31614VITELLONIS OPTICAE
ſim b c perpendicularis a d.
Dico, quòd propoſitus iſoſceles diuiſus eſt in duos trigonos par-
tiales ſimiles. Quoniam enim per 5 p 1 angulus a b d eſt æqualis angulo a c d, ſed & per definitio-
nem perpendicularis 10 defin. 1. elem. anguli a d b & a d c ſunt æqua-
293[Figure 293]a b d c les, quia recti: patet per 32 p 1, quòd anguli b a d & c a d ſunt æquales.
Ergo trigoni a b d & a c d ſunt æquianguli: ergo per 4 p 6 latera illo-
rum trigonorũ æquos angulos reſpicientia, ſunt proportionalia: ſunt
ergo illa trigona partialia, quæ a b d & a c d ſimilia per definitionem
ſimilium trigonorum: patet ergo propoſitum primum. Et quoniam
illa trigona a b d & a c d ſunt ſimilia, & eorum latera a b & a c ſunt æ-
qualia, & latus a d cõmune: patet, quòd etiam latera c d & b d ſunt æ-
qualia. Linea ergo քpendicularis, quę a d, neceſſariò pertingit ad me-
dium punctum lineæ b c: quod eſt propoſitum ſecundum.
tiales ſimiles. Quoniam enim per 5 p 1 angulus a b d eſt æqualis angulo a c d, ſed & per definitio-
nem perpendicularis 10 defin. 1. elem. anguli a d b & a d c ſunt æqua-
293[Figure 293]a b d c les, quia recti: patet per 32 p 1, quòd anguli b a d & c a d ſunt æquales.
Ergo trigoni a b d & a c d ſunt æquianguli: ergo per 4 p 6 latera illo-
rum trigonorũ æquos angulos reſpicientia, ſunt proportionalia: ſunt
ergo illa trigona partialia, quæ a b d & a c d ſimilia per definitionem
ſimilium trigonorum: patet ergo propoſitum primum. Et quoniam
illa trigona a b d & a c d ſunt ſimilia, & eorum latera a b & a c ſunt æ-
qualia, & latus a d cõmune: patet, quòd etiam latera c d & b d ſunt æ-
qualia. Linea ergo քpendicularis, quę a d, neceſſariò pertingit ad me-
dium punctum lineæ b c: quod eſt propoſitum ſecundum.
32. Linea ducta à quocun puncto unius lateris trigoni produ-
cti, ultr a trigonum ſecans latus ab illo puncto remotius, & propin-
quius illi neceſſariò ſecabit.
cti, ultr a trigonum ſecans latus ab illo puncto remotius, & propin-
quius illi neceſſariò ſecabit.
Sit trigonum a b c, cuius latus a b producatur ultra punctum b ad
punctum d: & à puncto d ducatur linea d e ſecans latus trigoni a c in puncto e. Dico, quòd d e ne-
ceſſariò ſecabit latus b c. Si enim non ſecabit latus b c, ſed ſolum latus
294[Figure 294]d b a e c f f a c, ducatur linea d c, & producatur in continuum & directum: ſecabit
itaq; linea d c in aliquo puncto lineam d e: quoniam cum linea d c exeat
â puncto d, à quo exit etiam linea d e, & terminetur ad pũctum c inter-
iacens punctum e, neceſſariò illam ſecabit: ſit punctus ſectionis f. Pa-
làm itaq; , quoniam duæ rectæ lineæ, quæ ſunt d f & d e f includunt ſu-
perficiem: quod eſt impoſsibile. Idem quoque accidit, ſi linea d e duca-
tur extra lineam b c ultra punctum a: quod eſt propoſitum.
punctum d: & à puncto d ducatur linea d e ſecans latus trigoni a c in puncto e. Dico, quòd d e ne-
ceſſariò ſecabit latus b c. Si enim non ſecabit latus b c, ſed ſolum latus
294[Figure 294]d b a e c f f a c, ducatur linea d c, & producatur in continuum & directum: ſecabit
itaq; linea d c in aliquo puncto lineam d e: quoniam cum linea d c exeat
â puncto d, à quo exit etiam linea d e, & terminetur ad pũctum c inter-
iacens punctum e, neceſſariò illam ſecabit: ſit punctus ſectionis f. Pa-
làm itaq; , quoniam duæ rectæ lineæ, quæ ſunt d f & d e f includunt ſu-
perficiem: quod eſt impoſsibile. Idem quoque accidit, ſi linea d e duca-
tur extra lineam b c ultra punctum a: quod eſt propoſitum.
33. Si à punctis terminalibus unius lateris trianguli duæ rectæ
exeuntes, intr a trigonum ad punctum unum conueniant: erit angu
lus inferior æqualis ſuperiori, & duobus angulis inter lineas duct as
ad alia duo later a trigoni contentis.
exeuntes, intr a trigonum ad punctum unum conueniant: erit angu
lus inferior æqualis ſuperiori, & duobus angulis inter lineas duct as
ad alia duo later a trigoni contentis.
Sit trigonum a b c, à cuius unius laterum a b punctis terminalibus,
quæ ſunt a & b, ducantur lineæ taliter, ut intra trigonum a b c concur-
rant in puncto d. Dico, quòd angulus a d b eſt æqualis angulo a c b, &
inſuper duobus angulis c a d & c b d. Quòd enim angulus a d b ſit maior angulo a c b, hoc patet per
21 p 1. Producatur itaq; linea c d ultra punctum d uſq; ad punctum e.
295[Figure 295]c d e a b Eſt itaq; per 32 p 1 angulus e d a æqualis duobus angulis d c a & d a c:
& ſimiliter angulus e d b æqualis eſt duobus angulis d b c & d c b. To-
tus ergo angulus a d b ęqualis eſt angulo a c b, & angulis d a c & d b c:
quod eſt propoſitum.
quæ ſunt a & b, ducantur lineæ taliter, ut intra trigonum a b c concur-
rant in puncto d. Dico, quòd angulus a d b eſt æqualis angulo a c b, &
inſuper duobus angulis c a d & c b d. Quòd enim angulus a d b ſit maior angulo a c b, hoc patet per
21 p 1. Producatur itaq; linea c d ultra punctum d uſq; ad punctum e.
295[Figure 295]c d e a b Eſt itaq; per 32 p 1 angulus e d a æqualis duobus angulis d c a & d a c:
& ſimiliter angulus e d b æqualis eſt duobus angulis d b c & d c b. To-
tus ergo angulus a d b ęqualis eſt angulo a c b, & angulis d a c & d b c:
quod eſt propoſitum.
34. Linea æqualis & æquidiſtans baſi alicuius trigoni, uicini-
or angulo ſupremo, maiori angulo neceſſariò ſubtenditur.
or angulo ſupremo, maiori angulo neceſſariò ſubtenditur.
Eſto trigonum a b c, cuius baſi a c:
uicinior angulo a b c duca-
tur linea æqualis & æquidiſtans, quæ ſit d e. Dico, quòd ſi à puncto
b ducantur lineæ b d & b e, quòd angulus d b e eſt maior angulo a b
c. Quia enim linea d e eſt æqualis lineæ a c, palàm, quòd ipſa ſic pro-
ducta ſecat lineas a b & b c, argumento 16 huius: quòd etiã patet ex a-
lijs. Nam omnis linea cadens intra trigonum ſecans latera eius & æ-
quidiſtans, eſt minor baſi per 29 p 1 & 4 p 6. Secet ergo linea d e latus
b a in puncto f, & latus b c in puncto g. Quia ita que per 16 p 1 angulus b g f eſt maior angulo b e
g: erit per 29 p 1 angulus b c a maior angulo b e d: & ea-
296[Figure 296]b d f g e a c dem ratione angulus b a c eſt maior angulo b d e: ne-
ceſſariò ergo per 32 p 1 erit angulus d b e cum angulis mi-
noribus ualens duos rectos, maior angulo a b c, ualente
cum duobus angulis maioribus duos rectos: patet ergo
propoſitum.
tur linea æqualis & æquidiſtans, quæ ſit d e. Dico, quòd ſi à puncto
b ducantur lineæ b d & b e, quòd angulus d b e eſt maior angulo a b
c. Quia enim linea d e eſt æqualis lineæ a c, palàm, quòd ipſa ſic pro-
ducta ſecat lineas a b & b c, argumento 16 huius: quòd etiã patet ex a-
lijs. Nam omnis linea cadens intra trigonum ſecans latera eius & æ-
quidiſtans, eſt minor baſi per 29 p 1 & 4 p 6. Secet ergo linea d e latus
b a in puncto f, & latus b c in puncto g. Quia ita que per 16 p 1 angulus b g f eſt maior angulo b e
g: erit per 29 p 1 angulus b c a maior angulo b e d: & ea-
296[Figure 296]b d f g e a c dem ratione angulus b a c eſt maior angulo b d e: ne-
ceſſariò ergo per 32 p 1 erit angulus d b e cum angulis mi-
noribus ualens duos rectos, maior angulo a b c, ualente
cum duobus angulis maioribus duos rectos: patet ergo
propoſitum.
35. In trigono orthogonio ab uno reliquorum an-
gulorum producta linea ad baſim: erit remotioris an-
guli ad propinquiorem recto minor proportio, quàm
gulorum producta linea ad baſim: erit remotioris an-
guli ad propinquiorem recto minor proportio, quàm
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib