32119LIBER PRIMVS.
eſt æqualis arcui e g f per 26 p 3:
erit ergo arcus a d c duplus arcui e g f:
quod eſt propoſitum primũ.
Quòd ſi circulus a b c d ſit minor circulo e g f, & angulus m g n ſit æ-
308[Figure 308]h d l a c e g f p q b n d n a c g b qualis angulo a g c, facto angulo p b q ſuper centrum b, per 23 p 1 æ-
quali angulo a g c, & ductis lineis g p, g q, b p, b q: erit angulus p b q
duplus angulo p g q, per 20 p 3. Ergo angulus a g c eſt duplus angulo
p g q. Proportio itaq; arcus m f n ad ſui totam circumferentiã dupli-
catur reſpectu arcus a c ad totam ſui peripheriam. Quoniã enim an-
gulus m g n eſt duplus angulo p g q, erit per 33 p 6 arcus m f n duplus
arcui p f q: ſed arcus p f q eiuſdem eſt proportionis ad ſui peripheriã,
cuius eſt arcus a d c ad ſuam: arcus enim a d c ſi fuerit quinq; partiũ
reſpectu ſuæ circum ferentiæ: erit arcus m f n decem partium reſpe-
ctu ſuæ peripheriæ: & hoc eſt propoſitum.
Quòd ſi circulus a b c d ſit minor circulo e g f, & angulus m g n ſit æ-
308[Figure 308]h d l a c e g f p q b n d n a c g b qualis angulo a g c, facto angulo p b q ſuper centrum b, per 23 p 1 æ-
quali angulo a g c, & ductis lineis g p, g q, b p, b q: erit angulus p b q
duplus angulo p g q, per 20 p 3. Ergo angulus a g c eſt duplus angulo
p g q. Proportio itaq; arcus m f n ad ſui totam circumferentiã dupli-
catur reſpectu arcus a c ad totam ſui peripheriam. Quoniã enim an-
gulus m g n eſt duplus angulo p g q, erit per 33 p 6 arcus m f n duplus
arcui p f q: ſed arcus p f q eiuſdem eſt proportionis ad ſui peripheriã,
cuius eſt arcus a d c ad ſuam: arcus enim a d c ſi fuerit quinq; partiũ
reſpectu ſuæ circum ferentiæ: erit arcus m f n decem partium reſpe-
ctu ſuæ peripheriæ: & hoc eſt propoſitum.
45. À terminis lineæ intra circulum collocatæ partib. æqualib.
reſectis, & à punctis ſectionum perpendicularibus ſuper illam li-
neam ad circumferentiam productis: neceſſe eſt ductas perpen-
diculares æquales eſſe. Et ſi ductæ perpẽdiculares ſunt æquales: ne-
ceſſariũ eſt à terminis illius lineæ partes reſectas æquales eſſe.
reſectis, & à punctis ſectionum perpendicularibus ſuper illam li-
neam ad circumferentiam productis: neceſſe eſt ductas perpen-
diculares æquales eſſe. Et ſi ductæ perpẽdiculares ſunt æquales: ne-
ceſſariũ eſt à terminis illius lineæ partes reſectas æquales eſſe.
Sit circulus a k d, cuius cẽtrum r:
in quo circulo collocata ſit linea
a d: à cuius terminis a & d reſecentur lineæ a b & d g æquales: & à
prædictis b & g erigantur duæ lineæ perpẽdiculares ſuper lineã d a,
quę productę ad circũferentiã, ſint g k & b c. Dico, quòd linea g k eſt ęqualis lineę b c. Ducatur enim
â centror linea æquidiſtans lineæ a d per 31 p 1, quæ ſit l m diameter: & diuidatur linea d a in duo æ-
qualia in puncto e per 10 p 1, & à puncto e, ducatur per-
309[Figure 309]k c d g e b a l n r f m pendicularis ſuper l m per 12 p 1: hęc ergo per 1 p 3 tran-
ſibit cẽtrum circuli, quod eſt punctũ r: eritq́; linea e r.
Educatur aũt linea k g ultra punctum g ad diametrum
l m in punctũ n, & linea c b in punctũ f, & copulẽtur li-
neę k r & c r. Quia ita q; linea d e eſt ęqualis lineæ a e, &
lineę d g & b a ex hypotheſi ſunt ęquales: remanet ergo
linea g e æqualis lineę e b: ſed per 34 p 1, linea g e eſt æ-
qualis lineæ n r, & linea e b ęqualis lineę r f: ſunt ergo
lineæ n r & r f æquales: ſed per 47 p 1, quadratum lineę
r k ualet duo quadrata linearum k n & r n: quia ex præ-
miſsis angulus k n r eſt rectus: & ſimiliter quadratum
lineę c r ualet duo quadrata linearũ c f & r f: eſt aũt qua
dratum lineę k r ęquale quadrato lineæ c r, quoniã li-
nea k r eſt ęqualis lineæ c r per definitionem circuli: &
quadratũ lineæ n r eſt ęquale quadrato lineæ f r. Relin
quitur ergo quadratũ lineæ k n ęquale quadrato lineæ c f. E ſt ergo linea k n æqualis lineę c f: ſed per
25 huius linea g n eſt æqualis b f. Relinquitur ergo linea k g ęqualis lineę c b: quod eſt primũ propo-
ſitũ. Conuerſa etiã patet, manente totali diſpoſitione, ut prius. Quia enim linea g n eſt æqualis lineæ
b f per 34 p 1, & linea k g æqualis lineæ c b ex hypotheſi: erit tota linea k n ęqualis toti lineę c f. Ergo
per 47 p 1 erit linea n r ęqualis lineę r f. Ergo & linea g e ipſi lineę e b ęqualis erit, & linea d g ipſi li-
neę b a: quod eſt propoſitum ſecundum. Patet ergo, quod proponebatur.
a d: à cuius terminis a & d reſecentur lineæ a b & d g æquales: & à
prædictis b & g erigantur duæ lineæ perpẽdiculares ſuper lineã d a,
quę productę ad circũferentiã, ſint g k & b c. Dico, quòd linea g k eſt ęqualis lineę b c. Ducatur enim
â centror linea æquidiſtans lineæ a d per 31 p 1, quæ ſit l m diameter: & diuidatur linea d a in duo æ-
qualia in puncto e per 10 p 1, & à puncto e, ducatur per-
309[Figure 309]k c d g e b a l n r f m pendicularis ſuper l m per 12 p 1: hęc ergo per 1 p 3 tran-
ſibit cẽtrum circuli, quod eſt punctũ r: eritq́; linea e r.
Educatur aũt linea k g ultra punctum g ad diametrum
l m in punctũ n, & linea c b in punctũ f, & copulẽtur li-
neę k r & c r. Quia ita q; linea d e eſt ęqualis lineæ a e, &
lineę d g & b a ex hypotheſi ſunt ęquales: remanet ergo
linea g e æqualis lineę e b: ſed per 34 p 1, linea g e eſt æ-
qualis lineæ n r, & linea e b ęqualis lineę r f: ſunt ergo
lineæ n r & r f æquales: ſed per 47 p 1, quadratum lineę
r k ualet duo quadrata linearum k n & r n: quia ex præ-
miſsis angulus k n r eſt rectus: & ſimiliter quadratum
lineę c r ualet duo quadrata linearũ c f & r f: eſt aũt qua
dratum lineę k r ęquale quadrato lineæ c r, quoniã li-
nea k r eſt ęqualis lineæ c r per definitionem circuli: &
quadratũ lineæ n r eſt ęquale quadrato lineæ f r. Relin
quitur ergo quadratũ lineæ k n ęquale quadrato lineæ c f. E ſt ergo linea k n æqualis lineę c f: ſed per
25 huius linea g n eſt æqualis b f. Relinquitur ergo linea k g ęqualis lineę c b: quod eſt primũ propo-
ſitũ. Conuerſa etiã patet, manente totali diſpoſitione, ut prius. Quia enim linea g n eſt æqualis lineæ
b f per 34 p 1, & linea k g æqualis lineæ c b ex hypotheſi: erit tota linea k n ęqualis toti lineę c f. Ergo
per 47 p 1 erit linea n r ęqualis lineę r f. Ergo & linea g e ipſi lineę e b ęqualis erit, & linea d g ipſi li-
neę b a: quod eſt propoſitum ſecundum. Patet ergo, quod proponebatur.
46. In duobus circulis inæqualibus duobus ſimilib. arcubus ſumptis, productiś, præter illos,
ad arcus alios ſimiles, ſemidiametris: ſi à punctis extra circulos proportionaliter ſemidiametris
diſtantibus ab utriſ extremitatibus amborum arcuum, per terminos ſimilium arcuum, li-
neæ ad diametros ducantur: pars diametri interiacens lineas arcus circuli maioris eſt maior
parte interiacente lineas arcus circuli minoris.
ad arcus alios ſimiles, ſemidiametris: ſi à punctis extra circulos proportionaliter ſemidiametris
diſtantibus ab utriſ extremitatibus amborum arcuum, per terminos ſimilium arcuum, li-
neæ ad diametros ducantur: pars diametri interiacens lineas arcus circuli maioris eſt maior
parte interiacente lineas arcus circuli minoris.
Sint duo circuli inæquales, quorum maior ſit a b c, & eius centrum d, & ſemidiameter d a:
minor
uerò ſit e f g. cuius centrum h, & ſemidiameter h e: ſignenturq́; in ipſis arcus ſimiles, in maiori circu
lo arcus b c, & in minori arcus f g: ſitq́ue arcus a b ſimilis arcui e f: ſit q́; punctũ k extra circulũ maio-
rem, & punctum l extra circulum minorem, taliter data, utilla puncta ſecundum proportionem ſe-
midiametri d a, ad ſemidiametrum h e diſtent ab utriſque terminis dictorum arcuum: erit ergo pro-
portio lineę k b ad lineam l f, & lineæ k c ad lineam l g, ſicut ſemidiametri a d ad h e: & producãtur li
neę ad ſemidiametros, k b in punctum m, & k c in punctum n. Similiter quoq; producatur linea l f
in punctum o, & l g in punctum p. Dico, quòd linea m n, pars ſemidiametri a d, eſt maior quã linea
o p, pars ſemidiametri e h. Ducantur enim chordę b c & f g: & copulentur à centris lineæ d b, d c,
h f, h g: palamq́; propter inæqualitatem circulorum, quoniam linea d b eſt maior quã linea h f: ſed
propter ſimilitudinem arcuum angulus b d c eſt ęqualis angulo f h g: ergo per 5 p 1 trigona b c d &
f g h ſunt ęquiangula. Ergo per 4 p 6 latera ſunt proportionalia: eſt ergo proportio lineæ b c ad li-
neam f g, ſicut lineę b d ad lineam f h: ergo ex hypotheſi & per 11 p 5, ſicut k b ad l f, & ſicut k c ad l g:
uerò ſit e f g. cuius centrum h, & ſemidiameter h e: ſignenturq́; in ipſis arcus ſimiles, in maiori circu
lo arcus b c, & in minori arcus f g: ſitq́ue arcus a b ſimilis arcui e f: ſit q́; punctũ k extra circulũ maio-
rem, & punctum l extra circulum minorem, taliter data, utilla puncta ſecundum proportionem ſe-
midiametri d a, ad ſemidiametrum h e diſtent ab utriſque terminis dictorum arcuum: erit ergo pro-
portio lineę k b ad lineam l f, & lineæ k c ad lineam l g, ſicut ſemidiametri a d ad h e: & producãtur li
neę ad ſemidiametros, k b in punctum m, & k c in punctum n. Similiter quoq; producatur linea l f
in punctum o, & l g in punctum p. Dico, quòd linea m n, pars ſemidiametri a d, eſt maior quã linea
o p, pars ſemidiametri e h. Ducantur enim chordę b c & f g: & copulentur à centris lineæ d b, d c,
h f, h g: palamq́; propter inæqualitatem circulorum, quoniam linea d b eſt maior quã linea h f: ſed
propter ſimilitudinem arcuum angulus b d c eſt ęqualis angulo f h g: ergo per 5 p 1 trigona b c d &
f g h ſunt ęquiangula. Ergo per 4 p 6 latera ſunt proportionalia: eſt ergo proportio lineæ b c ad li-
neam f g, ſicut lineę b d ad lineam f h: ergo ex hypotheſi & per 11 p 5, ſicut k b ad l f, & ſicut k c ad l g: