33634VITELLONIS OPTICAE
tio, ſicut angulorum contentorum ſub lineis à centro d ad ipſorum terminos productis ad 4 rectos
ſuperficiales per 33 p 6. Patet ergo propoſitum. Et etiam poteſt patere ex hoc, quoniam ſicut ille an-
gulus correſpõdet illi parti ſuperficiei ſphæricæ: ſic reſiduum 8 ſolidorum angulorũ rectorũ totali
reſiduo ſuperficiei illius ſphæræ reſpondet: ergo per 16 p 5 erit permutatim anguli ad angulum, ſi-
cut ſuperficiei ad ſuperficiem, & per 18 p 5 coniunctim, & per 5 huius è contrario patet propoſitũ.
ſuperficiales per 33 p 6. Patet ergo propoſitum. Et etiam poteſt patere ex hoc, quoniam ſicut ille an-
gulus correſpõdet illi parti ſuperficiei ſphæricæ: ſic reſiduum 8 ſolidorum angulorũ rectorũ totali
reſiduo ſuperficiei illius ſphæræ reſpondet: ergo per 16 p 5 erit permutatim anguli ad angulum, ſi-
cut ſuperficiei ad ſuperficiem, & per 18 p 5 coniunctim, & per 5 huius è contrario patet propoſitũ.
88. Si inter duas quartas circulorũ æqualium in ſphæræ ſuperficie ſe ſecantium, ad extremi-
tates arcuum æqualium lineæ rectæ ducantur: illæ erũt æquidiſtantes: & remotior à puncto ſe-
ctionis erit longior. È 14 p 12 ele. in Campano.
tates arcuum æqualium lineæ rectæ ducantur: illæ erũt æquidiſtantes: & remotior à puncto ſe-
ctionis erit longior. È 14 p 12 ele. in Campano.
Sint arcus magnorum circulorũ in ſuperficie alicuius ſphæræ ſe ſecantiũ, qui a b c & a d e, ſecan-
tes ſe in puncto a: in quibus ſignentur arcus æquales, ita, ut arcus a b ſit æqualis arcui a d, & arcus b
c ſit æqualis arcui d e, & cõtinuentur lineæ rectę, quę
347[Figure 347]a b d c e ſint b d & c e. Dico, quòd lineæ c e & b d ſunt æquidi-
ſtantes: & quòd linea c e eſt maior ꝗ̃ linea b d. Quia
itaq; arcus a b eſt æqualis arcui a d: palàm ք 29 p 3 &
per 65 huius, quoniã punctus a eſt polus circuli trãſ-
euntis per pũcta d & b: ideo quòd rectę lineę, quę a d
& a b, ſunt æquales: & ſimiliter eſt de circulo trãſeũte
per pũcta c & e. Circũducatur ergo ſuperficiei ſphęrę
per puncta d, b circulus erectus ſuper diametrũ ſphæ
rę per 69 huius, & ſimiliter per puncta e & c. Erũt er-
go illi circuli æquidiſtãtes per 14 p 11. Erunt ergo li-
neæ c e & b d æquidiſtantes per 16 p 11, imaginata ſu-
perficie plana, in qua ſunt puncta b, c, d, e, circulos ſe-
cundum illas lineas ſecãte. Sed & linea c e eſt maior
quàm linea d b. Si enim ſit æqualis, cũ ſit æquidiſtãs:
palàm, quia circuli a b c & a e d æquidiſtantes erunt:
quod eſt cõtra hypotheſim: ſupponũtur enim ſe ſeca
re in puncto a: aut ſequetur circulum tranſeuntẽ per
puncta b & d æqualem fieri circulo tranſeunti per puncta c & d, quorum circulorum polus eſt pun
ctum a: quod iterum eſt impoſsibile. Et ſi linea c e ſit minor quàm linea b d, concurrent circuli a b c
& a d e ultra lineam c e potius quàm ultra lineam b d. Eſt ergo linea b d remotior à puncto ſectiõis.
Quod eſt propoſitum hypotheſis.
tes ſe in puncto a: in quibus ſignentur arcus æquales, ita, ut arcus a b ſit æqualis arcui a d, & arcus b
c ſit æqualis arcui d e, & cõtinuentur lineæ rectę, quę
347[Figure 347]a b d c e ſint b d & c e. Dico, quòd lineæ c e & b d ſunt æquidi-
ſtantes: & quòd linea c e eſt maior ꝗ̃ linea b d. Quia
itaq; arcus a b eſt æqualis arcui a d: palàm ք 29 p 3 &
per 65 huius, quoniã punctus a eſt polus circuli trãſ-
euntis per pũcta d & b: ideo quòd rectę lineę, quę a d
& a b, ſunt æquales: & ſimiliter eſt de circulo trãſeũte
per pũcta c & e. Circũducatur ergo ſuperficiei ſphęrę
per puncta d, b circulus erectus ſuper diametrũ ſphæ
rę per 69 huius, & ſimiliter per puncta e & c. Erũt er-
go illi circuli æquidiſtãtes per 14 p 11. Erunt ergo li-
neæ c e & b d æquidiſtantes per 16 p 11, imaginata ſu-
perficie plana, in qua ſunt puncta b, c, d, e, circulos ſe-
cundum illas lineas ſecãte. Sed & linea c e eſt maior
quàm linea d b. Si enim ſit æqualis, cũ ſit æquidiſtãs:
palàm, quia circuli a b c & a e d æquidiſtantes erunt:
quod eſt cõtra hypotheſim: ſupponũtur enim ſe ſeca
re in puncto a: aut ſequetur circulum tranſeuntẽ per
puncta b & d æqualem fieri circulo tranſeunti per puncta c & d, quorum circulorum polus eſt pun
ctum a: quod iterum eſt impoſsibile. Et ſi linea c e ſit minor quàm linea b d, concurrent circuli a b c
& a d e ultra lineam c e potius quàm ultra lineam b d. Eſt ergo linea b d remotior à puncto ſectiõis.
Quod eſt propoſitum hypotheſis.
89. Omnes lineæ longitudinis unius pyramidis rotundæ, ſunt æquales: & cum ſemidiametris
baſis æquales, ſed acutos angulos continentes. Ex quo patet omnem pũctum uerticis pyramidis
eſſe polum circuli ſuæ b a ſis: omneḿ lineam longitudinis eſſe in eadẽ ſuperficie cum axe: ipſum
quo axem centrum circuli baſis orthogonaliter attingere. È 18 defin. 11 element.
baſis æquales, ſed acutos angulos continentes. Ex quo patet omnem pũctum uerticis pyramidis
eſſe polum circuli ſuæ b a ſis: omneḿ lineam longitudinis eſſe in eadẽ ſuperficie cum axe: ipſum
quo axem centrum circuli baſis orthogonaliter attingere. È 18 defin. 11 element.
Quoniã enim per principium 11 Euclidis pyramis rotunda fit per trãſitum trianguli rectanguli,
alterutro ſuorum laterum rectum angulum continentiũ fixo, donec
348[Figure 348]a d b c ad locum ſuum, unde in cœpit, redeat, triangulo ipſo circumducto:
qui triangulus, ſi fuerit duorum laterum æqualium: & unum laterũ
æqualium rectum angulum continentium fuerit fixum, cauſſabitur
pyramis rectãgula: ideo, quòd angulus duplicati ſui trianguli ad uer
ticem pyramidis eſt rectus per 5 & 32 p 1. Et ſi fixũ latus fuerit minus
latere moto, erit pyramis amblygonia: quoniã per 19 p 1 angulus ad
uerticem fit obtuſus. Et ſi latus fixum fuerit maius latere moto, erit
pyramis oxygonia: quia per eandem 19 p 1 angulus eius ad uerticem
remanet acutus, adiuuãte ſemper 32 p 1. Sic ergo diuerſantur formæ
pyramidum ſecundum diuerſitatem proportionis lateris fixi ad alte
rum latus motum rectum angulum cõtinens cum fixo. Et quia latus
ſubtenſum angulo recto, cauſſat omnes lineas longitudinis in quali
bet pyramide: palàm, quòd omnes lineæ longitudinis totius rotun-
dæ pyramidis uni lineæ ſunt æquales ei, ſcilicet q̃ in trigono rectan-
gulo opponitur angulo recto. Ergo & oẽs inter ſe ſunt æquales. Si
ergo trigonũ orthogoniũ cauſſans pyramidẽ, ſit a b c, cuius angulus
a b c ſit rectus: erit per 32 p 1 angulus a c b acutus: & eſt a c b angulus,
cui omnes anguli cõtenti à lineis lõgitudinis & ſemidiametris baſis,
ſunt æquales: & hoc proponebatur. Patet etiã ex ijs, quoniã punctus
uerticis pyramidis cuiuslibet eſt polus circuli ſuę baſis per 65 huius. Et quoniã linea a c eſt in eadẽ
ſuperficie trigona cum linea a b, patet, quoniam omnes lineæ longitudinis ſuntin eadem ſuperficie
cum axe a b. Et quoniam linea b c motu ſuo deſcribit circulum baſis, patet, quòd axis a b centrum
circuli baſis orthogonaliter attingit per 8 p 1: quia ex circuli definitione & prima parte præſen-
alterutro ſuorum laterum rectum angulum continentiũ fixo, donec
348[Figure 348]a d b c ad locum ſuum, unde in cœpit, redeat, triangulo ipſo circumducto:
qui triangulus, ſi fuerit duorum laterum æqualium: & unum laterũ
æqualium rectum angulum continentium fuerit fixum, cauſſabitur
pyramis rectãgula: ideo, quòd angulus duplicati ſui trianguli ad uer
ticem pyramidis eſt rectus per 5 & 32 p 1. Et ſi fixũ latus fuerit minus
latere moto, erit pyramis amblygonia: quoniã per 19 p 1 angulus ad
uerticem fit obtuſus. Et ſi latus fixum fuerit maius latere moto, erit
pyramis oxygonia: quia per eandem 19 p 1 angulus eius ad uerticem
remanet acutus, adiuuãte ſemper 32 p 1. Sic ergo diuerſantur formæ
pyramidum ſecundum diuerſitatem proportionis lateris fixi ad alte
rum latus motum rectum angulum cõtinens cum fixo. Et quia latus
ſubtenſum angulo recto, cauſſat omnes lineas longitudinis in quali
bet pyramide: palàm, quòd omnes lineæ longitudinis totius rotun-
dæ pyramidis uni lineæ ſunt æquales ei, ſcilicet q̃ in trigono rectan-
gulo opponitur angulo recto. Ergo & oẽs inter ſe ſunt æquales. Si
ergo trigonũ orthogoniũ cauſſans pyramidẽ, ſit a b c, cuius angulus
a b c ſit rectus: erit per 32 p 1 angulus a c b acutus: & eſt a c b angulus,
cui omnes anguli cõtenti à lineis lõgitudinis & ſemidiametris baſis,
ſunt æquales: & hoc proponebatur. Patet etiã ex ijs, quoniã punctus
uerticis pyramidis cuiuslibet eſt polus circuli ſuę baſis per 65 huius. Et quoniã linea a c eſt in eadẽ
ſuperficie trigona cum linea a b, patet, quoniam omnes lineæ longitudinis ſuntin eadem ſuperficie
cum axe a b. Et quoniam linea b c motu ſuo deſcribit circulum baſis, patet, quòd axis a b centrum
circuli baſis orthogonaliter attingit per 8 p 1: quia ex circuli definitione & prima parte præſen-
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib