3108VITELLONIS OPTICAE
lio Theonis ad 5 definit. 6 element. & commentarijs in 1 librum magnæ cõſtructionis Ptolemæi.
Item è commentarijs Eutocij in 8 theor. 2 de ſphæra & cylindro Archimedis.
Item è commentarijs Eutocij in 8 theor. 2 de ſphæra & cylindro Archimedis.
Sint extra gradus tres lineæ, quæ a, b, g, quarum prima (quæ eſt a) ſit maior quàm media (quæ
eſt b) & b ſit maior quàm tertia, quæ eſt g: ſit q́; ipſius b ad ambas extremas proportio nota. Dico,
quòd proportio lineæ a ad lineam g tertiam componitur ex proportione lineæ a ad lineam b, & ex
proportione lineæ b ad lineam g. Quoniam enim proportio lineæ a ad lineam b eſt nota: ſit quanti-
tas d denominatio illius proportionis: & ſimiliter quia proportio lineæ b ad lineam g eſt nota: ſit
denominatio illius proportionis quantitas e: & ſit quantitas z denominatio proportionis lineæ a
ad lineam g. Dico, quòd ex ductu e in d fit z. Quoniam enim per 15 definitionem huius ex ductu z
denominationis proportionis lineæ a ad lineam g in ipſam lineam g minorem, quàm ſit a, fit linea
a: & ſimiliter ex ductu d in lineam b fit linea a:
270[Figure 270]a b g d e z ponatur itaq; z primum & d ſecundum, linea b
tertiũ & linea g quartũ. Quia itaq; illud, quod
fit ex ductu primi in quartum, eſt ęquale ei, qđ
fit ex ductu ſecũdi in tertium: patet per 16 p 6
quoniam eſt proportio primi ad ſecundum, ſi-
cut tertij ad quartum: eſt ergo proportio z ad
d, ſicut lineæ b ad lineam g: ergo denominatio
proportionis z ad d ex 5 ſuppoſitione eſt eadẽ
cum denominatione proportionis lineæ b ad
lineam g: ſed denominatio proportionis lineæ b ad lineam g eſt quantitas e: ergo denominatio ꝓ-
portionis z ad d eſt idẽ e: ergo ex ductu e in d fit z. Quia ergo denominatio proportionis lineę a ad
lineam g, quæ eſt z, producitur ex ductu denominationis proportionis lineæ a ad lineam b in de-
nominationem proportionis lineæ b ad lineam g: patet per 16 definitionem huius, quoniam pro-
portio lineæ a primæ ad lineam g tertiam componitur ex proportione lineæ a primæ ad lineam b
ſecundam, & ex proportione lineæ b ſecundæ ad lineam g tertiam: quod eſt propoſitum primum.
Eodem quoq; modo poteſt faciliter demonſtrari de quotcunq; medijs inter quęlibet duo extrema
collocatis: ſemper enim proportio extremorum ad inuicem componitur ex omnibus proportioni
bus mediorum ad inuicem, & ad ipſa extrema. Similiter demonſtrandum uia diuiſionis, ſi mediam
contingat eſſe maiorem qualibet extremarum: patet ergo propoſitum.
eſt b) & b ſit maior quàm tertia, quæ eſt g: ſit q́; ipſius b ad ambas extremas proportio nota. Dico,
quòd proportio lineæ a ad lineam g tertiam componitur ex proportione lineæ a ad lineam b, & ex
proportione lineæ b ad lineam g. Quoniam enim proportio lineæ a ad lineam b eſt nota: ſit quanti-
tas d denominatio illius proportionis: & ſimiliter quia proportio lineæ b ad lineam g eſt nota: ſit
denominatio illius proportionis quantitas e: & ſit quantitas z denominatio proportionis lineæ a
ad lineam g. Dico, quòd ex ductu e in d fit z. Quoniam enim per 15 definitionem huius ex ductu z
denominationis proportionis lineæ a ad lineam g in ipſam lineam g minorem, quàm ſit a, fit linea
a: & ſimiliter ex ductu d in lineam b fit linea a:
270[Figure 270]a b g d e z ponatur itaq; z primum & d ſecundum, linea b
tertiũ & linea g quartũ. Quia itaq; illud, quod
fit ex ductu primi in quartum, eſt ęquale ei, qđ
fit ex ductu ſecũdi in tertium: patet per 16 p 6
quoniam eſt proportio primi ad ſecundum, ſi-
cut tertij ad quartum: eſt ergo proportio z ad
d, ſicut lineæ b ad lineam g: ergo denominatio
proportionis z ad d ex 5 ſuppoſitione eſt eadẽ
cum denominatione proportionis lineæ b ad
lineam g: ſed denominatio proportionis lineæ b ad lineam g eſt quantitas e: ergo denominatio ꝓ-
portionis z ad d eſt idẽ e: ergo ex ductu e in d fit z. Quia ergo denominatio proportionis lineę a ad
lineam g, quæ eſt z, producitur ex ductu denominationis proportionis lineæ a ad lineam b in de-
nominationem proportionis lineæ b ad lineam g: patet per 16 definitionem huius, quoniam pro-
portio lineæ a primæ ad lineam g tertiam componitur ex proportione lineæ a primæ ad lineam b
ſecundam, & ex proportione lineæ b ſecundæ ad lineam g tertiam: quod eſt propoſitum primum.
Eodem quoq; modo poteſt faciliter demonſtrari de quotcunq; medijs inter quęlibet duo extrema
collocatis: ſemper enim proportio extremorum ad inuicem componitur ex omnibus proportioni
bus mediorum ad inuicem, & ad ipſa extrema. Similiter demonſtrandum uia diuiſionis, ſi mediam
contingat eſſe maiorem qualibet extremarum: patet ergo propoſitum.
14. Si linea recta ſuper duas rect{as} ceciderit, fecerit́ angulos coalternos inæquales, aut
duos intrinſecos minores duobus rectis, uel extrinſecum inæqualem intrinſeco: illas duas lineas
ad minorum angulorum partem concurrere eſt neceſſe, ad aliam uerò partem impoßibile: & ſi
lineæ concurrunt, neceſſe est dictos angulos aliquo propoſitorum modorum ſe habere. E' 27.28
p 1 element. Lemma Procli ad 16 p 1 elem.
duos intrinſecos minores duobus rectis, uel extrinſecum inæqualem intrinſeco: illas duas lineas
ad minorum angulorum partem concurrere eſt neceſſe, ad aliam uerò partem impoßibile: & ſi
lineæ concurrunt, neceſſe est dictos angulos aliquo propoſitorum modorum ſe habere. E' 27.28
p 1 element. Lemma Procli ad 16 p 1 elem.
Sint duæ lineæ a b & c d, quas ſecet linea e fſecundum quod proponitur.
Dico, quoniam lineæ
a b & c d concurrent. Si enim nõ concurrant, patet quòd ſunt æ quidiſtantes: ergo per 29 p 1 ſequi-
tur contrarium hypothe. quòd eſt inconueniens: concur
271[Figure 271]e a b c d f runt ergo. Ad partem uerò minorum angulorum cõcur-
rere eſt neceſſarium: quoniam ſi ad partem maiorum an-
gulorum concurrant, ſequetur angulum extrinſecum tri
goni contenti fieri minorẽ angulo intrinſeco: & eſt con-
tra 16 & 32 p 1. Et quia per præmiſſas probationes ad par-
tes minorum angulorum concurrunt: ſi ex conceſſo ad
partes maiorum angulorum concurrerent, ſequeretur
duas rectas lineas ſuperficiem includere: quod eſt impoſ
ſibile. Eſt ergo impoſsibile, ut ad partes maiorum angu-
lorum concurrant: quod eſt propoſitum primum. Sed &
ſi detur, quòd illæ lineæ concurrant, neceſſe eſt angulos aliquo propofitorum modorum ſe habere
per 32 p 1: patet ergo totum, quod proponebatur, ſeruata ſemper hypotheſi.
a b & c d concurrent. Si enim nõ concurrant, patet quòd ſunt æ quidiſtantes: ergo per 29 p 1 ſequi-
tur contrarium hypothe. quòd eſt inconueniens: concur
271[Figure 271]e a b c d f runt ergo. Ad partem uerò minorum angulorum cõcur-
rere eſt neceſſarium: quoniam ſi ad partem maiorum an-
gulorum concurrant, ſequetur angulum extrinſecum tri
goni contenti fieri minorẽ angulo intrinſeco: & eſt con-
tra 16 & 32 p 1. Et quia per præmiſſas probationes ad par-
tes minorum angulorum concurrunt: ſi ex conceſſo ad
partes maiorum angulorum concurrerent, ſequeretur
duas rectas lineas ſuperficiem includere: quod eſt impoſ
ſibile. Eſt ergo impoſsibile, ut ad partes maiorum angu-
lorum concurrant: quod eſt propoſitum primum. Sed &
ſi detur, quòd illæ lineæ concurrant, neceſſe eſt angulos aliquo propofitorum modorum ſe habere
per 32 p 1: patet ergo totum, quod proponebatur, ſeruata ſemper hypotheſi.
272[Figure 272]a d e c b
15. Cumlineis, ſe inter duas line{as} æquidiſtantes, à
quarum terminis producuntur, ſecantibus, ex utra
parte ſectionis partes eiuſdẽ lineæ inter ſe fuerint æqua les: neceſſe eſt lineas, inter quas fit ſectio, æquales eſſe.
quarum terminis producuntur, ſecantibus, ex utra
parte ſectionis partes eiuſdẽ lineæ inter ſe fuerint æqua les: neceſſe eſt lineas, inter quas fit ſectio, æquales eſſe.
Verbi gratia:
ſit, ut duæ lineæ a b & c d inter duas line-
as æquidiſtantes, à quarũ terminis producũtur, quę ſint a
d & c b, ſecent ſe in puncto e, ita, quòd linea a e ſit æqualis
lineæ e b, & linea c e ſit æqualis ipſi e d. Dico, quòd linea
a d eſt æqualis lineæ c b. Quoniam enim per 15 p 1 angu-
lus a e d eſt æqualis angulo c e b, erit ex hypotheſi & per
4 p 1 linea a d æqualis lineæ c b: quod eſt propoſitum.
as æquidiſtantes, à quarũ terminis producũtur, quę ſint a
d & c b, ſecent ſe in puncto e, ita, quòd linea a e ſit æqualis
lineæ e b, & linea c e ſit æqualis ipſi e d. Dico, quòd linea
a d eſt æqualis lineæ c b. Quoniam enim per 15 p 1 angu-
lus a e d eſt æqualis angulo c e b, erit ex hypotheſi & per
4 p 1 linea a d æqualis lineæ c b: quod eſt propoſitum.
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib