32624VITELLONIS OPTICAE
qui eſt æqualis angulo a e b per 29 p 1:
angulus itaque a e b eſt æqualis angulo in circumferentia, ca
denti in arcum æqualem duobus arcubus b a, & c d. Item d ucatur linea d z, & producatur linea z b
extra circulum in punctum h: erit ergo angulus h b d ext rinſecus æqualis duobus angulis intrinſe-
cis b d z, & b z d per 32 p 1: ſed duo anguli b z d & b d z re ſpiciuntur à duobus arcubus b g d, & b f z:
angulus ergo h b d eſt æqualis angulo, quem reſpiciunt duo arcus b g d & b f z: hic autem eſt arcus
d a z: ſed arcus a b eſt æqualis arcui z c: arcus itaque d a z eſt æqualis duobus arcubus d g a & b z c.
Cum itaque per 29 p 1 angulus h b e ſit æqualis angulo
324[Figure 324]h a b e d z c b e c: patet, quia angulus b e c eſt æqualis angulo, quem
in circũferentia reſpiciunt duo arcus d g a & b z c. Quòd
ſi linea h b z contingit circulum, & non ſecat: tunc patet
per 32 p 3, quia angulus e b z eſt æqualis angulo cadenti
in portionem circuli, quę eſt b a d, & angulus e b h eſt ę-
qualis angulo cadenti in portionem circuli b c d: ſed an
gulus e b z eſt æqualis angulo b e a per 29 p 1. Angulus
itaque b e a eſt æqualis angulo, qui apud circumferen-
tiam cadit in arcum b c d: ſed arcus b c eſt æqualis arcui
b a per proximam pręcedentem: arcus ergo b c d eſt æ-
qualis duobus arcubus b a & c d. Angulus itaq; b e a eſt
æqualis angulo, qui apud circumferẽtiam reſpicit duos
arcus a b & c d: quoniam angulus cadens in arcum b c d
eſt conſiſtens in portione circuli, quæ eſt b g d. Simi-
liter quoque poteſt declarari, quòd angulus b e c eſt
æqualis angulo apud circumferentiam, quem reſpiciũt
duo arcus b c & a d: quoniam angulus b e c eſt æqualis
angulo h b d, cuius ęqualitas per 32 p 3 cadit in portionem circuli b c d, hoc eſt in arcum b a d: eſt au-
tem ex præmiſsis arcus a b æqualis arcui b c: patet itaque propoſitum.
denti in arcum æqualem duobus arcubus b a, & c d. Item d ucatur linea d z, & producatur linea z b
extra circulum in punctum h: erit ergo angulus h b d ext rinſecus æqualis duobus angulis intrinſe-
cis b d z, & b z d per 32 p 1: ſed duo anguli b z d & b d z re ſpiciuntur à duobus arcubus b g d, & b f z:
angulus ergo h b d eſt æqualis angulo, quem reſpiciunt duo arcus b g d & b f z: hic autem eſt arcus
d a z: ſed arcus a b eſt æqualis arcui z c: arcus itaque d a z eſt æqualis duobus arcubus d g a & b z c.
Cum itaque per 29 p 1 angulus h b e ſit æqualis angulo
324[Figure 324]h a b e d z c b e c: patet, quia angulus b e c eſt æqualis angulo, quem
in circũferentia reſpiciunt duo arcus d g a & b z c. Quòd
ſi linea h b z contingit circulum, & non ſecat: tunc patet
per 32 p 3, quia angulus e b z eſt æqualis angulo cadenti
in portionem circuli, quę eſt b a d, & angulus e b h eſt ę-
qualis angulo cadenti in portionem circuli b c d: ſed an
gulus e b z eſt æqualis angulo b e a per 29 p 1. Angulus
itaque b e a eſt æqualis angulo, qui apud circumferen-
tiam cadit in arcum b c d: ſed arcus b c eſt æqualis arcui
b a per proximam pręcedentem: arcus ergo b c d eſt æ-
qualis duobus arcubus b a & c d. Angulus itaq; b e a eſt
æqualis angulo, qui apud circumferẽtiam reſpicit duos
arcus a b & c d: quoniam angulus cadens in arcum b c d
eſt conſiſtens in portione circuli, quæ eſt b g d. Simi-
liter quoque poteſt declarari, quòd angulus b e c eſt
æqualis angulo apud circumferentiam, quem reſpiciũt
duo arcus b c & a d: quoniam angulus b e c eſt æqualis
angulo h b d, cuius ęqualitas per 32 p 3 cadit in portionem circuli b c d, hoc eſt in arcum b a d: eſt au-
tem ex præmiſsis arcus a b æqualis arcui b c: patet itaque propoſitum.
325[Figure 325]e a b d f c
55. Angulus à duabus lineis ab uno puncto extra circulum dato, circulum ſecantibus con-
tentus, æqualis eſt angulo ſuper circumferẽtiam cadenti in arcũ,
quo maior arcuum inter illas duas lineas comprehenſus, excedit minorem. Alhazen 25 n 7.
tentus, æqualis eſt angulo ſuper circumferẽtiam cadenti in arcũ,
quo maior arcuum inter illas duas lineas comprehenſus, excedit minorem. Alhazen 25 n 7.
