33230VITELLONIS OPTICAE
tingit ſphęrã ք definitionẽ ſuքficiei planę ſphęrã cõtingẽtis.
Ex hoc itaq;
patet, quoniã omnis linea
à cẽtro ſphęræ ducta, ſit erecta ſuք planã ſuքficiẽ, ſphęrã ipſam in pũ-
340[Figure 340]g h e b f d a cto ſuæ incidẽtię cõtingentẽ, & anguli incidẽtiæ ſint æquales: quoniã
ipſa eſt perpẽdicularis ſuք ſphęrę ſuperficiẽ, ք definitionẽ perpẽdicu-
laris: anguli enim ſemicirculorũ oẽs ſunt æquales ք 43 huius. Et quo-
niã linea ab ꝓducta ad punctũ g, eſt adhuc erecta ſuք ſuքficiẽ planã,
ſphęrã cõtingentẽ in pũcto b: palã, ք a linea g b, & quęcũq; alia քpẽdi-
cularis erigi poteſt ſuք ſuքficiẽ planã in pũcto b, cõtingẽtẽ ſphęrã, trã-
ſit cẽtrũ ſphęræ a: ꝗ a ſi à pũcto b poſsit alia linea erigi ſuք ſuքficiẽ cõ-
tingẽtẽ, nõ trãſiẽs cetrũ ſphærę a: ſit illa h b d, & ſit angul9 h b e rectus:
ſed angul9 g b e eſt rectus ք 13 p 1, cũ angul9 a b e ſit rect9 ex hypotheſi:
erit itaq; rectus maior recto: qđ eſt impoſsibile: patet ergo ꝓpoſitũ.
à cẽtro ſphęræ ducta, ſit erecta ſuք planã ſuքficiẽ, ſphęrã ipſam in pũ-
340[Figure 340]g h e b f d a cto ſuæ incidẽtię cõtingentẽ, & anguli incidẽtiæ ſint æquales: quoniã
ipſa eſt perpẽdicularis ſuք ſphęrę ſuperficiẽ, ք definitionẽ perpẽdicu-
laris: anguli enim ſemicirculorũ oẽs ſunt æquales ք 43 huius. Et quo-
niã linea ab ꝓducta ad punctũ g, eſt adhuc erecta ſuք ſuքficiẽ planã,
ſphęrã cõtingentẽ in pũcto b: palã, ք a linea g b, & quęcũq; alia քpẽdi-
cularis erigi poteſt ſuք ſuքficiẽ planã in pũcto b, cõtingẽtẽ ſphęrã, trã-
ſit cẽtrũ ſphęræ a: ꝗ a ſi à pũcto b poſsit alia linea erigi ſuք ſuքficiẽ cõ-
tingẽtẽ, nõ trãſiẽs cetrũ ſphærę a: ſit illa h b d, & ſit angul9 h b e rectus:
ſed angul9 g b e eſt rectus ք 13 p 1, cũ angul9 a b e ſit rect9 ex hypotheſi:
erit itaq; rectus maior recto: qđ eſt impoſsibile: patet ergo ꝓpoſitũ.
73. Omnium ſphærarum, quarum conuexæ ſuperficies æquidi-
ſtant, uel ſecundũ ſe tot{as} ſe contingunt, neceſſariò eſt idẽ centrum.
ſtant, uel ſecundũ ſe tot{as} ſe contingunt, neceſſariò eſt idẽ centrum.
Sint duę ſphęræ, quarũ cõuexæ ſuքficies æquidiſtẽt, ſectæ ք æqua-
lia ք unã planã ſuքficiẽ: cõmunis ergo ſectio ſuperficierũ illarũ ſphæ
ricarũ & huius planæ erũt circuli: ſitq́; magnus circulus maioris ſphęræ a b, & centrũ eius e: mino-
ris uerò ſphęrę circulus magnus ſit c d. Dico, quòd idẽ
341[Figure 341]a c e h d b punctũ e etiã erit cẽtrũ circuli c d. Ducatur enim linea
a e b taliter, ut ſi e nõ ſit cẽtrũ amborũ circulorũ, linea
tñ a e b trãſeat ք ambo cẽtra (qđ poteſt fieri cõtinua-
tis cẽtris ք lineã rectã) & ꝓducta illa ad քipheriã ma-
ioris ſphęrę: hęc itaq; erit diameter circuli a b. Et quo-
niã circuli a b & c d ſunt in eadẽ ſuքficie: ſit ut diame-
ter a b ſecet քipheriã circuli c d in pũctis c & d: eritq́;
recta c d diameter circuli c d. Quia ergo ꝓpter æqui-
diſtantiã circulorũ linea a c eſt æqualis lineæ b d, & li-
nea a e eſt æqualis lineæ e b: remanet linea c e æqualis
lineę e d. Et ꝗ a diameter c d diuiditur ք ęqualia in pũ-
cto e: patet, quòd pũctus e eſt cẽtrũ circuli c d. Si enim
nõ ſit pũctus e centrũ circuli c d: ſit cẽtrũ eius pũctus
h: eritq́; ք definitionẽ circuli linea h d æqualis lineæ a
c: erit ergo linea h a æqualis lineæ h b: ſed linea h a eſt
maior quàm linea a e: ergo h b eſt maior quã linea e b,
pars ſuo toto: quod eſt impoſsibile. Eſt ergo pũctus e
neceſſariò cẽtrum circuli c d. Et quia circulus c d eſt magnus circulus ſuę ſphęræ, patet quòd æqui-
diſtantium ſphęrarum eſt idem cẽtrum: quod eſt propoſitum primum. Et eodem modo de ſphæris
ſecundum totas ſuas ſuperficies contingentibus, eſt demonſtrandum. Lineæ enim ductæ à centro
ad concauum maioris & ad cõuexum minoris, ſunt ęquales: patet ergo illud quod proponebatur.
lia ք unã planã ſuքficiẽ: cõmunis ergo ſectio ſuperficierũ illarũ ſphæ
ricarũ & huius planæ erũt circuli: ſitq́; magnus circulus maioris ſphęræ a b, & centrũ eius e: mino-
ris uerò ſphęrę circulus magnus ſit c d. Dico, quòd idẽ
341[Figure 341]a c e h d b punctũ e etiã erit cẽtrũ circuli c d. Ducatur enim linea
a e b taliter, ut ſi e nõ ſit cẽtrũ amborũ circulorũ, linea
tñ a e b trãſeat ք ambo cẽtra (qđ poteſt fieri cõtinua-
tis cẽtris ք lineã rectã) & ꝓducta illa ad քipheriã ma-
ioris ſphęrę: hęc itaq; erit diameter circuli a b. Et quo-
niã circuli a b & c d ſunt in eadẽ ſuքficie: ſit ut diame-
ter a b ſecet քipheriã circuli c d in pũctis c & d: eritq́;
recta c d diameter circuli c d. Quia ergo ꝓpter æqui-
diſtantiã circulorũ linea a c eſt æqualis lineæ b d, & li-
nea a e eſt æqualis lineæ e b: remanet linea c e æqualis
lineę e d. Et ꝗ a diameter c d diuiditur ք ęqualia in pũ-
cto e: patet, quòd pũctus e eſt cẽtrũ circuli c d. Si enim
nõ ſit pũctus e centrũ circuli c d: ſit cẽtrũ eius pũctus
h: eritq́; ք definitionẽ circuli linea h d æqualis lineæ a
c: erit ergo linea h a æqualis lineæ h b: ſed linea h a eſt
maior quàm linea a e: ergo h b eſt maior quã linea e b,
pars ſuo toto: quod eſt impoſsibile. Eſt ergo pũctus e
neceſſariò cẽtrum circuli c d. Et quia circulus c d eſt magnus circulus ſuę ſphęræ, patet quòd æqui-
diſtantium ſphęrarum eſt idem cẽtrum: quod eſt propoſitum primum. Et eodem modo de ſphæris
ſecundum totas ſuas ſuperficies contingentibus, eſt demonſtrandum. Lineæ enim ductæ à centro
ad concauum maioris & ad cõuexum minoris, ſunt ęquales: patet ergo illud quod proponebatur.
74. Si duæ ſphæræ fuerint æquidiſtãtes, uel ſecundũ totas ſuքficies ſe cõtingẽtes: quæcũ lineæ
ſuք unius earũ ſuperficiẽ perpẽdicularis fuerit, ſuք alterius quo ſuperficiẽ perpẽdicularis erit.
ſuք unius earũ ſuperficiẽ perpẽdicularis fuerit, ſuք alterius quo ſuperficiẽ perpẽdicularis erit.
Iſtud faciliter patet.
Quoniã enim ex præmiſſa tales ſphęræ idẽ centrum habere neceſſariò com-
probantur: ergo per 72 huius linea perpendicularis ſuper alteram iſtarum ſphęrarum, centrũ ipſius
tranſit: ſed centrum ipſius eſt cẽtrum alterius. Ergo per eandem 72 huius ſuper alterius etiã ſphæ-
ræ ſuperficiem illa linea perpendicularis erit: & hoc eſt propoſitum.
probantur: ergo per 72 huius linea perpendicularis ſuper alteram iſtarum ſphęrarum, centrũ ipſius
tranſit: ſed centrum ipſius eſt cẽtrum alterius. Ergo per eandem 72 huius ſuper alterius etiã ſphæ-
ræ ſuperficiem illa linea perpendicularis erit: & hoc eſt propoſitum.
