32220VITELLONIS OPTICAE
ergo per 5 p 6 angulus b k c eſt ęqualis angulo f l g:
& angulus k b c æqualis angulo l f g:
ſed exprę-
310[Figure 310] b c a m n d311[Figure 311]l f g e o p h miſsis anguli d b c & h f g ſunt ęqua
les: eſt ergo angulus d b k æqualis
angulo h f l. Ducãtur ergo lineæ d k
& h l. Quia itaq; in trigonis b d k &
f h l anguli ęquales (qui d b k & h f l)
ſunt laterib. ꝓportiõalib. cõtẽti, pa-
tet ք 6 p 6, quoniã illa trigona ſunt
æquiangula: ergo angulus b k d eſt
ęqualis angulo fl h, & angulus b d k
ęqualis angulo f h l: ſed angulus a d
b eſt æqualis angulo e h f ex hypo-
theſi, propter ſimilitudinem arcuũ
a b & e f. Totus ergo angulus m d k
eſt æqualis toti angulo o h l: ergo ք
32 p 1 trigona d k m & h l o ſunt ęqui
angula, & angulus k m d eſt ęqualis
angulo l o h: ergo per 4 p 6 erit pro
portio lineę m k ad lineã o l, ſicut lineę k d ad lineã l h: ergo ք 11 p 5 ſicut lineę a d ad lineam e h. Quia
itaq; ex pręmiſsis angulus m k n eſt ęqualis angulo o l p, & angulus k m n ęqualis angulo l o p: patet
per 32 p 1, quoniã trigona k m n & l o p ſunt ęquiangula: ergo per 4 p 6 eſt proportio lineę m n ad li-
neam o p, ſicut lineæ m k ad lineã o l: ergo per 11 p 5, ſicut lineæ a d ad lineã e h. Quia itaq; a d ſemidia
meter maior eſt ſemidiametro e h: erit linea m n maior quã linea o p: patet ergo propoſitum.
310[Figure 310] b c a m n d311[Figure 311]l f g e o p h miſsis anguli d b c & h f g ſunt ęqua
les: eſt ergo angulus d b k æqualis
angulo h f l. Ducãtur ergo lineæ d k
& h l. Quia itaq; in trigonis b d k &
f h l anguli ęquales (qui d b k & h f l)
ſunt laterib. ꝓportiõalib. cõtẽti, pa-
tet ք 6 p 6, quoniã illa trigona ſunt
æquiangula: ergo angulus b k d eſt
ęqualis angulo fl h, & angulus b d k
ęqualis angulo f h l: ſed angulus a d
b eſt æqualis angulo e h f ex hypo-
theſi, propter ſimilitudinem arcuũ
a b & e f. Totus ergo angulus m d k
eſt æqualis toti angulo o h l: ergo ք
32 p 1 trigona d k m & h l o ſunt ęqui
angula, & angulus k m d eſt ęqualis
angulo l o h: ergo per 4 p 6 erit pro
portio lineę m k ad lineã o l, ſicut lineę k d ad lineã l h: ergo ք 11 p 5 ſicut lineę a d ad lineam e h. Quia
itaq; ex pręmiſsis angulus m k n eſt ęqualis angulo o l p, & angulus k m n ęqualis angulo l o p: patet
per 32 p 1, quoniã trigona k m n & l o p ſunt ęquiangula: ergo per 4 p 6 eſt proportio lineę m n ad li-
neam o p, ſicut lineæ m k ad lineã o l: ergo per 11 p 5, ſicut lineæ a d ad lineã e h. Quia itaq; a d ſemidia
meter maior eſt ſemidiametro e h: erit linea m n maior quã linea o p: patet ergo propoſitum.
47. À quocun puncto diametri circuli producta linea adperipheriam, ſi maior, quã illa,
fuerit una pars diametri: erit pars illa, maior reli-
qua ſui parte: & ſiminor, minor.
312[Figure 312]c a d bfuerit una pars diametri: erit pars illa, maior reli-
qua ſui parte: & ſiminor, minor.
Eſto circulus a b c, cuius diameter a b:
in qua ſuma-
tur punctũ d, utcunq; cõtingit: & ducatur linea d c ad
circũferentiam, ita quòd pars diametri, quę eſt a d, ſit
maior ꝗ̃ linea d c. Dico, quòd linea a d eſt maior quã li
nea d b, quę eſt reliqua pars ipſius diametri: quod pa-
tet, ſi copulẽtur lineę a c & b c. Quia itaq; linea a d ma
ior eſt quã linea d c ex hypotheſi: ergo ք 18 p 1 angulus
a c d maior eſt angulo c a d, & angulus a c b eſt rectus
per 31 p 3: palã ergo per 32 p 1, quoniã angulus c b d ma
ior eſt angulo d c b. Quia enim angulus c b d cũ angu-
lo c a b ualet rectũ, & angulus d c b cũ angulo a c d, qui
eſt maior angulo c a d, ualet rectũ: patet, quòd angu-
lus c b d eſt maior angulo d c b: ergo per 19 p 1 erit la-
tus d c maius latere d b: ſed latus a d eſt maius latere d c. Ergo multo maius erit latus a d quã latus
d b. Et hoc eſt unum propoſitorum. Eodem quoq; modo demonſtrandum, ſi pars diametri, quæ eſt
a d, ſit minor quã linea d c: quoniã erit linea a d minor quã linea d b: & hoc proponebatur.
tur punctũ d, utcunq; cõtingit: & ducatur linea d c ad
circũferentiam, ita quòd pars diametri, quę eſt a d, ſit
maior ꝗ̃ linea d c. Dico, quòd linea a d eſt maior quã li
nea d b, quę eſt reliqua pars ipſius diametri: quod pa-
tet, ſi copulẽtur lineę a c & b c. Quia itaq; linea a d ma
ior eſt quã linea d c ex hypotheſi: ergo ք 18 p 1 angulus
a c d maior eſt angulo c a d, & angulus a c b eſt rectus
per 31 p 3: palã ergo per 32 p 1, quoniã angulus c b d ma
ior eſt angulo d c b. Quia enim angulus c b d cũ angu-
lo c a b ualet rectũ, & angulus d c b cũ angulo a c d, qui
eſt maior angulo c a d, ualet rectũ: patet, quòd angu-
lus c b d eſt maior angulo d c b: ergo per 19 p 1 erit la-
tus d c maius latere d b: ſed latus a d eſt maius latere d c. Ergo multo maius erit latus a d quã latus
d b. Et hoc eſt unum propoſitorum. Eodem quoq; modo demonſtrandum, ſi pars diametri, quæ eſt
a d, ſit minor quã linea d c: quoniã erit linea a d minor quã linea d b: & hoc proponebatur.
48. Si à quocun puncto diametri circuli duæ lineæ (quarum ſemper una ſit maior reliqua)
ad circuli peripheriã ducantur: erit pars diametri,
cuimaior linea propinquior ducitur, maior reliqua
ſui parte.
313[Figure 313]c g f e a h d bad circuli peripheriã ducantur: erit pars diametri,
cuimaior linea propinquior ducitur, maior reliqua
ſui parte.
Sit circulus a b e c, cuius diameter ſit a b:
in qua ſu-
matur punctus d, ut libuerit: ducanturq́; à puncto d li-
neę, d c maior & d e minor: ſit aũt c ſuperior uerſus a,
& e inferior uerſus b. Dico, quòd pars diametri, quę eſt
a d, maior eſt quã d b. Ducatur enim linea c e, & ſuper
lineam c e ducatur à puncto d per 12 p 1 linea perpẽdi-
cularis, quę ſit d f. Quia itaq; quadratũ lineę d c per 47
p 1 ualet ambo quadrata linearũ d f & f c, & quadratũ
d e ualet ambo quadrata duarũ linearũ d f & f e, qua-
dratũ uerò lineę d c maius eſt quadrato lineę d e: i deo,
quia linea d c eſt maior ꝗ̃ linea d e: ablato itaq; quadra
to lineæ d f: relinquitur quadratũ lineæ c f, maius qua-
drato lineæ f e. Diuidatur itaq; linea c e in partes æqua
les in puncto g per 10 p 1, & ab illo puncto g ducatur
linea g h ad diametrum æquidiſtanter lineæ d f per 31 p 1: erititaque per 29 p 1 linea h g perpendicu-
laris ſuper lineam c e: ſecat autem h g ipſam c e in duo ęqualia: tranſit ergo linea h g ք centrũ circuli
matur punctus d, ut libuerit: ducanturq́; à puncto d li-
neę, d c maior & d e minor: ſit aũt c ſuperior uerſus a,
& e inferior uerſus b. Dico, quòd pars diametri, quę eſt
a d, maior eſt quã d b. Ducatur enim linea c e, & ſuper
lineam c e ducatur à puncto d per 12 p 1 linea perpẽdi-
cularis, quę ſit d f. Quia itaq; quadratũ lineę d c per 47
p 1 ualet ambo quadrata linearũ d f & f c, & quadratũ
d e ualet ambo quadrata duarũ linearũ d f & f e, qua-
dratũ uerò lineę d c maius eſt quadrato lineę d e: i deo,
quia linea d c eſt maior ꝗ̃ linea d e: ablato itaq; quadra
to lineæ d f: relinquitur quadratũ lineæ c f, maius qua-
drato lineæ f e. Diuidatur itaq; linea c e in partes æqua
les in puncto g per 10 p 1, & ab illo puncto g ducatur
linea g h ad diametrum æquidiſtanter lineæ d f per 31 p 1: erititaque per 29 p 1 linea h g perpendicu-
laris ſuper lineam c e: ſecat autem h g ipſam c e in duo ęqualia: tranſit ergo linea h g ք centrũ circuli