Eſto circulus a b c d, extra quem ſit datum punctum e:
& ducan-
tur à puncto e duę lineę ſecantes circulum, quæ ſint e a d & e b c. Di-
co itaq; , quòd angulus d e c eſt æqualis angulo, qui eſt apud circum-
ferentiam circuli, quem reſpicit arcus, in quo arcus d c excedit arcũ
a b. À pũcto enim a ducatur per circulum linea a f ęquidiſtans lineę
b c per 31 p 1: erit ergo per 53 huius arcus f c ęqualis arcui a b. Eſt itaq;
arcus d f exceſſus arcus d c ſuper arcum a b: ſed angulus d a f apud
circumferentiã exiſtens cadit in arcum d f: & angulus d a f eſt æqua-
lis angulo d e c per 29 p 1. Ergo angulus d e c eſt æqualis angulo ca-
denti ſuper circumferentiam in arcum d f: quod eſt propoſitum.
tur à puncto e duę lineę ſecantes circulum, quæ ſint e a d & e b c. Di-
co itaq; , quòd angulus d e c eſt æqualis angulo, qui eſt apud circum-
ferentiam circuli, quem reſpicit arcus, in quo arcus d c excedit arcũ
a b. À pũcto enim a ducatur per circulum linea a f ęquidiſtans lineę
b c per 31 p 1: erit ergo per 53 huius arcus f c ęqualis arcui a b. Eſt itaq;
arcus d f exceſſus arcus d c ſuper arcum a b: ſed angulus d a f apud
circumferentiã exiſtens cadit in arcum d f: & angulus d a f eſt æqua-
lis angulo d e c per 29 p 1. Ergo angulus d e c eſt æqualis angulo ca-
denti ſuper circumferentiam in arcum d f: quod eſt propoſitum.
56. In dato ſemicirculo ad unum punctũ circumferentiæ, dua-
bus lineis: una à termino diametri, & alia à centro ductis: ab eiſ-
dem punctis ad aliud punctum quodcun ſemicirculi dati lineas
duas prioribus duabus proportionales duci eſt impoßibile: in diuerſis uerò ſemicirculis hoc eſt
poßibile.
bus lineis: una à termino diametri, & alia à centro ductis: ab eiſ-
dem punctis ad aliud punctum quodcun ſemicirculi dati lineas
duas prioribus duabus proportionales duci eſt impoßibile: in diuerſis uerò ſemicirculis hoc eſt
poßibile.
Eſto datus ſemicirculus a d b:
cuius diameter a b:
centrum uerò c:
& ſit aliquod punctum circũ-
ferentiæ d: & ducatur à puncto a termino dia-
326[Figure 326]g d f a e c h b metri ad punctum d linea a d: & à cẽtro c linea
c d. Dico, quòd ſi à punctis a & c duæ lineæ ad
aliud punctum ſemicirculi ducantur: quòd illę
duę ductę lineę duabus lineis a d & c d propor
tionales non erunt. Sit enim, ſi poſsibile eſt,
ut à punctis a & c ducantur ad punctum g duę
lineæ a g & c g, & quę eſt proportio lineę a d ad
lineam c d, eadem ſit lineæ a g ad lineam c g, e-
rit permutatim per 16 p 5 proportio lineæ a d
ad lineam a g, ſicut lineę c d ad lineam c g: ſe d li
nea c d eſt æqualis lineę c g: quoniã ambę ſunt
ex cẽtro ſemicirculi: ergo linea a d ęqualis erit lineę a g: hoc aũt eſt impoſsibile ex 7 p 3 & 19 p 1: ma-
iori enim angulo ſubtẽditur linea a d ꝗ̃ linea a g: & eſt uicinior diametro. Patet ergo ꝓpoſitũ primũ:
quia à quocũq; pũcto alio dato idẽ accidit impoſsibile, & eodẽ modo deducẽdũ. In diuerſis uerò ſe-
ferentiæ d: & ducatur à puncto a termino dia-
326[Figure 326]g d f a e c h b metri ad punctum d linea a d: & à cẽtro c linea
c d. Dico, quòd ſi à punctis a & c duæ lineæ ad
aliud punctum ſemicirculi ducantur: quòd illę
duę ductę lineę duabus lineis a d & c d propor
tionales non erunt. Sit enim, ſi poſsibile eſt,
ut à punctis a & c ducantur ad punctum g duę
lineæ a g & c g, & quę eſt proportio lineę a d ad
lineam c d, eadem ſit lineæ a g ad lineam c g, e-
rit permutatim per 16 p 5 proportio lineæ a d
ad lineam a g, ſicut lineę c d ad lineam c g: ſe d li
nea c d eſt æqualis lineę c g: quoniã ambę ſunt
ex cẽtro ſemicirculi: ergo linea a d ęqualis erit lineę a g: hoc aũt eſt impoſsibile ex 7 p 3 & 19 p 1: ma-
iori enim angulo ſubtẽditur linea a d ꝗ̃ linea a g: & eſt uicinior diametro. Patet ergo ꝓpoſitũ primũ:
quia à quocũq; pũcto alio dato idẽ accidit impoſsibile, & eodẽ modo deducẽdũ. In diuerſis uerò ſe-
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib