32321LIBER PRIMVS.
per 1 p 3.
Et quoniam punctum h cadit in diametrum a b:
palàm, quia ipſum punctum h eſt centrum
circuli. Eſt ergo linea a d, pars diametri a b, maior quàm linea d b: & hoc eſt propoſitum.
circuli. Eſt ergo linea a d, pars diametri a b, maior quàm linea d b: & hoc eſt propoſitum.
49. Si ab angulis duorum trigonorum ad medietates ſuarũ baſiũ æqualiũ una perpendicula
riter, alia obliquè æquales lineæ duc antur, ſit́ quælibet duct arum maior medietate ſuæ baſis:
erit angulus trigoni, à quo ducitur perpendicularis, maior angulo alterius trigoni, à quo linea
ducitur obliqua.
riter, alia obliquè æquales lineæ duc antur, ſit́ quælibet duct arum maior medietate ſuæ baſis:
erit angulus trigoni, à quo ducitur perpendicularis, maior angulo alterius trigoni, à quo linea
ducitur obliqua.
Sint duo trigona a b c & d e f, quorum baſes b c, & e f, ſint æquales:
quæ ſecentur per 10 p 1 in par-
tes æquales, b c in puncto g, & e f in puncto h: & ducantur ab angulis ad baſes lineæ a g & d h, quæ
ſint ęquales: ſitq́; linea a g ք-
314[Figure 314]a b ſ m g c k315[Figure 315]d e h f pẽdicularis ſuper lineã b c, li-
nea uerò d h nõ ſit perpẽdicu
laris ſuք lineã e f. Sitq́; linea
perpendicularis a g maior li-
nea b g parte baſis: item obli-
qua d h maior linea e h parte
baſis. Dico, quod angulus b a
c eſt maior angulo e d f. Cir-
cũſcribatur enim trigono a b
c circulus per 5 p 4, & produ-
catur linea a g ad circũferen-
tiã in punctũ k: hoc aũt poſsi-
bile. Quoniã uerò ſuppoſitũ
eſt lineã a g eſſe maiorẽ linea
g b, erit per 47 huius linea a g
maior ꝗ̃ linea g k: ergo per 1 p 3 centrũ circuli eſt in linea a g inter pũcta a & g: & erit a k diameter, &
per 7 p 3 linea g a eſt lõgiſsima omnium linearũ à puncto g ad circũferentiã productarũ: & linea g k
erit omniũ linearũ illarum minima: & quęlibet propinquior lineę g a eſt maior remotiore. Fiat itaq;
per 23 p 1 ſuper punctũ g termini lineę, c g angulus ęqualis angulo f h d minori angulo d h e, qui ſit l
g c, producta linea g l uſq; ad peripheriã circuli. Palã itaq; ex 7 p 3, quoniã linea g a eſt maior ꝗ̃ linea
g l: ergo & linea d h, quę ex hypotheſi eſt ęqualis lineę a g, eſt maior ꝗ̃ linea g l. Producatur itaq; li-
nea g l, quouſq; ſit ęqualis lineę d h per 3 p 1, & ſit linea g m ęqualis lineę d h: & ducantur lineę m b
& m c: angulus itaq; b m c eſt ęqualis angulo e d f ex hypotheſi per 4. 13 p 1. Sed angulus b a c eſt ma
ior angulo b m c. Producantur enim lineę b l & c l: palã, quia angulus b l c eſt maior angulo b m c per
21 p 1: ſed angulus b a c eſt æqualis angulo b l c per 21 p 3. Erit ergo angulus b a c maior angulo b m c:
ergo & angulo e d f: & hoc proponebatur.
tes æquales, b c in puncto g, & e f in puncto h: & ducantur ab angulis ad baſes lineæ a g & d h, quæ
ſint ęquales: ſitq́; linea a g ք-
314[Figure 314]a b ſ m g c k315[Figure 315]d e h f pẽdicularis ſuper lineã b c, li-
nea uerò d h nõ ſit perpẽdicu
laris ſuք lineã e f. Sitq́; linea
perpendicularis a g maior li-
nea b g parte baſis: item obli-
qua d h maior linea e h parte
baſis. Dico, quod angulus b a
c eſt maior angulo e d f. Cir-
cũſcribatur enim trigono a b
c circulus per 5 p 4, & produ-
catur linea a g ad circũferen-
tiã in punctũ k: hoc aũt poſsi-
bile. Quoniã uerò ſuppoſitũ
eſt lineã a g eſſe maiorẽ linea
g b, erit per 47 huius linea a g
maior ꝗ̃ linea g k: ergo per 1 p 3 centrũ circuli eſt in linea a g inter pũcta a & g: & erit a k diameter, &
per 7 p 3 linea g a eſt lõgiſsima omnium linearũ à puncto g ad circũferentiã productarũ: & linea g k
erit omniũ linearũ illarum minima: & quęlibet propinquior lineę g a eſt maior remotiore. Fiat itaq;
per 23 p 1 ſuper punctũ g termini lineę, c g angulus ęqualis angulo f h d minori angulo d h e, qui ſit l
g c, producta linea g l uſq; ad peripheriã circuli. Palã itaq; ex 7 p 3, quoniã linea g a eſt maior ꝗ̃ linea
g l: ergo & linea d h, quę ex hypotheſi eſt ęqualis lineę a g, eſt maior ꝗ̃ linea g l. Producatur itaq; li-
nea g l, quouſq; ſit ęqualis lineę d h per 3 p 1, & ſit linea g m ęqualis lineę d h: & ducantur lineę m b
& m c: angulus itaq; b m c eſt ęqualis angulo e d f ex hypotheſi per 4. 13 p 1. Sed angulus b a c eſt ma
ior angulo b m c. Producantur enim lineę b l & c l: palã, quia angulus b l c eſt maior angulo b m c per
21 p 1: ſed angulus b a c eſt æqualis angulo b l c per 21 p 3. Erit ergo angulus b a c maior angulo b m c:
ergo & angulo e d f: & hoc proponebatur.
50. Si ab angulis duorum trigonorum ad medietates ſuarum baſium æqualium una perpẽdi-
culariter, alia obliquè, æquales lineæ ducantur, ſit́ quælibet ductarum minor medietate baſis
ſuæ: erit angulus trigoni, à quo ducitur perpendicularis, minor angulo alterius trigoni, à quo
linea ducitur obliqua.
culariter, alia obliquè, æquales lineæ ducantur, ſit́ quælibet ductarum minor medietate baſis
ſuæ: erit angulus trigoni, à quo ducitur perpendicularis, minor angulo alterius trigoni, à quo
linea ducitur obliqua.
Remaneat diſpoſitio pręcedentis, niſi quòd perpendicularis a g ſit minor medietate baſis b g.
Di
co, qđ angulus b a c eſt mi-
316[Figure 316]a l n b g c k317[Figure 317]d c h f nor angulo e d f. Sit enim,
ut prius, angulus c g l ęqua-
lis angulo d h f. Et quoniã li
nea a g eſt minor quã linea
b g, & linea a k eſt diame-
ter: palã per 47 huius, quo-
niam cẽtrũ circuli eſt inter
puncta g & k: ergo per 7 p 3
linea g a eſt minima omniũ
linearũ à puncto gad peri-
pheriã circuli productarũ:
eſt ergo linea g l maior ꝗ̃ li-
nea g a: ergo & maior quã li
nea d h. Fiat itaq; per 3 p 1 li
nea g n ęqualis lineæ d h: &
copulẽtur lineę bn & c n: erit itaq; , ut in pręmiſſa, angulus e d f æqualis angulo b n c: ſed angulus b
n e maior eſt angulo b l c per 21 p 1, & angulus b l c æqualis angulo b a c per 21 p 3. Erit ergo angulus
b a c minor angulo b n c: ergo & eιus æquali, angulo e d f: & hoc eſt propoſitum.
co, qđ angulus b a c eſt mi-
316[Figure 316]a l n b g c k317[Figure 317]d c h f nor angulo e d f. Sit enim,
ut prius, angulus c g l ęqua-
lis angulo d h f. Et quoniã li
nea a g eſt minor quã linea
b g, & linea a k eſt diame-
ter: palã per 47 huius, quo-
niam cẽtrũ circuli eſt inter
puncta g & k: ergo per 7 p 3
linea g a eſt minima omniũ
linearũ à puncto gad peri-
pheriã circuli productarũ:
eſt ergo linea g l maior ꝗ̃ li-
nea g a: ergo & maior quã li
nea d h. Fiat itaq; per 3 p 1 li
nea g n ęqualis lineæ d h: &
copulẽtur lineę bn & c n: erit itaq; , ut in pręmiſſa, angulus e d f æqualis angulo b n c: ſed angulus b
n e maior eſt angulo b l c per 21 p 1, & angulus b l c æqualis angulo b a c per 21 p 3. Erit ergo angulus
b a c minor angulo b n c: ergo & eιus æquali, angulo e d f: & hoc eſt propoſitum.
51. Si ab angulis duorum trigonorum ad medietates ſuarum baſium æqualium duæ lineæ æ-
quales, obliquè incidant ad angulos inæquales, & ſi quælibet linearum incidentium maior fue-
rit medietate ſuæ baſis: erit angulus ſuperior illius trigoni, cuius incidens linea maiorem angu-
quales, obliquè incidant ad angulos inæquales, & ſi quælibet linearum incidentium maior fue-
rit medietate ſuæ baſis: erit angulus ſuperior illius trigoni, cuius incidens linea maiorem angu-
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib