32422VITELLONIS OPTICAE
lum cum baſi continet, maior angulo ſuperiori alterius: & ſi minor, minor.
Sint itẽ duo trianguli a b c & d e f, habentes baſes b c & e f æquales:
diuidaturq́;
baſis b c ք ęqua-
lia in puncto g, & baſis e f in
318[Figure 318]k a n m b g c l319[Figure 319]d e h f pũcto h: & ducãtur lineę a g,
d h, quę ſint ęquales, & utraq;
ipſarum incidat obliquè ſuæ
baſi: ſit aũt angulus a g c ma-
ior angulo d h f. Dico, quòd ſi
maior ſit linea a g, ꝗ̃ linea g c:
erit angulus b a c maior an
gulo e d f: & ſi linea a g ſit mi-
nor, ꝗ̃ linea g c, erit angulus
b a c minor angulo e d f. Cir-
cum ſcribatur enim per 5 p 4
trigono a b c circulus: & duca
tur à puncto g perpendicula-
ris ſuper lineã b c per 11 p 1:
quæ producta ad circũferen-
tiam, ſit g k. Erit itaq; g k per 1 p 3 pars diametri circuli propoſiti, quę cõpleta, ſit k l. Sit itaq; , ut prius,
linea a g maior ꝗ̃ linea g c: eſt aũt linea k g maior, ꝗ̃ linea g l per 48 huius. In linea ergo g k eſt centrũ
circuli: eſt ergo linea k g maior ꝗ̃ linea a g per 7 p 3: ergo & maior ꝗ̃ linea d h, quę eſt ęqualis ipſi a g ex
hypotheſi. Fiat itaq; per 23 p 1 ſuper punctũ g terminũ lineę g c, angulus ęqualis angulo d h f, qui ſit
m g c: cadatq́; pũctũ m in peripheriã circuli. E ſt itaq; ք 7 p 3 linea a g maior ꝗ̃ linea m g: ergo & linea
d h eſt maior ꝗ̃ linea m g. Producatur itaq; , donec linea g m ſit ęqualis lineę d h: & ducãtur lineę n c
& n b. Erit itaq; angulus b n c ęqualis angulo e d f: ſed angulus b m c eſt maior angulo b n c: eſt ergo
angulus b a c maior angulo e d f per modum pręoſtẽſum. Similiter quoq; demonſtrandũ, ſi linea a g
ſit minor ꝗ̃ linea g c, quòd minor eſt angulus b a c angulo e d f: quod proponebatur demonſtrandũ.
lia in puncto g, & baſis e f in
318[Figure 318]k a n m b g c l319[Figure 319]d e h f pũcto h: & ducãtur lineę a g,
d h, quę ſint ęquales, & utraq;
ipſarum incidat obliquè ſuæ
baſi: ſit aũt angulus a g c ma-
ior angulo d h f. Dico, quòd ſi
maior ſit linea a g, ꝗ̃ linea g c:
erit angulus b a c maior an
gulo e d f: & ſi linea a g ſit mi-
nor, ꝗ̃ linea g c, erit angulus
b a c minor angulo e d f. Cir-
cum ſcribatur enim per 5 p 4
trigono a b c circulus: & duca
tur à puncto g perpendicula-
ris ſuper lineã b c per 11 p 1:
quæ producta ad circũferen-
tiam, ſit g k. Erit itaq; g k per 1 p 3 pars diametri circuli propoſiti, quę cõpleta, ſit k l. Sit itaq; , ut prius,
linea a g maior ꝗ̃ linea g c: eſt aũt linea k g maior, ꝗ̃ linea g l per 48 huius. In linea ergo g k eſt centrũ
circuli: eſt ergo linea k g maior ꝗ̃ linea a g per 7 p 3: ergo & maior ꝗ̃ linea d h, quę eſt ęqualis ipſi a g ex
hypotheſi. Fiat itaq; per 23 p 1 ſuper punctũ g terminũ lineę g c, angulus ęqualis angulo d h f, qui ſit
m g c: cadatq́; pũctũ m in peripheriã circuli. E ſt itaq; ք 7 p 3 linea a g maior ꝗ̃ linea m g: ergo & linea
d h eſt maior ꝗ̃ linea m g. Producatur itaq; , donec linea g m ſit ęqualis lineę d h: & ducãtur lineę n c
& n b. Erit itaq; angulus b n c ęqualis angulo e d f: ſed angulus b m c eſt maior angulo b n c: eſt ergo
angulus b a c maior angulo e d f per modum pręoſtẽſum. Similiter quoq; demonſtrandũ, ſi linea a g
ſit minor ꝗ̃ linea g c, quòd minor eſt angulus b a c angulo e d f: quod proponebatur demonſtrandũ.
320[Figure 320]l n m d f e a g c h o k d f e b
52. Siduas lineas rectas ſecantes circulũ, æqua
les arcus interiaceant, illæ neceſſariò ſunt æquidi- ſtantes: ideḿ accidit, ſi una earum fuerit ſecans& alia contingens.
les arcus interiaceant, illæ neceſſariò ſunt æquidi- ſtantes: ideḿ accidit, ſi una earum fuerit ſecans& alia contingens.
