32018VITELLONIS OPTICAE
æ quidiſtat lateri a b, & linea n p lateri a d, & linea p m lateri c d.
Ergo ք 29 p 1 anguli ſuperficiei l m
p n ſunt æquales angulis datæ ſuperficiei a b c d, & latera eorum ſunt proportionalia per 4 p 6. Pa-
tet ergo, quòd illæ ſuperficies ſunt ſimiles: & hoc proponebatur faciendũ: patet ergo propoſitum.
p n ſunt æquales angulis datæ ſuperficiei a b c d, & latera eorum ſunt proportionalia per 4 p 6. Pa-
tet ergo, quòd illæ ſuperficies ſunt ſimiles: & hoc proponebatur faciendũ: patet ergo propoſitum.
42. Omnis angulus à diametro & quacun linea ſuper circumferentiam circuli contẽtus,
neceſſariò est acutus. Alhazen 60 n 5.
neceſſariò est acutus. Alhazen 60 n 5.
Sit circulus a b c, cuius diameter a b, & ducatur linea a c, utcunq;
contingit.
Dico, quòd angulus
b a c neceſſariò eſt acutus. Producatur enim linea b c
306[Figure 306]c a b ad peripheriam in pũctum c. Et quoniã angulus a c b
eſt rectus per 31 p 3, patet per 32 p 1, quia angulus b a c
eſt acutus: & ſimiliter angulus a b c. Patet itaq; propo
ſitum: & de hoc theoremate nõ ſeruimus intellectui,
ſed breuitati, quia hanc demonſtrationem toties, ut
occurrit, repetere, tædium fuit.
b a c neceſſariò eſt acutus. Producatur enim linea b c
306[Figure 306]c a b ad peripheriam in pũctum c. Et quoniã angulus a c b
eſt rectus per 31 p 3, patet per 32 p 1, quia angulus b a c
eſt acutus: & ſimiliter angulus a b c. Patet itaq; propo
ſitum: & de hoc theoremate nõ ſeruimus intellectui,
ſed breuitati, quia hanc demonſtrationem toties, ut
occurrit, repetere, tædium fuit.
43. Omnes angulos æqualium ucl ſimilium por-
tionum eiuſdem circuli ſub arcu & recta contentos
æquales: angulos uerò cuiuſcun minoris portionis
minores, & maioris maiores eſſe neceſſe eſt. Ex quo
patet, omnes angulos ſemicir culorum æquales eſſe.
tionum eiuſdem circuli ſub arcu & recta contentos
æquales: angulos uerò cuiuſcun minoris portionis
minores, & maioris maiores eſſe neceſſe eſt. Ex quo
patet, omnes angulos ſemicir culorum æquales eſſe.
Sit circulus, cuius centrum a, & diameter g f:
& in
c o ſignentur arcus æquales, qui ſint b c & d e, produ-
ctis chordis b c & d e. Dico, quòd anguli g b c, & f d e,
ſub arcubus & chordis contenti ſunt æquales. Duca-
tur enim à puncto b linea contingens circulum per 17 p 3, quæ ſit b l, & à puncto d linea d m: & du-
cantur à centro lineę a b, a c, a d, a e, eruntq́; per 5 p 1 anguli a b c & a c b æquales: & anguli a d e &
a e d æquales: ſed trigona a b c & a d e ſunt æquiangula per 4 p 1: angulus enim b a c eſt æqualis an-
gulo d a e, per 27 p 3: angulus quoq; a b l eſt æqualis angulo
307[Figure 307]ſ q r n g o b c s c a d e f m a d m, quoniam uterq; eorũ eſt rectus per 18 p 3: ſed angulus
contingentiæ l b g eſt æqualis angulo contingentiæ m d f:
quoniam uterq; ipſorum eſt minimus acutorum per 18 p 3.
