33836VITELLONIS OPTICAE
93. Omnis ſuperficiei planæ ſecantis columnam rotundam ſecundum axis longitudinem &
ſuperficiei columnæ communis ſectio eſt rectangulum ſub duab{us} lineis longitudinis columnæ,
& duab{us} diametris baſium contentum. Ex quo patet, quoniam illa ſuperficies per æqualia diui
dit columnam. È 21 defin. 11. element.
ſuperficiei columnæ communis ſectio eſt rectangulum ſub duab{us} lineis longitudinis columnæ,
& duab{us} diametris baſium contentum. Ex quo patet, quoniam illa ſuperficies per æqualia diui
dit columnam. È 21 defin. 11. element.
Columna rotunda ſit, cuius axis e f:
ſecetq́;
ipſam per e f ſuperfi-
351[Figure 351]g a m e n b h i c p f o d k l cies plana, ſitq́; communis ſectio ſecundum puncta a, b, c, d. Dico,
quòd ſectio a b c d eſt quadrangula rectangula ſub lineis longitudi-
nis columnæ, & duabus diametris baſium contenta. Ducatur enim
linea e a in baſi columnæ & in ſuperficie ſecante: hæc eſt ergo ſemi-
diameter circuli baſis columnæ. Producatur itaq; taliter, ut linea e g
compleat diametrum baſis columnæ, cadetq́; linea e g in ſuperficie
plana columnam ſecante. Si enim linea e g nõ eſt ducta in ſuperficie
plana columnam ſecante: ducatur linea b e in illa ſuperficie ſecante.
Lineæ ergo b e & e a ſunt linea una: quoniam ſunt in una ſuperficie
productæ ambæ orthogonaliter ſuper axem e f cõtinuè: ſimiliterq́;
quia linea e g complet diametrum a e, non in ſuperficie ſecante, ſed
alia: erit ergo lineæ a g pars in plano, pars in ſublimi: quod eſt con-
tra 1 p 11. Palàm itaq; , quoniam linea a b eſt diameter baſis, & quòd
punctus g cadit ſuper punctum b. Similiterq́; declarandum de linea
c d, quoniam eſt diameter alterius baſis. Lineæ quoq; a c & b d ſunt
lineæ longitudinis columnæ. Quod eſt propoſitum. Ex hoc itaq; pa
tet, quoniã cum illa ſectio diuidat per æqualia baſes columnæ, quòd
etiam diuidit per æqualia columnam.
351[Figure 351]g a m e n b h i c p f o d k l cies plana, ſitq́; communis ſectio ſecundum puncta a, b, c, d. Dico,
quòd ſectio a b c d eſt quadrangula rectangula ſub lineis longitudi-
nis columnæ, & duabus diametris baſium contenta. Ducatur enim
linea e a in baſi columnæ & in ſuperficie ſecante: hæc eſt ergo ſemi-
diameter circuli baſis columnæ. Producatur itaq; taliter, ut linea e g
compleat diametrum baſis columnæ, cadetq́; linea e g in ſuperficie
plana columnam ſecante. Si enim linea e g nõ eſt ducta in ſuperficie
plana columnam ſecante: ducatur linea b e in illa ſuperficie ſecante.
Lineæ ergo b e & e a ſunt linea una: quoniam ſunt in una ſuperficie
productæ ambæ orthogonaliter ſuper axem e f cõtinuè: ſimiliterq́;
quia linea e g complet diametrum a e, non in ſuperficie ſecante, ſed
alia: erit ergo lineæ a g pars in plano, pars in ſublimi: quod eſt con-
tra 1 p 11. Palàm itaq; , quoniam linea a b eſt diameter baſis, & quòd
punctus g cadit ſuper punctum b. Similiterq́; declarandum de linea
c d, quoniam eſt diameter alterius baſis. Lineæ quoq; a c & b d ſunt
lineæ longitudinis columnæ. Quod eſt propoſitum. Ex hoc itaq; pa
tet, quoniã cum illa ſectio diuidat per æqualia baſes columnæ, quòd
etiam diuidit per æqualia columnam.
94. Superficiei ſecantis columnam rotundam æquidistanter ſuperficiei per axem ſecanti &
ſuperficiei columnaris, cõmunis ſectio eſt rectangulum ſub duab{us} lineis longitudinis columnæ,
& duab{us} lineis minorib{us} diametris baſium contentum. È 21 defin. 11 elem.
ſuperficiei columnaris, cõmunis ſectio eſt rectangulum ſub duab{us} lineis longitudinis columnæ,
& duab{us} lineis minorib{us} diametris baſium contentum. È 21 defin. 11 elem.
Sit, ut in præcedenti propoſitione, columna ſecta per planam ſuperficiem ſecundum ſectionem,
rectangula a b c d: cuius axis ſit e f: ſitq́; nunc ſuperficies plana columnã ſecans, æquidiſtans ſuper-
ficiei a b c d, cuius communis ſectio cum ſuperficie columnæ ſit h i k l: ducanturq́; à punctis h & i li
neæ perpendiculares ſuper diametrum a b per 12 p 1, quæ ſint h m, i n. Erit itaq; linea m n æqualis li-
neæ h i, ut patet per 34 p 1: lineæ enim a b & h i ſunt æquidiſtantes ex hypotheſi, & lineæ h m & i n
ſunt æquidiſtantes per 28 p 1. Eſt ergo linea h i minor diametro a b. Similiter quoq; l k minor eſt dia
metro c d, ductis perpendicularibus lineis, quæ l o & k p: ſed lineæ h k & i l ſunt lineæ longitudinis
columnæ. Patet ergo propoſitum.
rectangula a b c d: cuius axis ſit e f: ſitq́; nunc ſuperficies plana columnã ſecans, æquidiſtans ſuper-
ficiei a b c d, cuius communis ſectio cum ſuperficie columnæ ſit h i k l: ducanturq́; à punctis h & i li
neæ perpendiculares ſuper diametrum a b per 12 p 1, quæ ſint h m, i n. Erit itaq; linea m n æqualis li-
neæ h i, ut patet per 34 p 1: lineæ enim a b & h i ſunt æquidiſtantes ex hypotheſi, & lineæ h m & i n
ſunt æquidiſtantes per 28 p 1. Eſt ergo linea h i minor diametro a b. Similiter quoq; l k minor eſt dia
metro c d, ductis perpendicularibus lineis, quæ l o & k p: ſed lineæ h k & i l ſunt lineæ longitudinis
columnæ. Patet ergo propoſitum.
95. Omnis ſuperficies plana contingens pyramidem, uel columnam rotundam: ſecundum li-
neam longitudinis eſt contingens.
neam longitudinis eſt contingens.
Non enim ſecundum punctũ contingit ſuperficies plana propoſita corpora ſicut ſphæram:
quo-
niam in ipſis eſt longitudo, quæ non eſt in ſphæra: ſed nec contingit ipſa ſecundũ ſuperficiem: quo-
niam cum in quolibet iſtorum corporũ ſint infiniti circuli ſuis baſibus æquidiſtantes & ipſæ baſes:
accideret illos ſecundum lineas in ſuperficie plana contingente ductas ad ipſorum contactum, non
contingi ſecundum punctũ, ſed ſecari: quod eſt contra 16 p 3, & impoſsibile. Non ergo continget ſu-
perficies plana propoſita corpora ſecundũ ſuperficiem. Reſtat ergo,
352[Figure 352]a e d c g b ut ſecundũ lineam contingat. Et quia contingit in pyramide uerti-
cem & baſim & in columna ambas baſes: patet, quòd utrunq; illo-
rum ſecundum lineas ſuarum longitudinum eſt contingens. Patet
ergo propoſitum.
niam in ipſis eſt longitudo, quæ non eſt in ſphæra: ſed nec contingit ipſa ſecundũ ſuperficiem: quo-
niam cum in quolibet iſtorum corporũ ſint infiniti circuli ſuis baſibus æquidiſtantes & ipſæ baſes:
accideret illos ſecundum lineas in ſuperficie plana contingente ductas ad ipſorum contactum, non
contingi ſecundum punctũ, ſed ſecari: quod eſt contra 16 p 3, & impoſsibile. Non ergo continget ſu-
perficies plana propoſita corpora ſecundũ ſuperficiem. Reſtat ergo,
352[Figure 352]a e d c g b ut ſecundũ lineam contingat. Et quia contingit in pyramide uerti-
cem & baſim & in columna ambas baſes: patet, quòd utrunq; illo-
rum ſecundum lineas ſuarum longitudinum eſt contingens. Patet
ergo propoſitum.
96. Omnis linea perpendicularis ſuper curuam ſuperficiem py
rami dis, uel columnæ rotundæ: neceſſariò trãſit per ipſarũ axem.
rami dis, uel columnæ rotundæ: neceſſariò trãſit per ipſarũ axem.
Pyramis rotunda uel columna ſit, cuius linea longitudinis ſit a b:
& eius axis a g: & ſit linea d e perpendicularis ſuper curuam illius ſu
perficiẽ. Dico, quòd linea e d tranſit per axem a g. Ducatur enim ſe-
midiameter baſis, quæ ſit b g. Quia ergo linea e d eſt perpendicula-
ris ſuper curuam ſuperficiem propoſitam: palàm per definitionem,
quoniã linea e d eſt perpendiculariter erecta ſuper ſuperficiem con-
tingentem pyramidem ſecundum aliquam lineam ſuę longitudinis:
ſit hoc ſecundum lineam a b. Cadit ergo linea e d ſuper lineam a b.
Palàm ergo per 2 p 11, quoniam lineę d e & a b ſunt in eadem ſuperfi-
cie. Et quia linea d e eſt perpendicularis ſuper curuam ſuperficiem
pyramidis: patet, quòd illa ſuperficies erit erecta ſuper ſuperficiem
conicam pyramidis, & in ipſa eſt linea a b. Producta ergo transpyra
midem, ſecabit ipſam ſecundũ lineam longitudinis a b per æqualia diuidens pyramidem, & tranſi-
& eius axis a g: & ſit linea d e perpendicularis ſuper curuam illius ſu
perficiẽ. Dico, quòd linea e d tranſit per axem a g. Ducatur enim ſe-
midiameter baſis, quæ ſit b g. Quia ergo linea e d eſt perpendicula-
ris ſuper curuam ſuperficiem propoſitam: palàm per definitionem,
quoniã linea e d eſt perpendiculariter erecta ſuper ſuperficiem con-
tingentem pyramidem ſecundum aliquam lineam ſuę longitudinis:
ſit hoc ſecundum lineam a b. Cadit ergo linea e d ſuper lineam a b.
Palàm ergo per 2 p 11, quoniam lineę d e & a b ſunt in eadem ſuperfi-
cie. Et quia linea d e eſt perpendicularis ſuper curuam ſuperficiem
pyramidis: patet, quòd illa ſuperficies erit erecta ſuper ſuperficiem
conicam pyramidis, & in ipſa eſt linea a b. Producta ergo transpyra
midem, ſecabit ipſam ſecundũ lineam longitudinis a b per æqualia diuidens pyramidem, & tranſi-