32927LIBER PRIMVS.
æquiangula per 32 p 1:
ergo per 4 p 6 latera ſunt proportionalia:
ſed latus d b eſt æquale ſibi:
erit er-
go linea e b æqualis lineæ b f, & linea d e ęqualis
331[Figure 331]a e g b d c f lineæ d f. Quod etiam ſic patere poteſt. Quia e-
nim à puncto e ducuntur duæ lineæ contingen-
tes circulum, ſcilicet e a & e b, patet per 58 huius,
quòd ipſæ ſunt æquales. Omnes ergo lineæ a e,
e b, b f, f c ſunt æquales. Ergo lineæ e d & f d
ſunt æquales: patet ergo propoſitum.
go linea e b æqualis lineæ b f, & linea d e ęqualis
331[Figure 331]a e g b d c f lineæ d f. Quod etiam ſic patere poteſt. Quia e-
nim à puncto e ducuntur duæ lineæ contingen-
tes circulum, ſcilicet e a & e b, patet per 58 huius,
quòd ipſæ ſunt æquales. Omnes ergo lineæ a e,
e b, b f, f c ſunt æquales. Ergo lineæ e d & f d
ſunt æquales: patet ergo propoſitum.
332[Figure 332]g f h k b l a c e m d n
62. A duobus puuctis æqualiter diſtanti-
bus ab uno termino eductæ diametri, & à li-
nea circulum in termino propiore diametri cõ
tingente, duabus lineis ad alium terminũ dia-
metri productis: arcus interiacẽtes illarum line arum alter am & diametrum, ſunt æquales: il-
lis uerò ad alium punctum circumferentiæ produ-
ctis, arcus interiacent inæquales.
bus ab uno termino eductæ diametri, & à li-
nea circulum in termino propiore diametri cõ
tingente, duabus lineis ad alium terminũ dia-
metri productis: arcus interiacẽtes illarum line arum alter am & diametrum, ſunt æquales: il-
lis uerò ad alium punctum circumferentiæ produ-
ctis, arcus interiacent inæquales.
Sit circulus a b c d, cuius centrum e:
diameterq́;
e-
ius d b educatur ad punctũ f: ſintq́; duo puncta g & h
ęqualiter diſtãtia à pũcto f eductę diametri: ducãtúr-
que duę lineę g d & h d adaliũ terminũ diametri ſecã-
tes circulũ: linea g d in pũcto a, & linea h d in pũcto c:
& à puncto b ducatur linea cõtingens circulũ, quę ſit
k b l, à qua ęqualiter diſtẽt pũcta g & h. Dico, quòd ar-
cus a b & b c ſunt æquales. Ducatur enim linea g f h:
erit ergo ex hypotheſi linea g f æqualis lineę h f: ideo,
quia puncta g & h ęqualiter diſtãt à puncto f: & ducã-
turlineę h l & g k perpẽdiculariter ſuper lineã k b l cõ
tingẽtẽ, ք 12 p 1: erũt ergo ex hypotheſi & illę ęquales:
ergo ք 33 p 1 linea g h ęꝗdiſtat lineę k l. Ergo ք 18 p 3 &
29 p 1 anguli d f h & d f g ſunt recti: ergo ք 4 p 1 anguli
g d f & h d f ſunt ęquales. Ergo ք 26 p 3 arcus a b eſt ę-
qualis arcui b c. Patet quoq; manifeſtè, quòd ſi à pũctis g & h lineę ad aliud pũctũ circũferentię quã
ad pũctũ d ꝓducãtur, ut ad pũcta m ueln: quòd illę lineę arcus reſecabũt inęquales: quęlibet enim
illarũ, quę ſecat diametrũ, abſcindit minorẽ arcum, & alia maiorẽ: & hoc eſt, quod proponebatur.
ius d b educatur ad punctũ f: ſintq́; duo puncta g & h
ęqualiter diſtãtia à pũcto f eductę diametri: ducãtúr-
que duę lineę g d & h d adaliũ terminũ diametri ſecã-
tes circulũ: linea g d in pũcto a, & linea h d in pũcto c:
& à puncto b ducatur linea cõtingens circulũ, quę ſit
k b l, à qua ęqualiter diſtẽt pũcta g & h. Dico, quòd ar-
cus a b & b c ſunt æquales. Ducatur enim linea g f h:
erit ergo ex hypotheſi linea g f æqualis lineę h f: ideo,
quia puncta g & h ęqualiter diſtãt à puncto f: & ducã-
turlineę h l & g k perpẽdiculariter ſuper lineã k b l cõ
tingẽtẽ, ք 12 p 1: erũt ergo ex hypotheſi & illę ęquales:
ergo ք 33 p 1 linea g h ęꝗdiſtat lineę k l. Ergo ք 18 p 3 &
29 p 1 anguli d f h & d f g ſunt recti: ergo ք 4 p 1 anguli
g d f & h d f ſunt ęquales. Ergo ք 26 p 3 arcus a b eſt ę-
qualis arcui b c. Patet quoq; manifeſtè, quòd ſi à pũctis g & h lineę ad aliud pũctũ circũferentię quã
ad pũctũ d ꝓducãtur, ut ad pũcta m ueln: quòd illę lineę arcus reſecabũt inęquales: quęlibet enim
illarũ, quę ſecat diametrũ, abſcindit minorẽ arcum, & alia maiorẽ: & hoc eſt, quod proponebatur.
