3086VITELLONIS OPTICAE
ad lineam c f maiorem, quàm ad lineam c g minorem:
eſt ergo maior proportio lineæ a b ad linea m
c d, quàm lineę a e ad lineam c f: & hoc eſt propoſitum.
c d, quàm lineę a e ad lineam c f: & hoc eſt propoſitum.
5. Cum fuerit proportio primi ad ſecundum, tanquam tertij ad quartũ: erit è contrario pro-
portio ſecundi ad primum, ſicut quarti ad tertium. E' 13 def. & conſectario 4 p 5 element.
portio ſecundi ad primum, ſicut quarti ad tertium. E' 13 def. & conſectario 4 p 5 element.
Sit enim a primum, & b ſecundum, & ctertium, & d quartum:
& ſit
proportio a ad b, ſicut c ad d. Dico, quòd erit è contrario proportio b ad
262[Figure 262]a b c d a, ſicut d ad c. Quoniam enim eſt proportio a ad b, ſicut c ad d: erit per 16
p 5 permutatim proportio a ad c, ſicut b ad d: eſt ergo proportio b ad d,
ſicut a ad c: ergo iterum per 16 p 5 erit permutatim proportio b ad a, ſi-
cut d ad c, ſecundi uidelicet ad primum, ſicut quarti ad tertium: quod eſt
propoſitum.
proportio a ad b, ſicut c ad d. Dico, quòd erit è contrario proportio b ad
262[Figure 262]a b c d a, ſicut d ad c. Quoniam enim eſt proportio a ad b, ſicut c ad d: erit per 16
p 5 permutatim proportio a ad c, ſicut b ad d: eſt ergo proportio b ad d,
ſicut a ad c: ergo iterum per 16 p 5 erit permutatim proportio b ad a, ſi-
cut d ad c, ſecundi uidelicet ad primum, ſicut quarti ad tertium: quod eſt
propoſitum.
6. Cum fuerit quatuor quantitatum proportio primæ ad ſecundã
maior, quãtertiæ ad quartam: erit è contr ario minor proportio ſecun-
dæ ad primam, quàm quartæ ad tertiam. 26 p 5 element. in Campano.
maior, quãtertiæ ad quartam: erit è contr ario minor proportio ſecun-
dæ ad primam, quàm quartæ ad tertiam. 26 p 5 element. in Campano.
Eſto proportio lineæ a ad lineam b maior, quàm lineæ c ad lineam d.
Dico, quôd erit è contrario
minor proportio lineæ b ad lineam a, quàm lineæ d ad li-
263[Figure 263]a b e c d neam c. Sit enim per 3 huius, ut, quæ eſt proportio lineæ c
ad lineam d, eadem ſit lineæ e ad lineam b. Quia ergo ma-
ior eſt proportio lineæ a ad lineam b, quàm lineæ c ad li-
neam d ex hypotheſi: patet, quòd minor eſt proportio li-
neæ e ad lineam b, quam lineę a ad lineã b: ergo per 10 p 5
linea a eſt maior quã linea e. Et quia eſt proportio lineæ e
ad lineam b, ſicut lineę c ad lineam d, erit per præmiſſam
eadem proportio lineę b ad lineã e, quę lineæ d ad lineam
c. Eſt autem per 8 p 5 minor proportio lineæ b ad lineam a,
quàm ad lineam e: eſt ergo minor proportio lineæ b ad lineam a, quàm lineę d ad lineam c: quod
eſt propoſitum.
minor proportio lineæ b ad lineam a, quàm lineæ d ad li-
263[Figure 263]a b e c d neam c. Sit enim per 3 huius, ut, quæ eſt proportio lineæ c
ad lineam d, eadem ſit lineæ e ad lineam b. Quia ergo ma-
ior eſt proportio lineæ a ad lineam b, quàm lineæ c ad li-
neam d ex hypotheſi: patet, quòd minor eſt proportio li-
neæ e ad lineam b, quam lineę a ad lineã b: ergo per 10 p 5
linea a eſt maior quã linea e. Et quia eſt proportio lineæ e
ad lineam b, ſicut lineę c ad lineam d, erit per præmiſſam
eadem proportio lineę b ad lineã e, quę lineæ d ad lineam
c. Eſt autem per 8 p 5 minor proportio lineæ b ad lineam a,
quàm ad lineam e: eſt ergo minor proportio lineæ b ad lineam a, quàm lineę d ad lineam c: quod
eſt propoſitum.
7. Si quatuor quantitatum proportion alium prima fuerit maior quãſecunda, & tertia ma-
ior quã quarta: erit euerſim eadem proportio primæ ad augmentum ſui ſuper ſecundam, quæ ter
tiæ ad augmentum ſui ſuper quartam. E' 16 definit. & conſectario 19 p 5.
ior quã quarta: erit euerſim eadem proportio primæ ad augmentum ſui ſuper ſecundam, quæ ter
tiæ ad augmentum ſui ſuper quartam. E' 16 definit. & conſectario 19 p 5.
