31715LIBER I.
partis b aſis remotioris ad propinquiorem. 5 p geometriæ Iordani.
Sit trigonum orthogonium a b c, cuius angulus b a c ſit rectus:
& à puncto b ducatur ad latus
a c (quod eſt baſis anguli a b c) linea recta, quæ ſit b d. Dico, quòd minor eſt proportio anguli
c b d remotioris ab angulo recto, ad angulum d b a propinquiorem ipſi recto, quàm partis baſis
remotioris ab angulo recto (quæ eſt c d) ad latus d a propinquius ipſi angulo recto. Quoniam
enim angulus b a c eſt rectus, patet, quia angulus b d a eſt acutus per
297[Figure 297]c d f e a b 32 p 1: ergo per 13 p 1, angulus b d c eſt obtuſus: ergo per 19 p 1 latus
b d eſt maius latere a b, & minus latere b c. A' centro itaque b ſe-
cundum quantitatem ſemidiametri b d deſcribatur arcus circuli ſe-
cans lineam b c in puncto e: & ad ipſum producatur linea b a, in pun
ctum f: factiq́ue erunt duo ſectores b d e minor trigono b d c, &
b d f maior trigono b d a. Et quoniam eſt proportio ſectoris ad ſe-
ctorem, ſicut arcus f d ad arcum d e, ut patet per modum demon-
ſtrationis 1 p 6: quoniam omnes ſectores eiuſdem circuli, ſunt eiuſdẽ
altitudinis, & æquemultiplicia arcuum faciunt æquemultiplicia
ipſorum ſectorum: proportio uerò arcus d fad arcum d e eſt ſicut
anguli d b f ad angulum d b e per 33 p 6. Cum itaque trigonum c
d b ſit maius quàm ſector e d b, & ſector f d b ſit maior trigonoa
d b: erit per 9 huius trigoni c d b primi ad trigonum d b a ſecũdum
maior proportio, quàm ſectoris e b d tertij ad ſectorem d b f quar-
tum. Eſt autem per 1 p 6 trigoni c b d ad trigonum d b a, ſicut baſis
c d ad baſim d a: ſectoris uerò e d f ad ſectorem d b f, ut patet expræmiſsis, eſt proportio ſicut
anguli e b d ad angulũ d b f. Patet ergo, quòd maior eſt proportio lineæ c d ad lineam d a, quàm an-
guli c b d ad angulum d b a. Ergo minor eſt proportio anguli c b d ad angulum d b a, quàm lateris
c d ad latus d a: quod eſt propoſitum.
a c (quod eſt baſis anguli a b c) linea recta, quæ ſit b d. Dico, quòd minor eſt proportio anguli
c b d remotioris ab angulo recto, ad angulum d b a propinquiorem ipſi recto, quàm partis baſis
remotioris ab angulo recto (quæ eſt c d) ad latus d a propinquius ipſi angulo recto. Quoniam
enim angulus b a c eſt rectus, patet, quia angulus b d a eſt acutus per
297[Figure 297]c d f e a b 32 p 1: ergo per 13 p 1, angulus b d c eſt obtuſus: ergo per 19 p 1 latus
b d eſt maius latere a b, & minus latere b c. A' centro itaque b ſe-
cundum quantitatem ſemidiametri b d deſcribatur arcus circuli ſe-
cans lineam b c in puncto e: & ad ipſum producatur linea b a, in pun
ctum f: factiq́ue erunt duo ſectores b d e minor trigono b d c, &
b d f maior trigono b d a. Et quoniam eſt proportio ſectoris ad ſe-
ctorem, ſicut arcus f d ad arcum d e, ut patet per modum demon-
ſtrationis 1 p 6: quoniam omnes ſectores eiuſdem circuli, ſunt eiuſdẽ
altitudinis, & æquemultiplicia arcuum faciunt æquemultiplicia
ipſorum ſectorum: proportio uerò arcus d fad arcum d e eſt ſicut
anguli d b f ad angulum d b e per 33 p 6. Cum itaque trigonum c
d b ſit maius quàm ſector e d b, & ſector f d b ſit maior trigonoa
d b: erit per 9 huius trigoni c d b primi ad trigonum d b a ſecũdum
maior proportio, quàm ſectoris e b d tertij ad ſectorem d b f quar-
tum. Eſt autem per 1 p 6 trigoni c b d ad trigonum d b a, ſicut baſis
c d ad baſim d a: ſectoris uerò e d f ad ſectorem d b f, ut patet expræmiſsis, eſt proportio ſicut
anguli e b d ad angulũ d b f. Patet ergo, quòd maior eſt proportio lineæ c d ad lineam d a, quàm an-
guli c b d ad angulum d b a. Ergo minor eſt proportio anguli c b d ad angulum d b a, quàm lateris
c d ad latus d a: quod eſt propoſitum.
298[Figure 298]e d b a c
36. Cuiuslibet trigoni duo latera producta, aliud trigonum
priori ſimile principiant, lateribus poſitione & ſitu tranſmutatis.
priori ſimile principiant, lateribus poſitione & ſitu tranſmutatis.