333[Figure 333]g b c a f d e
63. Diameter circuli diuidens hexagonum, eidẽ cir-
culo inſcriptum, ab oppoſitis angulis per æqualia, duob. lateribus medijs hexagoni erit æquidiſtans.
culo inſcriptum, ab oppoſitis angulis per æqualia, duob. lateribus medijs hexagoni erit æquidiſtans.
Sit circulus, cuius centrũ ſit punctũ a:
inſcriptus hexa-
gonus, qui b c d e f g: & ab oppoſitis angulis illius hexago
ni ducatur diameter b a e. Dico, quòd illa diameter æqui-
diſtat duobus medijs lateribus hexagoni, quæ ſunt c d &
g f. Ducantur enim lineæ a c & a d. Quia itaque lineę b c
& c d, (quę ſunt latera hexagoni) ſunt inter ſe ęqualia, &
utrunq; ipſorũ eſt ęquale ſemidiametro circuli per 15 p 4:
patetergo, quòd trigona a b c & a c d ſunt ęquilatera: er-
go per 8 p 1 ipſa ſunt ęquiangula: erit ergo angulus c a b ę-
qualis angulo a c d. Ergo per 27 p 1 lineæ a b & c d ęquidi
ſtant. Similiter quoq; poteſt demonſtrari de lineis a b &
f g. Patet ergo, quoniam diameter b e ęquidiſtat medijs la
teribus hexagoni: quod eſt propoſitum.
334[Figure 334]g f c b d agonus, qui b c d e f g: & ab oppoſitis angulis illius hexago
ni ducatur diameter b a e. Dico, quòd illa diameter æqui-
diſtat duobus medijs lateribus hexagoni, quæ ſunt c d &
g f. Ducantur enim lineæ a c & a d. Quia itaque lineę b c
& c d, (quę ſunt latera hexagoni) ſunt inter ſe ęqualia, &
utrunq; ipſorũ eſt ęquale ſemidiametro circuli per 15 p 4:
patetergo, quòd trigona a b c & a c d ſunt ęquilatera: er-
go per 8 p 1 ipſa ſunt ęquiangula: erit ergo angulus c a b ę-
qualis angulo a c d. Ergo per 27 p 1 lineæ a b & c d ęquidi
ſtant. Similiter quoq; poteſt demonſtrari de lineis a b &
f g. Patet ergo, quoniam diameter b e ęquidiſtat medijs la
teribus hexagoni: quod eſt propoſitum.
64. Duobus circulis inæqualibus ſe ſecantibus, it a ut minor pertrã-
ſeat centrum maioris: arcum minor is interiacentem peripheriã ma-
ioris in centro maioris per æqualia diuidi eſt neceſſe.
ſeat centrum maioris: arcum minor is interiacentem peripheriã ma-
ioris in centro maioris per æqualia diuidi eſt neceſſe.
Sint duo circuli c f d maior, cuius centrũ ſit a:
& c g d minor, cuius cen
trum ſit b: ſecentq́; ſe hi circuli in punctis c & d: tranſeatq́; minor (qui c
g d) per centrũ maioris, quod eſt a: eritq́; arcus c a d minoris circuli con
tentus intra peripheriam maioris. Dico, quòd arcus c a d diuiditur per
æqualia in puncto a. Ducatur enim linea copulans centra, quę ſit a b: &
hec producta compleat diametrũ minoris circuli, quæ ſit a b g: & ad pũ-
cta ſectionum c & d, ducantur lineæ a d, a c, b d, b c. Quia itaque in trigo-
nis a b c & a b d, duo latera a b & b c unius ſunt æqualia duobus laterib.
a b & b d alterius: quoniam omnes ſunt rectę ex puncto b centro circuli
trum ſit b: ſecentq́; ſe hi circuli in punctis c & d: tranſeatq́; minor (qui c
g d) per centrũ maioris, quod eſt a: eritq́; arcus c a d minoris circuli con
tentus intra peripheriam maioris. Dico, quòd arcus c a d diuiditur per
æqualia in puncto a. Ducatur enim linea copulans centra, quę ſit a b: &
hec producta compleat diametrũ minoris circuli, quæ ſit a b g: & ad pũ-
cta ſectionum c & d, ducantur lineæ a d, a c, b d, b c. Quia itaque in trigo-
nis a b c & a b d, duo latera a b & b c unius ſunt æqualia duobus laterib.
a b & b d alterius: quoniam omnes ſunt rectę ex puncto b centro circuli