34038VITELLONIS OPTICAE
æquidiſtans baſi fieri poterit per 31 p 1, ducta ab uno puncto primæ ſectiõis linea æquidiſtante alicui
linearum baſis pyramidis, & à terminis illius alijs lineis æquidiſtantibus reliquis lineis baſis produ
ctis. ) Ex hoc autem accidit impoſsibile, quoniã ſequitur ex hypotheſi angulum extrinſecum pro-
pter trigonorum ſimilitudinem æqualem fieri intrinſeco: cum ab uno puncto exeant duæ lineæ æ-
quales angulos cõtinentes angulis illis, qui fiunt per lineã aliquã longitudinis & per lineam aliquã
peripherię baſis. Patet ergo propoſitum in pyramidibus. Et eodem modo demonſtrandũ eſt in co-
lumnis lateratis, & facilius propter æqualitatem linearum per 34 primi.
linearum baſis pyramidis, & à terminis illius alijs lineis æquidiſtantibus reliquis lineis baſis produ
ctis. ) Ex hoc autem accidit impoſsibile, quoniã ſequitur ex hypotheſi angulum extrinſecum pro-
pter trigonorum ſimilitudinem æqualem fieri intrinſeco: cum ab uno puncto exeant duæ lineæ æ-
quales angulos cõtinentes angulis illis, qui fiunt per lineã aliquã longitudinis & per lineam aliquã
peripherię baſis. Patet ergo propoſitum in pyramidibus. Et eodem modo demonſtrandũ eſt in co-
lumnis lateratis, & facilius propter æqualitatem linearum per 34 primi.
100. Omnis ſuperficiei planæ ſecantis pyramidem uel columnam rotundam trans axem æ-
quidiſtanter baſi, & curuæ ſuperficiei pyramidis uel columnæ communis ſectio eſt circulus: & ſi
illa ſectio eſt circulus, ſuperficies ſecans eſt æquidiſtans baſi. Ex quo patet, quòd omnis plana ſu-
perficies æquidiſtanter baſi ſecans pyramidem uel columnam, nouam pyramidem conſtituit uel
columnam. 4 theor. 1 Conicorum Apollonij, & 5 the. Cylindricorum Sereni.
quidiſtanter baſi, & curuæ ſuperficiei pyramidis uel columnæ communis ſectio eſt circulus: & ſi
illa ſectio eſt circulus, ſuperficies ſecans eſt æquidiſtans baſi. Ex quo patet, quòd omnis plana ſu-
perficies æquidiſtanter baſi ſecans pyramidem uel columnam, nouam pyramidem conſtituit uel
columnam. 4 theor. 1 Conicorum Apollonij, & 5 the. Cylindricorum Sereni.
Sit pyramis rotũda a b c, cuius uertex a:
diameter baſis b c, & centrũ baſis d:
ſecetq́;
ipſam ſuperfi
cies plana æquidiſtanter baſi: & ſit cõmunis ſectio ſuperficiei illius & ſuperficiei conicæ pyramidis
linea e f g. Dico, quòd linea e f g eſt peripheria circuli. Secet enim alia ſuperficies plana pyramidem
per uerticem & per axem, qui eſt a d. Cõmunis itaq; illius ſuperficiei & pyramidis ſectio eſt trigonũ
(quod ſit a b c) per 90 huius: ſecetq́; ſuperficies e f g axem a d in puncto h: & trigonum a b c ſecet ſu-
perficiem e f g in linea e h f. Erit ergo linea e h æquidiſtans lineæ b d
354[Figure 354]a e h f g b d c per 16 p 11: eſt ergo per 29 p 1 & 4 p 6 proportio lineæ b a ad e a, ſi-
cut lineæ c a ad lineam a f: ergo per 7 huius erit euerſim proportio
lineę b a ad lineam b e, ſicut lineę c a ad lineam c f: ergo per 16 p 5 erit
permutatim proportio lineę b a ad lineam c a, ſicut lineę b e ad lineã
c f. Sed linea b a eſt ęqualis ipſi c a per 89 huius: ergo erit linea b e æ-
qualis lineę c f. Ducantur itaq; lineæ d e, d f. Et quoniã per 89 huius,
anguli, quos continent lineę longitudinis pyramidum cum ſemidia
metris baſium, ſunt æquales: palàm per 4 p 1, quia linea d e eſt æqua-
lis lineæ d f: & angulus e d b eſt æqualis angulo f d c. Quia uerò an-
gulus h d b æqualis angulo h d c: quoniã ambo ſunt recti: & angulus
e d b æqualis angulo f d c: remanet angulus e d h æqualis angulo f d
h: quoniã ſunt reſiduę partes rectorũ ſupér angulos æquales. Palàm
ergo per 4 p 1 quoniã linea e h eſt ęquàlis lineę h f. Similiterq́; ductis
lineis h g & d g, & cõpleta, prout in præmiſsis, figuratione, declara-
bitur, quoniã linea f h eſt æqualis lineæ g h: ſunt enim trigona æqui-
angula, ut patet intendenti. Ergo per 9 p 3 punctum h eſt centrũ cir-
culi. Eſt ergo e f g linea circũferentia circuli. Quod eſt propoſitũ. Et
ſi ſectio e f g eſt circulus, palàm quoniã ſuperficies plana ſecundum
illum circulum ſecans pyramidem, eſt æquidiſtans baſi: erit enim e a
f pyramis, cuius axis a h, & centrum baſis h: erit itaq; linea longitudinis, quę eſt e a, æqualis lineę f a
per 89 huius: ſed & linea b a æqualis eſt ipſi c a: remanet ergo linea b e æqualis ipſi e f. Erit quoq; li-
nea e d æqualis lineę f d per 4 p 1. Et quia trigona e h d & f h d ſunt æqualia inter ſe latera habentia:
ergo per 8 p 1 angulus e h d eſt æqualis angulo f h d. Ergo per definitionem lineæ ſuper ſuperficiem
erectę patet, quod linea d h erecta eſt ſuper ſuperficiem e f g: ſed eadem linea h d eſt erecta ſuper ba-
ſim pyramidis, cuius diameter eſt b c. Ergo per 14 p 11 ſuperficies e f g eſt æquidiſtans baſi datę pyra
midis. Quod eſt propoſitum: quoniam ſimpliciter ſecundum præmiſſum in pyramidibus modum,
in columnis quoq; rotundis poteſt demonſtrari, & propter æquidiſtantiam linearum longitudinis
columnę facilitas accedit demõſtrationi. Fiunt enim lineę d f, d g, d e æquales: ergo & lineę h e, h g,
h f: eritq́; ſectio e g f circulus per 9 p 3. Et conuerſa ſimpliciter patet per 14 p 11, ut prius. Et hoc pro-
ponebatur. Per hæc itaq; patet manifeſtè, quoniam omnis plana ſuperficies ſecans quamcunq; py-
ramidem ęquidiſtanter ſuę baſi, nouã conſtituit pyramidem, cuius in pyramide rotunda, baſis eſt
circulus, & in laterata pyramide ſuperficies ſimilis baſi illius ſectę pyramidis, ut patet per 99 huius.
Semper tamen uertex illius pyramidis abſciſſę eſt idem cum uertice prioris, & axis abſciſſę, pars a-
xis ipſius prioris datę: baſis quoq; æquidiſtat baſi. Similiter quoq; fit in columnis rotundis uel late
ratis: ſuperficies enim ęquidiſtanter baſibus ſecans quamcunq; columnam, nouam efficit columnã
rotundam uel lateratam: imò duas, ſcilicet abſciſſam & ipſam reſiduam: quod non accidit in pyrami
dibus. Patet ergo totum, quod proponebatur.
cies plana æquidiſtanter baſi: & ſit cõmunis ſectio ſuperficiei illius & ſuperficiei conicæ pyramidis
linea e f g. Dico, quòd linea e f g eſt peripheria circuli. Secet enim alia ſuperficies plana pyramidem
per uerticem & per axem, qui eſt a d. Cõmunis itaq; illius ſuperficiei & pyramidis ſectio eſt trigonũ
(quod ſit a b c) per 90 huius: ſecetq́; ſuperficies e f g axem a d in puncto h: & trigonum a b c ſecet ſu-
perficiem e f g in linea e h f. Erit ergo linea e h æquidiſtans lineæ b d
354[Figure 354]a e h f g b d c per 16 p 11: eſt ergo per 29 p 1 & 4 p 6 proportio lineæ b a ad e a, ſi-
cut lineæ c a ad lineam a f: ergo per 7 huius erit euerſim proportio
lineę b a ad lineam b e, ſicut lineę c a ad lineam c f: ergo per 16 p 5 erit
permutatim proportio lineę b a ad lineam c a, ſicut lineę b e ad lineã
c f. Sed linea b a eſt ęqualis ipſi c a per 89 huius: ergo erit linea b e æ-
qualis lineę c f. Ducantur itaq; lineæ d e, d f. Et quoniã per 89 huius,
anguli, quos continent lineę longitudinis pyramidum cum ſemidia
metris baſium, ſunt æquales: palàm per 4 p 1, quia linea d e eſt æqua-
lis lineæ d f: & angulus e d b eſt æqualis angulo f d c. Quia uerò an-
gulus h d b æqualis angulo h d c: quoniã ambo ſunt recti: & angulus
e d b æqualis angulo f d c: remanet angulus e d h æqualis angulo f d
h: quoniã ſunt reſiduę partes rectorũ ſupér angulos æquales. Palàm
ergo per 4 p 1 quoniã linea e h eſt ęquàlis lineę h f. Similiterq́; ductis
lineis h g & d g, & cõpleta, prout in præmiſsis, figuratione, declara-
bitur, quoniã linea f h eſt æqualis lineæ g h: ſunt enim trigona æqui-
angula, ut patet intendenti. Ergo per 9 p 3 punctum h eſt centrũ cir-
culi. Eſt ergo e f g linea circũferentia circuli. Quod eſt propoſitũ. Et
ſi ſectio e f g eſt circulus, palàm quoniã ſuperficies plana ſecundum
illum circulum ſecans pyramidem, eſt æquidiſtans baſi: erit enim e a
f pyramis, cuius axis a h, & centrum baſis h: erit itaq; linea longitudinis, quę eſt e a, æqualis lineę f a
per 89 huius: ſed & linea b a æqualis eſt ipſi c a: remanet ergo linea b e æqualis ipſi e f. Erit quoq; li-
nea e d æqualis lineę f d per 4 p 1. Et quia trigona e h d & f h d ſunt æqualia inter ſe latera habentia:
ergo per 8 p 1 angulus e h d eſt æqualis angulo f h d. Ergo per definitionem lineæ ſuper ſuperficiem
erectę patet, quod linea d h erecta eſt ſuper ſuperficiem e f g: ſed eadem linea h d eſt erecta ſuper ba-
ſim pyramidis, cuius diameter eſt b c. Ergo per 14 p 11 ſuperficies e f g eſt æquidiſtans baſi datę pyra
midis. Quod eſt propoſitum: quoniam ſimpliciter ſecundum præmiſſum in pyramidibus modum,
in columnis quoq; rotundis poteſt demonſtrari, & propter æquidiſtantiam linearum longitudinis
columnę facilitas accedit demõſtrationi. Fiunt enim lineę d f, d g, d e æquales: ergo & lineę h e, h g,
h f: eritq́; ſectio e g f circulus per 9 p 3. Et conuerſa ſimpliciter patet per 14 p 11, ut prius. Et hoc pro-
ponebatur. Per hæc itaq; patet manifeſtè, quoniam omnis plana ſuperficies ſecans quamcunq; py-
ramidem ęquidiſtanter ſuę baſi, nouã conſtituit pyramidem, cuius in pyramide rotunda, baſis eſt
circulus, & in laterata pyramide ſuperficies ſimilis baſi illius ſectę pyramidis, ut patet per 99 huius.
Semper tamen uertex illius pyramidis abſciſſę eſt idem cum uertice prioris, & axis abſciſſę, pars a-
xis ipſius prioris datę: baſis quoq; æquidiſtat baſi. Similiter quoq; fit in columnis rotundis uel late
ratis: ſuperficies enim ęquidiſtanter baſibus ſecans quamcunq; columnam, nouam efficit columnã
rotundam uel lateratam: imò duas, ſcilicet abſciſſam & ipſam reſiduam: quod non accidit in pyrami
dibus. Patet ergo totum, quod proponebatur.
101. In qualibet columna uel pyramide à dato in eius ſuperficie puncto, lineam longitudinis
ducere. 7 theo. Cylindricorum Sereni.
ducere. 7 theo. Cylindricorum Sereni.
Imaginetur enim ſuperficies plana ſecãs pyramidem uel columnã trans illius punctum & trans
axem: quod fiet, ſi à puncto dato ducatur linea recta ſuper axẽ: illa ergo linea & axis ſunt in una ſu-
perficie per 2 p 11: quę ſuperficies ſecabit pyramidem ſecundum lineam longitudinis per illud pun-
ctum tranſeuntem per 90 huius: columnam quoq; per 92 huius. Patet ergo propoſitum.
axem: quod fiet, ſi à puncto dato ducatur linea recta ſuper axẽ: illa ergo linea & axis ſunt in una ſu-
perficie per 2 p 11: quę ſuperficies ſecabit pyramidem ſecundum lineam longitudinis per illud pun-
ctum tranſeuntem per 90 huius: columnam quoq; per 92 huius. Patet ergo propoſitum.
102. À dato puncto, ſiue in axe, ſiue in ſuperficie curua datæ pyramidis rotundæ uel colũnæ,
circulum circumducere.
circulum circumducere.
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib