33028VITELLONIS OPTICAE
minoris ductæ ad peripheriam, & baſis a c eſt æqualis baſi a d:
quoniam ſunt ex centro circuli maio
ris. Ergo per 8 p 1 anguli æquis lateribus contenti ſunt ęquales: angulus ergo c a b eſt æqualis angu
lo d a b: ergo per 26 p 3 arcus c g eſt ęqualis arcui d g: reliqui ergo arcus ſemicirculorum, qui ſunt a c
& a d, ſunt ęquales. Arcus ergo c a d diuiditur per æqualia in puncto a: quod eſt propoſitum.
ris. Ergo per 8 p 1 anguli æquis lateribus contenti ſunt ęquales: angulus ergo c a b eſt æqualis angu
lo d a b: ergo per 26 p 3 arcus c g eſt ęqualis arcui d g: reliqui ergo arcus ſemicirculorum, qui ſunt a c
& a d, ſunt ęquales. Arcus ergo c a d diuiditur per æqualia in puncto a: quod eſt propoſitum.
335[Figure 335]e a d b c
65. Omnes lineæ rectæ ductæ à polo ad peripheriam ſui circuli
ſunt æquales. 5 def. 1 ſphæ. Theodo.
ſunt æquales. 5 def. 1 ſphæ. Theodo.
Eſto circulus a b c, cuius centrum d:
& erigatur perpendiculariter
ſuper circulum à centro linea d e, ita, ut per definitionem polus cir-
culi ſit punctũ e: & ducantur lineæ e a, e b, e c. Dico, quòd ipſæ oẽs
ſunt æquales. Ducantur enim lineę a d, b d, c d. Quia itaq; quadratũ
lineę a e eſt ęquale quadrato lineę e d & lineę d a: quadratum quoq;
lineæ b e æquale eſt quadrato lineæ e d & lineæ d b per 47 p 1: qua-
dratum uerò lineæ e d eſt æquale ſibijpſi, & quadratũ lineę d a ęqua-
le quadrato lineæ d b per circuli definitionem: palàm quia quadra-
tum lineæ a e eſt æquale quadrato lineę b e, & ſimiliter quadrato li-
neæ c e. Palàm ergo, quoniam lineę a e, b e, c e, & quæcunq; ſimiliter
ductæ, ſunt æquales: & hoc eſt propoſitum.
ſuper circulum à centro linea d e, ita, ut per definitionem polus cir-
culi ſit punctũ e: & ducantur lineæ e a, e b, e c. Dico, quòd ipſæ oẽs
ſunt æquales. Ducantur enim lineę a d, b d, c d. Quia itaq; quadratũ
lineę a e eſt ęquale quadrato lineę e d & lineę d a: quadratum quoq;
lineæ b e æquale eſt quadrato lineæ e d & lineæ d b per 47 p 1: qua-
dratum uerò lineæ e d eſt æquale ſibijpſi, & quadratũ lineę d a ęqua-
le quadrato lineæ d b per circuli definitionem: palàm quia quadra-
tum lineæ a e eſt æquale quadrato lineę b e, & ſimiliter quadrato li-
neæ c e. Palàm ergo, quoniam lineę a e, b e, c e, & quæcunq; ſimiliter
ductæ, ſunt æquales: & hoc eſt propoſitum.
66. Omnis linea centrum ſphæræ cum centro circuli non magni
illius ſphæræ continuans eſt perpẽdicularis ſuper ſuperficiem illius
circuli. 7 & 23 th. 1 ſphæ. Theodo.
illius ſphæræ continuans eſt perpẽdicularis ſuper ſuperficiem illius
circuli. 7 & 23 th. 1 ſphæ. Theodo.
Sit centrum ſphærę punctum z, ſitq́;
punctum e centrum circuli non magni illius ſphæræ, qui ſit
a b g d, & ducatur linea z e. Dico, quòd linea z e eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem circuli a b g d.
Ducantur enim lineę a e, b e, quę productæ cõpleant duas
336[Figure 336]b z g a e d diametros circuli, quæ ſint a g, & b d: & ducantur lineę z a
& z b & z d & z g, quę omnes erunt æquales per definitio-
nem ſphæræ: ſed & lineæ e a, e b, e d, e g ſunt æquales per
definitionem circuli: linea itaq; z e exiſtente communi, pa
tet quòd trigona z a e, z b e, z d e, z g e omnia ſunt ęquilate-
ra: ergo per 8 p 1 ipſorum anguli ęqualibus laterib. conten-
ti ſunt ęquales. Oęs ergo anguli z e a, z e g, z e b, z e d ſunt
ęquales: ſunt ergo recti. Eodemq́; modo poteſt demõſtra.
ri de omnibus angulis contentis ſub linea z e & omni ſemi
diametro circuli a b g d. Linea ergo z e eſt perpendicularis
ſuper ſuperficiem circuli a b g d: & hoc eſt propoſitum.
a b g d, & ducatur linea z e. Dico, quòd linea z e eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem circuli a b g d.
Ducantur enim lineę a e, b e, quę productæ cõpleant duas
336[Figure 336]b z g a e d diametros circuli, quæ ſint a g, & b d: & ducantur lineę z a
& z b & z d & z g, quę omnes erunt æquales per definitio-
nem ſphæræ: ſed & lineæ e a, e b, e d, e g ſunt æquales per
definitionem circuli: linea itaq; z e exiſtente communi, pa
tet quòd trigona z a e, z b e, z d e, z g e omnia ſunt ęquilate-
ra: ergo per 8 p 1 ipſorum anguli ęqualibus laterib. conten-
ti ſunt ęquales. Oęs ergo anguli z e a, z e g, z e b, z e d ſunt
ęquales: ſunt ergo recti. Eodemq́; modo poteſt demõſtra.
ri de omnibus angulis contentis ſub linea z e & omni ſemi
diametro circuli a b g d. Linea ergo z e eſt perpendicularis
ſuper ſuperficiem circuli a b g d: & hoc eſt propoſitum.