Sit trigonum a b c, cuius latus a b ſit dextrum, & latus b c ſiniſtrũ,
quæ producantur ultra punctum b: & proportionaliter prioribus la-
teribus abſcindantur per 12 p 6, linea ſcilicet a b in puncto d, & linea
c b in puncto e: & coniungatur linea d e. Erit ita que trigonum d b e
ſimile trigono a b c: ſed & latus d b erit ſiniſtrum, & latus e b dextrũ.
Sunt ita que latera iſtorum trigonorum poſitione, & ſitu tranſmuta-
ta: quod eſt propoſitum.
quæ producantur ultra punctum b: & proportionaliter prioribus la-
teribus abſcindantur per 12 p 6, linea ſcilicet a b in puncto d, & linea
c b in puncto e: & coniungatur linea d e. Erit ita que trigonum d b e
ſimile trigono a b c: ſed & latus d b erit ſiniſtrum, & latus e b dextrũ.
Sunt ita que latera iſtorum trigonorum poſitione, & ſitu tranſmuta-
ta: quod eſt propoſitum.
37. Omnium duorum trigonorum rectangulorum, quorum
unius unum laterum rectos angulos continentium fuerit maius
altero alterius, reliquum uerò minus reliquo: erit angulus acu-
tus unius maius latus reſpiciens, maior angulo alterius ſuum rela-
tiuum latus reſpiciente.
unius unum laterum rectos angulos continentium fuerit maius
altero alterius, reliquum uerò minus reliquo: erit angulus acu-
tus unius maius latus reſpiciens, maior angulo alterius ſuum rela-
tiuum latus reſpiciente.
Verbi gratia:
ſint duo trianguli rectanguli a b c & a c d:
299[Figure 299]a f h b e d c gſintq́; anguli a b c & a d c recti: & ſit latus b c trianguli a b c
maius latere c d trianguli a c d, & reliquum laterum rectos
angulos continentium a b unius ſit minus reliquo latere al-
terius, quod eſt a d, ut patet in propoſita figuratione, ſi linea
a b intelligatur erecta ſuper lineam b c & ſuperficiem eius,
& linea b d intelligatur perpendicularis ſuper lineam d c in
eadem ſuperficie iacentem: tunc enim erit linea a d perpen-
dicularis ſuper lineam d c per 22 huius: quod etiam patet, ſi
in ſuperficie iacente ducatur linea b e æquidiſtanter lineæ
d c per 31 p 1. Et quoniam linea a b eſt perpendicularis ſuper
ſuperficiem iacentem, in qua ſunt lineæ b d, d c, b e, palàm
per definitionem lineæ erectæ, quoniam angulus a b e eſt
rectus: ſed & angulus e b d eſt rectus per 29 p 1, cum angu-
lus b d c ſit rectus per 22 huius, & lineæ b e & d c æquidiſtẽt:
ergo per 4 p 11 linea b e eſt erecta ſuper ſuperficiem trigoni
a b d: ergo per 8 p 11 linea d c eſt perpen dicularis ſuper ean-
dem ſuperficiem trigoni a b d: angulus ergo a d c eſt rectus:
ſed & latus a d maius eſt latere a b per 19 p 1: quoniam angulus a b d eſt rectus. Dico ergo, quòd
angulus a c d eſt maior angulo a c b. quoniam enim latus a d eſt maius latere b a per 19 p 1, cum an-
gulus a b d ſit rectus: patet, quòd præſens figuratio eſt cõformis hypotheſi. Reſecetur ergo per 3 p 1
299[Figure 299]a f h b e d c gſintq́; anguli a b c & a d c recti: & ſit latus b c trianguli a b c
maius latere c d trianguli a c d, & reliquum laterum rectos
angulos continentium a b unius ſit minus reliquo latere al-
terius, quod eſt a d, ut patet in propoſita figuratione, ſi linea
a b intelligatur erecta ſuper lineam b c & ſuperficiem eius,
& linea b d intelligatur perpendicularis ſuper lineam d c in
eadem ſuperficie iacentem: tunc enim erit linea a d perpen-
dicularis ſuper lineam d c per 22 huius: quod etiam patet, ſi
in ſuperficie iacente ducatur linea b e æquidiſtanter lineæ
d c per 31 p 1. Et quoniam linea a b eſt perpendicularis ſuper
ſuperficiem iacentem, in qua ſunt lineæ b d, d c, b e, palàm
per definitionem lineæ erectæ, quoniam angulus a b e eſt
rectus: ſed & angulus e b d eſt rectus per 29 p 1, cum angu-
lus b d c ſit rectus per 22 huius, & lineæ b e & d c æquidiſtẽt:
ergo per 4 p 11 linea b e eſt erecta ſuper ſuperficiem trigoni
a b d: ergo per 8 p 11 linea d c eſt perpen dicularis ſuper ean-
dem ſuperficiem trigoni a b d: angulus ergo a d c eſt rectus:
ſed & latus a d maius eſt latere a b per 19 p 1: quoniam angulus a b d eſt rectus. Dico ergo, quòd
angulus a c d eſt maior angulo a c b. quoniam enim latus a d eſt maius latere b a per 19 p 1, cum an-
gulus a b d ſit rectus: patet, quòd præſens figuratio eſt cõformis hypotheſi. Reſecetur ergo per 3 p 1