Sit circulus a b c, cuius centrum ſit punctum o:
ſe-
centq́; duæ lineę a c & d e illum circulum taliter, ut ar
cus d a ſit ęqualis arcui e c. Dico, quòd lineæ a c & d e
ſunt ęquidiſtantes. Autitaq; o centrũ circuli eſt in al-
tera illarum linearum, aut in neurra: & tuncuel inter
utraſq; , uel extra utraſq; . Si ſit in altera ipſarum: eſto
quòd ſit in linea a c, & à centro o ducatur linea perpẽ
dicularis ſuper a c per 11 p 1, & producatur ad circũfe
rentiã, ſitq́; o b ſecans lineã d e in puncto f: & ducan-
tur lineę o d, o e, quę cum ſint ęquales, erunt per 5 p 1,
anguli o d f & o e f æquales: ſed angulus f o a eſt ęqua
lis angulo f o c, ꝗ a ſunt recti: angulus uerò d o a ęqua
lis eſt angulo e o c per 27 p 3, cum ex hypotheſi arcus d a ſit æqualis arcui e c: erit ergo angulus d o f
æqualis angulo e o f: ergo per 32 p 1 erit angulus d f o ęqualis angulo e f o: eſt ergo linea of perpendi
cularis ſuper lineã d e. Erunt ergo per 28 p 1 lineę d e,
321[Figure 321]a o c d f e b& a c ęquidiſtãtes. Si uerò centrũ o fuerit inter ipſas
lineas a c & d e: ductis lineis à centro perpẽdicularib.
ſuper utranq; illarũ, quę ſint o f, & o g, & ductis lineis
ad terminos linearum a c & d e, à cẽtro o, quę ſint o a,
o c, o d, o e, & diametro h k: fient ex utraq; parte cen-
tri o quatuor anguli ęquales duobus rectis ideo quia
anguli circa centrum ualent quatuor rectos, quo, ex
ęquo diuidit quælibet diameter: ſed angulus e o c eſt
ęqualis angulo d o a per 27 p 3: remanet ergo angulus
d o e ęqualis angulo a o c: per definitionẽ ergo circu-
li & per 6 p 6 trianguli d o e & a o c ſunt inuicẽ ęquiã
guli: ergo erit angulus g c o æqualis angulo o d f: ſed
angulus o g c eſt ęqualis angulo o f d: quia uterq; re-
ctus ex pręmiſsis: ergo per 32 p 1 trigona g o c, d o f
ſunt æquiangula: ergo per 14 p 1 lineę d o & o c con-
iunctæ ſunt linea una: quia anguli c o h & d o h ex præmiſsis ſunt ęquales duobus rectis. Ergo
per 27 p 1 patet propoſitum. Quòd ſi centrum o fuerit extra utraſque: ducatur perpendicu-
laris à centro o ſuperipſarum alteram: & ſit linea o g perpendicularis ſuper lineam a c, quæ diuidet
centq́; duæ lineę a c & d e illum circulum taliter, ut ar
cus d a ſit ęqualis arcui e c. Dico, quòd lineæ a c & d e
ſunt ęquidiſtantes. Autitaq; o centrũ circuli eſt in al-
tera illarum linearum, aut in neurra: & tuncuel inter
utraſq; , uel extra utraſq; . Si ſit in altera ipſarum: eſto
quòd ſit in linea a c, & à centro o ducatur linea perpẽ
dicularis ſuper a c per 11 p 1, & producatur ad circũfe
rentiã, ſitq́; o b ſecans lineã d e in puncto f: & ducan-
tur lineę o d, o e, quę cum ſint ęquales, erunt per 5 p 1,
anguli o d f & o e f æquales: ſed angulus f o a eſt ęqua
lis angulo f o c, ꝗ a ſunt recti: angulus uerò d o a ęqua
lis eſt angulo e o c per 27 p 3, cum ex hypotheſi arcus d a ſit æqualis arcui e c: erit ergo angulus d o f
æqualis angulo e o f: ergo per 32 p 1 erit angulus d f o ęqualis angulo e f o: eſt ergo linea of perpendi
cularis ſuper lineã d e. Erunt ergo per 28 p 1 lineę d e,
321[Figure 321]a o c d f e b& a c ęquidiſtãtes. Si uerò centrũ o fuerit inter ipſas
lineas a c & d e: ductis lineis à centro perpẽdicularib.
ſuper utranq; illarũ, quę ſint o f, & o g, & ductis lineis
ad terminos linearum a c & d e, à cẽtro o, quę ſint o a,
o c, o d, o e, & diametro h k: fient ex utraq; parte cen-
tri o quatuor anguli ęquales duobus rectis ideo quia
anguli circa centrum ualent quatuor rectos, quo, ex
ęquo diuidit quælibet diameter: ſed angulus e o c eſt
ęqualis angulo d o a per 27 p 3: remanet ergo angulus
d o e ęqualis angulo a o c: per definitionẽ ergo circu-
li & per 6 p 6 trianguli d o e & a o c ſunt inuicẽ ęquiã
guli: ergo erit angulus g c o æqualis angulo o d f: ſed
angulus o g c eſt ęqualis angulo o f d: quia uterq; re-
ctus ex pręmiſsis: ergo per 32 p 1 trigona g o c, d o f
ſunt æquiangula: ergo per 14 p 1 lineę d o & o c con-
iunctæ ſunt linea una: quia anguli c o h & d o h ex præmiſsis ſunt ęquales duobus rectis. Ergo
per 27 p 1 patet propoſitum. Quòd ſi centrum o fuerit extra utraſque: ducatur perpendicu-
laris à centro o ſuperipſarum alteram: & ſit linea o g perpendicularis ſuper lineam a c, quæ diuidet