67. À centro ſphæræ ductã perpendicularẽ ſuք ſuper-
ficiẽ circuli non magni ipſius ſphæræ, eiuſdẽ circuli cẽtro
incidere eſt neceſſe. Cõſectariũ ſecundũ 1 th. 1 ſphæ. Theo.
ficiẽ circuli non magni ipſius ſphæræ, eiuſdẽ circuli cẽtro
incidere eſt neceſſe. Cõſectariũ ſecundũ 1 th. 1 ſphæ. Theo.
Sit, ut in præmiſſa, centrum ſphęræ punctum z:
ſitq́;
punctum e centrum circuli non magni illius
ſphęrę, qui ſit a b g d: & ducatur à puncto z centro ſphærę linea perpendiculariter ſuper ſuperficiẽ
circuli a b g d, quæ ſit z e. Dico, quòd punctum e eſt centrum circuli a b g d. Ducantur enim lineæ
z a, z b, z g, quæ erũt ęquales per definitionẽ ſphęrę. Quoniã ergo anguli a e z, b e z, d e z, g e z ſunt re
cti: patet per 47 p 1 quoniam quadratũ lineę z a ualet quadrata linearum a e & z e, & quadratum li-
neę z b ualet ambo quadrata linearum b e & z e: & ſimiliter quadratũ lineę z g ualet ambo quadra-
ta linearum g e & z e: lineę uerò z a, z b, z g ſunt ęquales, & quadrata ipſarum ęqualia: ablato itaque
quadrato lineę z e omnib. cõmuni, relinquitur ut quadrata linearum
337[Figure 337]b f c a d g e a e, b e, g e ſint ęqualia: ergo & ipſę lineę a e, b e, g e ſunt ęquales. Ergo
per 9 p 3 punctum e eſt centrum circuli a b g d: quod eſt propoſitum.
ſphęrę, qui ſit a b g d: & ducatur à puncto z centro ſphærę linea perpendiculariter ſuper ſuperficiẽ
circuli a b g d, quæ ſit z e. Dico, quòd punctum e eſt centrum circuli a b g d. Ducantur enim lineæ
z a, z b, z g, quæ erũt ęquales per definitionẽ ſphęrę. Quoniã ergo anguli a e z, b e z, d e z, g e z ſunt re
cti: patet per 47 p 1 quoniam quadratũ lineę z a ualet quadrata linearum a e & z e, & quadratum li-
neę z b ualet ambo quadrata linearum b e & z e: & ſimiliter quadratũ lineę z g ualet ambo quadra-
ta linearum g e & z e: lineę uerò z a, z b, z g ſunt ęquales, & quadrata ipſarum ęqualia: ablato itaque
quadrato lineę z e omnib. cõmuni, relinquitur ut quadrata linearum
337[Figure 337]b f c a d g e a e, b e, g e ſint ęqualia: ergo & ipſę lineę a e, b e, g e ſunt ęquales. Ergo
per 9 p 3 punctum e eſt centrum circuli a b g d: quod eſt propoſitum.
68. Aequidiſtantium in ſphæra circulorum centra in eadẽ dia
metro ſphæræ conſiſtere eſt neceſſe. Ex quo patet, quòd omnes circu-
li in ſphæra æquidiſtantes eoſdem habent polos: & ſi eoſdem habent
polos, ſunt æquidiſtantes. 1 & 2 th. 2 ſphæ. Theodo.
metro ſphæræ conſiſtere eſt neceſſe. Ex quo patet, quòd omnes circu-
li in ſphæra æquidiſtantes eoſdem habent polos: & ſi eoſdem habent
polos, ſunt æquidiſtantes. 1 & 2 th. 2 ſphæ. Theodo.
Sit ſphęra, cuius centrũ ſit punctũ a, & in ipſa ſint duo circuli ęquidi
ſtãtes: b c, cuius cẽtrũ ſit f: & d e, cuius cẽtrũ g: & ducatur linea a f, quę
ꝓducta erit diameter ſphęrę, cũ ipſa trãſeat centrũ ſphęrę a: ergo ք 66
huius lineá a f eſt erecta ſup ſupficiẽ circuli b c: ergo ք 23 huius erit ea
dẽ diameter erecta ſuք ſuքficiẽ circuli d e: ergo ք pmiſſam ipſa trãſit ք
centrũ circuli d e. Sunt ergo centra illorũ circulorũ in eadẽ diametro
ſphęrę: qđ eſt ꝓpoſitũ. Et exhoc patet, qđ illi circuli eoſdẽ habẽt po-
ſtãtes: b c, cuius cẽtrũ ſit f: & d e, cuius cẽtrũ g: & ducatur linea a f, quę
ꝓducta erit diameter ſphęrę, cũ ipſa trãſeat centrũ ſphęrę a: ergo ք 66
huius lineá a f eſt erecta ſup ſupficiẽ circuli b c: ergo ք 23 huius erit ea
dẽ diameter erecta ſuք ſuքficiẽ circuli d e: ergo ք pmiſſam ipſa trãſit ք
centrũ circuli d e. Sunt ergo centra illorũ circulorũ in eadẽ diametro
ſphęrę: qđ eſt ꝓpoſitũ. Et exhoc patet, qđ illi circuli eoſdẽ habẽt po-