Relin quitur ergo angulus g b c a b arcu b g, & recta b c con
tentus, æqualis angulo f d e, ab arcu f d, & recta d e conten-
to: ſed & angulus g c b eſt ęqualis angulo g b c eadem ratio-
ne: ſimiliter quoq; angulus f e d eſt æqualis angulo f d e. O-
mnes itaq; hi anguli ſunt æquales. Sit quoq; arcus minor ar
cu b c, quireſecetur ab arcu b c, qui ſit arcus n o, & ducãtur
lineæ a n, a o: ducatur quoq; chorda n o: & ducantur contin
gẽtes n q & o r. Quia itaq; trigoni a n o anguli ad baſim ſunt
æquales per 5 p 1, & angulus o a n minor angulo c a b, per
33 p 6: erit per 32 p 1 quilibet angulorum a n o & a o n maior
quolibet angulorum a b c & a c b. Sit itaq; angulus o n a m a
ior angulo c b a: ſed angulus contingentię q n g eſt ęqualis
angulo cõtingentię l b g: relinquitur ergo angulus g n o mi-
nor angulo g b c, cum anguli l b a & q n a ſint æquales: quia
uterq; rectus per 18 p 3. Sit iam arcus maior arcu b c, qui ſit s c, & ducatur chorda s c: & quia angulus
c a s eſt maior angulo c a b per 33 p 6: patet tũc, quòd angulus a s c eſt minor angulo a b c: & ita con-
cludetur, ut prius, quoniã angulus g s c contentus ſub arcu g s, & chorda s c eſt maior angulo g b c:
ergo & angulo g n o. Patet & hocidem de ſimilibus arcubus quibuſcunq; eorundem circulorum,
quoniam per definitionem ſimilium arcuũ ipſi angulos ſuſcipiunt æquales per 10 defin. 3. Ex quo
patet corollarium, quoniam omnes anguli ſemicirculorum ſunt æquales: omnes enim ſemicirculi
ſunt ſimiles: & eiuſdem circuli ſimiles & ęquales: hoc itaq; proponebatur.
c o ſignentur arcus æquales, qui ſint b c & d e, produ-
ctis chordis b c & d e. Dico, quòd anguli g b c, & f d e,
ſub arcubus & chordis contenti ſunt æquales. Duca-
tur enim à puncto b linea contingens circulum per 17 p 3, quæ ſit b l, & à puncto d linea d m: & du-
cantur à centro lineę a b, a c, a d, a e, eruntq́; per 5 p 1 anguli a b c & a c b æquales: & anguli a d e &
a e d æquales: ſed trigona a b c & a d e ſunt æquiangula per 4 p 1: angulus enim b a c eſt æqualis an-
gulo d a e, per 27 p 3: angulus quoq; a b l eſt æqualis angulo
307[Figure 307]ſ q r n g o b c s c a d e f m a d m, quoniam uterq; eorũ eſt rectus per 18 p 3: ſed angulus
contingentiæ l b g eſt æqualis angulo contingentiæ m d f:
quoniam uterq; ipſorum eſt minimus acutorum per 18 p 3.
Relin quitur ergo angulus g b c a b arcu b g, & recta b c con
tentus, æqualis angulo f d e, ab arcu f d, & recta d e conten-
to: ſed & angulus g c b eſt ęqualis angulo g b c eadem ratio-
ne: ſimiliter quoq; angulus f e d eſt æqualis angulo f d e. O-
mnes itaq; hi anguli ſunt æquales. Sit quoq; arcus minor ar
cu b c, quireſecetur ab arcu b c, qui ſit arcus n o, & ducãtur
lineæ a n, a o: ducatur quoq; chorda n o: & ducantur contin
gẽtes n q & o r. Quia itaq; trigoni a n o anguli ad baſim ſunt
æquales per 5 p 1, & angulus o a n minor angulo c a b, per
33 p 6: erit per 32 p 1 quilibet angulorum a n o & a o n maior
quolibet angulorum a b c & a c b. Sit itaq; angulus o n a m a
ior angulo c b a: ſed angulus contingentię q n g eſt ęqualis
angulo cõtingentię l b g: relinquitur ergo angulus g n o mi-
nor angulo g b c, cum anguli l b a & q n a ſint æquales: quia
uterq; rectus per 18 p 3. Sit iam arcus maior arcu b c, qui ſit s c, & ducatur chorda s c: & quia angulus
c a s eſt maior angulo c a b per 33 p 6: patet tũc, quòd angulus a s c eſt minor angulo a b c: & ita con-
cludetur, ut prius, quoniã angulus g s c contentus ſub arcu g s, & chorda s c eſt maior angulo g b c:
ergo & angulo g n o. Patet & hocidem de ſimilibus arcubus quibuſcunq; eorundem circulorum,
quoniam per definitionem ſimilium arcuũ ipſi angulos ſuſcipiunt æquales per 10 defin. 3. Ex quo
patet corollarium, quoniam omnes anguli ſemicirculorum ſunt æquales: omnes enim ſemicirculi
ſunt ſimiles: & eiuſdem circuli ſimiles & ęquales: hoc itaq; proponebatur.
44. Si idem angulus ſuper centrum unius æqualium circulorum, & ſuper peripheriam alte-
rius conſiſtat, arcus reſpondens angulo ſuper peripheriã conſtituto, reliquo arcui duplus erit. In
circulis uerò inæqualibus illorũ arcuum proportio ad ſuas totales peripherias duplicatur.
rius conſiſtat, arcus reſpondens angulo ſuper peripheriã conſtituto, reliquo arcui duplus erit. In
circulis uerò inæqualibus illorũ arcuum proportio ad ſuas totales peripherias duplicatur.
Sint duo circuli æquales, unus a b c d, cuius centrum g:
& alius e f g, cuius centrum b, punctum
peripheriæ circuli a b c d: & producantur lineę a b & c b, ſecantes circulum e g f in punctis e & f. Pa-
làm itaq; quoniam angulus a b c erit ſuper peripheriam circuli a b c & ſuper centrum circuli e g f.
Dico, quòd arcus a d c capiens angulũ a b c ſuper circũferentiam ſui circuli, eſt duplus arcui e g f, ca
pienti eundẽ angulũ ſuper eius centrũ b. Sit enim, ut linea b a ſecet circulũ e g f in puncto e, & linea
b cin puncto f: ducatur quoq; linea e f, & ducta linea g h ſuper centrũ g, fiat per 23 p 1 angulus æqua
lis angulo a b c, qui ſit h g l, ductis lineis g h & g l ad circumferentiam circuli a b c d: & ducantur li-
neę b h, b l, h l. Palàm itaq; per 20 p 3, q́uoniam angulus h g l eſt duplus angulo h b l: ergo etiam an-
gulus a b c eſt duplus eidem: ergo per 33 p 6 arcus a d c eſt duplus arcui h d l: ſed arcus h d l
peripheriæ circuli a b c d: & producantur lineę a b & c b, ſecantes circulum e g f in punctis e & f. Pa-
làm itaq; quoniam angulus a b c erit ſuper peripheriam circuli a b c & ſuper centrum circuli e g f.
Dico, quòd arcus a d c capiens angulũ a b c ſuper circũferentiam ſui circuli, eſt duplus arcui e g f, ca
pienti eundẽ angulũ ſuper eius centrũ b. Sit enim, ut linea b a ſecet circulũ e g f in puncto e, & linea
b cin puncto f: ducatur quoq; linea e f, & ducta linea g h ſuper centrũ g, fiat per 23 p 1 angulus æqua
lis angulo a b c, qui ſit h g l, ductis lineis g h & g l ad circumferentiam circuli a b c d: & ducantur li-
neę b h, b l, h l. Palàm itaq; per 20 p 3, q́uoniam angulus h g l eſt duplus angulo h b l: ergo etiam an-
gulus a b c eſt duplus eidem: ergo per 33 p 6 arcus a d c eſt duplus arcui h d l: ſed arcus h d l