31513LIBER I.recto:
in uniuerſaliori ſcientia, ut in ea, quę de elementatis concluſionibus, uniuerſaliorem dignã
propoſitione exiſtimantes. Sit ita que angu-
287[Figure 287]b a h c ſ d g e lus rectus a b c, quem in partes tres ęquales uo
lumus diuidere: aſſumatur ergo linea quęcun-
que, & ſit d e: ſuper quam conſtituatur trigo nũ
ęquilaterum per 1 p 1: quòd ſit d f e, cuius angu-
lus d f e diuidatur per ęqualia per 9 p 1 ducta li
nea f g: erit ergo angulus d f g tertia pars unius
recti, cum ipſe ſit ſexta pars duorum rectorum
per 32 p 1: ergo per pręcedentem ab angulo re-
cto a b c reſecetur angulus a b h ęqualis angu-
lo d f g, & diuidatur angulus h b c per ęqualia per 9 p 1: patet ergo propoſitum.
propoſitione exiſtimantes. Sit ita que angu-
287[Figure 287]b a h c ſ d g e lus rectus a b c, quem in partes tres ęquales uo
lumus diuidere: aſſumatur ergo linea quęcun-
que, & ſit d e: ſuper quam conſtituatur trigo nũ
ęquilaterum per 1 p 1: quòd ſit d f e, cuius angu-
lus d f e diuidatur per ęqualia per 9 p 1 ducta li
nea f g: erit ergo angulus d f g tertia pars unius
recti, cum ipſe ſit ſexta pars duorum rectorum
per 32 p 1: ergo per pręcedentem ab angulo re-
cto a b c reſecetur angulus a b h ęqualis angu-
lo d f g, & diuidatur angulus h b c per ęqualia per 9 p 1: patet ergo propoſitum.
29. Linea diuidens angulum alicuius trigoni, producta, baſim ſubtenſam illi angulo neceſſa
riò ſecabit: & ſi linea ſecans baſim, ad punctum concurſ{us} laterum trigoni producatur: illa an-
gulum baſi oppoſitum ſecabit.
riò ſecabit: & ſi linea ſecans baſim, ad punctum concurſ{us} laterum trigoni producatur: illa an-
gulum baſi oppoſitum ſecabit.
Sit, ut linea b d ſecet angulum a b c trigoni a b c.
Dico, quòd eadem linea b d producta, neceſſa-
riò ſecabit baſim a c illi angulo ſubtenſam. Si enim non ſecabit baſim a c, concurret tamen cũ pro-
ducta a c per 14 huius: ideo quia anguli b a c & a b f ſunt
288[Figure 288]b a d c f minores duobus rectis ex hypotheſi & per 32 p 1: ſit ergo
concurſus in puncto fultra punctum c. Eſt ergo trigono-
rum a b c & a b f angulus b a c cõmunis, & angulus b c a
maior angulo b f c per 16 p 1: erit ergo per 32 p 1 angulus a
b f maior angulo a b c: non ergo ſecat linea b f angulum
a b c: cadet itaq; neceſſariò inter puncta a & c: & ita ſeca-
bit baſim a c: quia ſi etiam caderet in punctũ a, uel in pun-
ctum c, non adhuc diuideret angulum a b c: patet ergo ꝓ-
poſitum primum. Patet etiã & reliquum propoſitorum:
quoniam ſi linea b d ſecet baſim trigoni a b c, & applice-
tur puncto b, quod eſt punctus concurſus laterum a b & c b: patet, quòd linea b d ſecabit angulum
a b c: ſit enim per 16 p 1 angulus a d b maior angulo b a c b: ſed angulus a c eſt cõmunis ambobus tri
gonis a b c & a b d: ergo per 32 p 1 angulus a b d eſt minor angulo a b c. Eſt ergo ſectus angulus a b c
per lineam b d: quod eſt ſecundum propoſitorum.
riò ſecabit baſim a c illi angulo ſubtenſam. Si enim non ſecabit baſim a c, concurret tamen cũ pro-
ducta a c per 14 huius: ideo quia anguli b a c & a b f ſunt
288[Figure 288]b a d c f minores duobus rectis ex hypotheſi & per 32 p 1: ſit ergo
concurſus in puncto fultra punctum c. Eſt ergo trigono-
rum a b c & a b f angulus b a c cõmunis, & angulus b c a
maior angulo b f c per 16 p 1: erit ergo per 32 p 1 angulus a
b f maior angulo a b c: non ergo ſecat linea b f angulum
a b c: cadet itaq; neceſſariò inter puncta a & c: & ita ſeca-
bit baſim a c: quia ſi etiam caderet in punctũ a, uel in pun-
ctum c, non adhuc diuideret angulum a b c: patet ergo ꝓ-
poſitum primum. Patet etiã & reliquum propoſitorum:
quoniam ſi linea b d ſecet baſim trigoni a b c, & applice-
tur puncto b, quod eſt punctus concurſus laterum a b & c b: patet, quòd linea b d ſecabit angulum
a b c: ſit enim per 16 p 1 angulus a d b maior angulo b a c b: ſed angulus a c eſt cõmunis ambobus tri
gonis a b c & a b d: ergo per 32 p 1 angulus a b d eſt minor angulo a b c. Eſt ergo ſectus angulus a b c
per lineam b d: quod eſt ſecundum propoſitorum.
30. Ab angulo dati trigoni linea perpendiculariter ad baſim producta, ſirectangulum ſub
partibus baſis contentum, maius fuerit quadrato perpendicularis: neceſſe est angulum (à quo
fit ductio) obtuſum eſſe: ſi minus, acutum: ſi æquale, rectum.
partibus baſis contentum, maius fuerit quadrato perpendicularis: neceſſe est angulum (à quo
fit ductio) obtuſum eſſe: ſi minus, acutum: ſi æquale, rectum.
Sit datus trigonus a b c, à cuius angulo b a c ducatur linea perpendicularis ſuper baſim b c:
ſe-
cetq́; ipſam in puncto d: & ſit a d: ſitq́; illud, quod fit ex ductu b d in d c maius quadrato lineæ a d.
Dico, quòd angulus b a c eſt obtuſus. Patet e-
289[Figure 289]a b d c290[Figure 290]g e291[Figure 291]a b d c292[Figure 292]a b d f c nim per 17 p 6, quia non eſt proportio lineæ
b d ad lineam a d, quæ lineæ a d ad lineam d c.
ſit ergo per 12 p 6, ut quæ eſt proportio lineæ
b d ad lineam a d, eadem ſit lineæ a d ad lineã
g e: erit ergo illud, quod fit ex ductu lineæ b d
in lineam g e æquale quadrato lineæ a d per
17 p 6: quia illud, quod fit ex ductu lineę b d in
lineam d c, eſt maius quadrato lineę a d: patet,
quòd linea g e eſt minor quàm linea d c per 1
p 6. Abſcindatur ergo à linea d c æqualis lineę
g e per 3 p 1, & ſit d f, ducaturq́; linea a f. Quia
itaq; illud, quod fit ex ductu lineæ b d in lineam d f, eſt æquale quadrato lineæ a d: patet per 17 p 6,
quoniam eſt proportio lineæ b d ad lineã a d, ſicut lineæ a d ad lineã d f: erit ergo per conuerſam 8
p 6 angulus b a f rectus. Ergo angulus b a c eſt eſt maior recto. Similiterq́; demonſtrandum, quòd ſi
illud, quòd fit ex ductu b d in d c ſit minus quadrato a d, quoniam angulus b a c eſt acutus: nam per
eadem fit demonftratio. Pater etiam per eandem conuerſam 8 p 6, quoniam ſi illud, quod fit ex du
ctu lineæ b d in lineam d c, ſit æquale quadrato lineæ a d, quoniam angulus b a c eſt rectus: patet
ergo propoſitum.
cetq́; ipſam in puncto d: & ſit a d: ſitq́; illud, quod fit ex ductu b d in d c maius quadrato lineæ a d.
Dico, quòd angulus b a c eſt obtuſus. Patet e-
289[Figure 289]a b d c290[Figure 290]g e291[Figure 291]a b d c292[Figure 292]a b d f c nim per 17 p 6, quia non eſt proportio lineæ
b d ad lineam a d, quæ lineæ a d ad lineam d c.
ſit ergo per 12 p 6, ut quæ eſt proportio lineæ
b d ad lineam a d, eadem ſit lineæ a d ad lineã
g e: erit ergo illud, quod fit ex ductu lineæ b d
in lineam g e æquale quadrato lineæ a d per
17 p 6: quia illud, quod fit ex ductu lineę b d in
lineam d c, eſt maius quadrato lineę a d: patet,
quòd linea g e eſt minor quàm linea d c per 1
p 6. Abſcindatur ergo à linea d c æqualis lineę
g e per 3 p 1, & ſit d f, ducaturq́; linea a f. Quia
itaq; illud, quod fit ex ductu lineæ b d in lineam d f, eſt æquale quadrato lineæ a d: patet per 17 p 6,
quoniam eſt proportio lineæ b d ad lineã a d, ſicut lineæ a d ad lineã d f: erit ergo per conuerſam 8
p 6 angulus b a f rectus. Ergo angulus b a c eſt eſt maior recto. Similiterq́; demonſtrandum, quòd ſi
illud, quòd fit ex ductu b d in d c ſit minus quadrato a d, quoniam angulus b a c eſt acutus: nam per
eadem fit demonftratio. Pater etiam per eandem conuerſam 8 p 6, quoniam ſi illud, quod fit ex du
ctu lineæ b d in lineam d c, ſit æquale quadrato lineæ a d, quoniam angulus b a c eſt rectus: patet
ergo propoſitum.
31. Abangulo iſoſcelis ducta perpendicularis ſuper baſim in duos partiales ſimiles trigo-
nos diuidit iſoſcelem. Ex quo patet, quòd linea perpendicularis ad medium punctum baſis ne-
ceſſariò pertingit.
nos diuidit iſoſcelem. Ex quo patet, quòd linea perpendicularis ad medium punctum baſis ne-
ceſſariò pertingit.
Sit iſoſceles a b c, cuius latera a b & a c ſint æqualia:
& ab angulo b a c ducatur ſuper ba-