis ſectio ſuքficierũ horizontis & iridis eſt diameter iridis. Idẽq́; accideret ſi linea
m p eſſet քpẽdicularis ſuք diametrũ. Et hic eſt modus, quo Ariſtoteles ꝓpoſitũ cõcluſit. Sed tamen
nõ eſt nobis uiſa fore neceſſaria notitia linearũ, quia ſine illa idem & eodẽ modo declarari poteſt.
75. In aliquo circulo altitudinis ſuper horizontem exiſtente centro corporis luminoſi, ſecun-
dum eius eleuationem centrum circuli iridis ſub horizonte deprimitur: & portio iridis minor
ſemicirculo uidetur.
dum eius eleuationem centrum circuli iridis ſub horizonte deprimitur: & portio iridis minor
ſemicirculo uidetur.
Eſto ſecundum diſpoſitionem proximæ, ſcilicet ut ſit horizon circulus h m g:
cuius diameter ſit
linea m h. & centrum k: ſitq́; circulus altitudinis tranſiens per zenith capitis & per centrum corpo-
ris luminoſi: qui eſt l m n h: & ſit centrum ſolis eleuatum ſupra horizontem in circulo altitudinis in
puncto n. Et quoniam per 64 th. huius centrum corporis luminoſi, & cẽtrum oculi, & centrũ baſis
linea m h. & centrum k: ſitq́; circulus altitudinis tranſiens per zenith capitis & per centrum corpo-
ris luminoſi: qui eſt l m n h: & ſit centrum ſolis eleuatum ſupra horizontem in circulo altitudinis in
puncto n. Et quoniam per 64 th. huius centrum corporis luminoſi, & cẽtrum oculi, & centrũ baſis