Sint quatuor lineę proportionales a c prima:
b c ſecunda:
d ftertia:
& e f quarta.
Sitq́ue linea a b
maior quàm linea b c, & linea d f maior, quàm linea e f: ex-
264[Figure 264]a b c d e f cedat quoque linea a c lineam b c, in linea a b, & linea d f
lineam e f, in linea d e. Dico, quòd eadem erit proportio
lineę a c ad lineam a b, quę lineę d f ad lineam d e. Quo-
niam enim eſt proportio lineę a c ad lineam b c, ſicut lineę
d f ad lineam e f: eſt ergo per 16 p 5 permutatim proportio
lineę a c ad lineam d f, ſicut lineę b c ad lineam e f: ergo per
19 p 5 erit proportio lineę a b ad lineam d e, ſicut lineę a c
ad lineam d f: ergo per 16 p 5 erit proportio lineę a b ad lineam a c. ſicut lineę d e ad lineam d f. Ergo
per 5 huius erit proportio lineę a c ad lineam a b, ſicut lineę d fad lineam d e: quod eſt propoſitum.
maior quàm linea b c, & linea d f maior, quàm linea e f: ex-
264[Figure 264]a b c d e f cedat quoque linea a c lineam b c, in linea a b, & linea d f
lineam e f, in linea d e. Dico, quòd eadem erit proportio
lineę a c ad lineam a b, quę lineę d f ad lineam d e. Quo-
niam enim eſt proportio lineę a c ad lineam b c, ſicut lineę
d f ad lineam e f: eſt ergo per 16 p 5 permutatim proportio
lineę a c ad lineam d f, ſicut lineę b c ad lineam e f: ergo per
19 p 5 erit proportio lineę a b ad lineam d e, ſicut lineę a c
ad lineam d f: ergo per 16 p 5 erit proportio lineę a b ad lineam a c. ſicut lineę d e ad lineam d f. Ergo
per 5 huius erit proportio lineę a c ad lineam a b, ſicut lineę d fad lineam d e: quod eſt propoſitum.
8. Si quatuor quantit atum prima fuerit maior ſecunda, & tertia maior quarta: erit maior
proportio primæ ad quartam, quàm ſecundæ ad tertiam. Conſectarium ex 8 p 5 element.
proportio primæ ad quartam, quàm ſecundæ ad tertiam. Conſectarium ex 8 p 5 element.
Sint quatuor lineę a, b, c, d:
& ſit a prima maior quàm b ſecũda, & ſit c tertia maior, quàm d quar-
ta. Dico, quòd maior eſt proportio lineæ a, ad lineam d, quàm
265[Figure 265]a b c d lineę b ad lineam c. Quia enim linea c eſt maior quàm linea d
ex hypotheſi: patet per 8 p 5: quoniam maior eſt proportio li-
neę a ad lineam d, quàm ad lineam c: minor uero eſt proportio
lineę b ad lineã c, quàm lineę a, ad lineam c per eandem 8 p 5:
quoniam ut pręmiſſum eſt linea a eſt maior quàm linea b. Et
quoniam quicquid eſt maius maiore, eſt maius minore: patet,
quòd maior eſt proportio lineę a ad lineam d, quàm lineę b ad
lineam c: patet ergo propoſitum.
ta. Dico, quòd maior eſt proportio lineæ a, ad lineam d, quàm
265[Figure 265]a b c d lineę b ad lineam c. Quia enim linea c eſt maior quàm linea d
ex hypotheſi: patet per 8 p 5: quoniam maior eſt proportio li-
neę a ad lineam d, quàm ad lineam c: minor uero eſt proportio
lineę b ad lineã c, quàm lineę a, ad lineam c per eandem 8 p 5:
quoniam ut pręmiſſum eſt linea a eſt maior quàm linea b. Et
quoniam quicquid eſt maius maiore, eſt maius minore: patet,
quòd maior eſt proportio lineę a ad lineam d, quàm lineę b ad
lineam c: patet ergo propoſitum.
9. Cum quatuor quantitatum prima fuerit maior quàm
tertia, & ſecunda minor quàm quarta: maior erit proportio primæ ad ſecundam, quàm tertiæ
ad quartam. Conſectarium ex 8 p 5 element.
tertia, & ſecunda minor quàm quarta: maior erit proportio primæ ad ſecundam, quàm tertiæ
ad quartam. Conſectarium ex 8 p 5 element.
Sint quatuor lineę a prima:
b ſecũda:
c tertia:
d quarta:
ſitq́;
a maior quàm c, & ſit b minor quã d.