75. Si duæ ſphæræ cẽtra diuerſa habuerint: impoßibile eſt, ut lineæ քpẽdiculares ſuք unius ſu-
perficiẽ, ſint perpẽdiculares ſuper alterius ſuperficiẽ, niſi unatantũ, quæ trãſit cẽtra ambarum.
perficiẽ, ſint perpẽdiculares ſuper alterius ſuperficiẽ, niſi unatantũ, quæ trãſit cẽtra ambarum.
Quocũq;
modo ſe habẽtibus adinuicẽ ſphęris, ſiue extrinſecus ſiue intrinſecus ſe cõtingẽtibus,
uel etiam ſe nõ contingẽtibus, uel etiã ſe adinuicẽ ſecãtibus, ſemper patet ex 72 huius, quoniã linea
tranſiens per cẽtra ipſarũ, eſt perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ utriuſq; ;: aliã quoq; lineã ſuper utriuſq;
ſuperficiẽ perpendicularẽ eſſe, eſt impoſsibile. Si enim ſit poſsibile: ducatur aliqua alia perpẽdicu-
lariter ſuper utriuſq; ſphęræ ſuperficiẽ: palamq́; erit ex eadẽ 72 huius ipſam per utriuſq; centrũ trã-
ſire: quod eſt oppoſitũ hypotheſi. Patet ergo, quoniã nullã aliam lineã, præter eã, quę tranſit centra
ambarũ, perpẽdiculariter duci ſuք utriuſq; ſphęrarũ ſuperficies eſt poſsibile. Et hoc eſt propoſitũ.
uel etiam ſe nõ contingẽtibus, uel etiã ſe adinuicẽ ſecãtibus, ſemper patet ex 72 huius, quoniã linea
tranſiens per cẽtra ipſarũ, eſt perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ utriuſq; ;: aliã quoq; lineã ſuper utriuſq;
ſuperficiẽ perpendicularẽ eſſe, eſt impoſsibile. Si enim ſit poſsibile: ducatur aliqua alia perpẽdicu-
lariter ſuper utriuſq; ſphęræ ſuperficiẽ: palamq́; erit ex eadẽ 72 huius ipſam per utriuſq; centrũ trã-
ſire: quod eſt oppoſitũ hypotheſi. Patet ergo, quoniã nullã aliam lineã, præter eã, quę tranſit centra
ambarũ, perpẽdiculariter duci ſuք utriuſq; ſphęrarũ ſuperficies eſt poſsibile. Et hoc eſt propoſitũ.
76. Si ſphæra ſphærã intrinſec9 aut extrinſec9 cõtingat: in uno tãtũ pũcto cõtingere eſt neceſſe.
Si enim ſphęræ contingẽtes ſe intrinſecus, nõ in puncto ſe contingant:
neceſſe eſt circulos ſuos
maiores a dinuicem applicatos non ſe in puncto contingere: quod eſt contra 13 p 3, & impoſsibile.
Quòd ſi ſphęræ extrinſecus ſe contingentes, non ſe contingant in puncto: etiam hoc eſt contra na-
turam circulorum extrinſecus ſe contingentium, & contra eandẽ 13 p 3. Poteſt & hoc aliter demon-
ſtrari. Si enim inter illas ſphęras, quę ſe extrinſecus contingunt, imaginata fuerit ſuperficies plana:
palàm ex 71 huius, quoniam utraq; illarum ſphęrarum illã ſuperficiem planam contingit in puncto.
Ergo & ſeinuicem in puncto contingẽt: & propinquior eſt utriq; ſphærarum ipſa plana ſuperficies
interpoſita, quàm ſphæræ inter ſe. Et hoc eſt propoſitum.
maiores a dinuicem applicatos non ſe in puncto contingere: quod eſt contra 13 p 3, & impoſsibile.
Quòd ſi ſphęræ extrinſecus ſe contingentes, non ſe contingant in puncto: etiam hoc eſt contra na-
turam circulorum extrinſecus ſe contingentium, & contra eandẽ 13 p 3. Poteſt & hoc aliter demon-
ſtrari. Si enim inter illas ſphęras, quę ſe extrinſecus contingunt, imaginata fuerit ſuperficies plana:
palàm ex 71 huius, quoniam utraq; illarum ſphęrarum illã ſuperficiem planam contingit in puncto.
Ergo & ſeinuicem in puncto contingẽt: & propinquior eſt utriq; ſphærarum ipſa plana ſuperficies
interpoſita, quàm ſphæræ inter ſe. Et hoc eſt propoſitum.
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib