6545LIBER PRIMVS.
Dico has lineas k N, L M, rectas eſſe, ſeq́ mutuo ſecare in centro E.
Cum enim circulus maximus
A N C k, per centrum E, tranſeat, per propoſ. 6. lib. 1. Theodoſii, ſecabit vtique conicas ſuperfi-
cies E F G, E H I, per verticem E, atque adeo per axem A C, quòd idem circulus A N C K, per po-
los mundi A, C, tranſeat. Quare communes ſectiones circuli, & conorum, nempe E k L, E M N,
triangula erunt, per propoſ. 3. lib. 1. Apoll. ac propterea E k, E L, E M, E N, communes ſectiones
ciuídem circuli, & conicarum ſuperficierum, rectæ lineæ erunt. Dico adhuc rectas E K, E N, & EL,
E M, in directum eſſe conſtitutas.
48[Figure 48]
Cum enim duo latera E C, E L, trian-
guli E C L, (coniunctis prius rectis
A M, C L) ęqualia ſint duobus lateri-
1110 bus E A, E M, trianguli E A M, quòd
omnia ducantur è centro ſphæræ ad
eius ſuperficiem: ſint autem & baſes
C L, A M, æquales, ex theorem. 2.
ſcholij propoſ. 21. lib. 1. Theodoſii,
propterea quòd circuli F G, HI, ſunt
æquales; erunt anguli C E L, A E M,
æquales: Ac proinde cum A C, ſit re-
228. primi. cta linea, nempeaxis, conſtituent quo-
que rectæ E L, E M, per ea, quæ ad pro-
3320 poſ. 15. lib. 1. Euclidis ex Proclo oſten-
dimus, vnam lineam rectam L M. Eſt
igitur linea L M, communis nimirum
ſectio conicarum ſuperficierum, & cir
culi A N C K, recta. Eademq́ ratione
& k N, recta erit linea, nec non & com
munes ſectiones reliquorum circulo-
rum horariorum, & dictarum ſuper-
ficierum conicarum, ſecantes ſeſe mutuo in centro E, per quod tranſeunt. Quod primo loco
erat oſtendendum.
4430A N C k, per centrum E, tranſeat, per propoſ. 6. lib. 1. Theodoſii, ſecabit vtique conicas ſuperfi-
cies E F G, E H I, per verticem E, atque adeo per axem A C, quòd idem circulus A N C K, per po-
los mundi A, C, tranſeat. Quare communes ſectiones circuli, & conorum, nempe E k L, E M N,
triangula erunt, per propoſ. 3. lib. 1. Apoll. ac propterea E k, E L, E M, E N, communes ſectiones
ciuídem circuli, & conicarum ſuperficierum, rectæ lineæ erunt. Dico adhuc rectas E K, E N, & EL,
E M, in directum eſſe conſtitutas.
guli E C L, (coniunctis prius rectis
A M, C L) ęqualia ſint duobus lateri-
1110 bus E A, E M, trianguli E A M, quòd
omnia ducantur è centro ſphæræ ad
eius ſuperficiem: ſint autem & baſes
C L, A M, æquales, ex theorem. 2.
ſcholij propoſ. 21. lib. 1. Theodoſii,
propterea quòd circuli F G, HI, ſunt
æquales; erunt anguli C E L, A E M,
æquales: Ac proinde cum A C, ſit re-
228. primi. cta linea, nempeaxis, conſtituent quo-
que rectæ E L, E M, per ea, quæ ad pro-
3320 poſ. 15. lib. 1. Euclidis ex Proclo oſten-
dimus, vnam lineam rectam L M. Eſt
igitur linea L M, communis nimirum
ſectio conicarum ſuperficierum, & cir
culi A N C K, recta. Eademq́ ratione
& k N, recta erit linea, nec non & com
munes ſectiones reliquorum circulo-
rum horariorum, & dictarum ſuper-
ficierum conicarum, ſecantes ſeſe mutuo in centro E, per quod tranſeunt. Quod primo loco
erat oſtendendum.
SINT rurſus circuli horarum ab ortu, vel occaſu K R N Q, L P M O, tangentes parallelos
F G, H I, in punctis K, L, M, N, in quibus eoſdem ſecat circulus horarius à meridie, vel media no-
cte A N C K, vt propoſ. 9. huius lib. eſt demonſtratum. Dico eos conicas ſuperficies tangere in
lineis rectis K N, L M, in quibus eaſdem ſuperficies ſecari demonſtrauimus à circulo A N C k.
Sit enim recta S T, communis ſectio planorum, in quibus circuli F G, L M, quæ per definitionem
lib. 2. Theodoſii, vtrumque circulum tanget. Et quia circulus L P M O, maximus, per propoſ. 6.
lib. 1. Theodoſii, tranſit per centrum ſphæræ E, manifeſtum eſt, ipſum tranſire per rectam L M,
quæ ex L, in M, per centrum E, extenditur: alioqui, ducta in circulo L P M O, recta ex L, in M,
clauderent duæ rectæ lineæ, nempe ea, quæ modo ducta eſt, & L M, ſuperficiem, quod eſt abſur-
dum. Dico iam, circulum L P M O, conicas ſuperficies tangere in recta L M, nullo autem modo
5540 ſecare. Si namque eas ſecaret, fierent communes ſectiones, triangula, per propoſ. 3. lib. 1. Apollo-
nij, quorum baſes in parallelis F G, H I, exiſterent, quandoquidem circulus L P M O, per verticẽ
E, conicarum ſuperficierum tranſit. Igitur communis ſectio planorum, in quibus circuli F G,
L M, ſunt, circulum F G, ſecaret, faciens nimirum baſim trianguli in circulo F G, quod eſt abſur-
dum. Tangit enim ipſum, vt dictum eſt, ex definitione lib. 2. Theodoſii. Tangit ergo circulus
L P M O, conicas ſuperficies E F G, E H I, in recta L M, eademq́; eſt ratio in cæteris, quod ſecun-
do loco propoſitum erat. Circuli igitur horarũ à meridie, vel media nocte, ſecant ſuperficies, & c.
Quod erat demonſtrandum.
F G, H I, in punctis K, L, M, N, in quibus eoſdem ſecat circulus horarius à meridie, vel media no-
cte A N C K, vt propoſ. 9. huius lib. eſt demonſtratum. Dico eos conicas ſuperficies tangere in
lineis rectis K N, L M, in quibus eaſdem ſuperficies ſecari demonſtrauimus à circulo A N C k.
Sit enim recta S T, communis ſectio planorum, in quibus circuli F G, L M, quæ per definitionem
lib. 2. Theodoſii, vtrumque circulum tanget. Et quia circulus L P M O, maximus, per propoſ. 6.
lib. 1. Theodoſii, tranſit per centrum ſphæræ E, manifeſtum eſt, ipſum tranſire per rectam L M,
quæ ex L, in M, per centrum E, extenditur: alioqui, ducta in circulo L P M O, recta ex L, in M,
clauderent duæ rectæ lineæ, nempe ea, quæ modo ducta eſt, & L M, ſuperficiem, quod eſt abſur-
dum. Dico iam, circulum L P M O, conicas ſuperficies tangere in recta L M, nullo autem modo
5540 ſecare. Si namque eas ſecaret, fierent communes ſectiones, triangula, per propoſ. 3. lib. 1. Apollo-
nij, quorum baſes in parallelis F G, H I, exiſterent, quandoquidem circulus L P M O, per verticẽ
E, conicarum ſuperficierum tranſit. Igitur communis ſectio planorum, in quibus circuli F G,
L M, ſunt, circulum F G, ſecaret, faciens nimirum baſim trianguli in circulo F G, quod eſt abſur-
dum. Tangit enim ipſum, vt dictum eſt, ex definitione lib. 2. Theodoſii. Tangit ergo circulus
L P M O, conicas ſuperficies E F G, E H I, in recta L M, eademq́; eſt ratio in cæteris, quod ſecun-
do loco propoſitum erat. Circuli igitur horarũ à meridie, vel media nocte, ſecant ſuperficies, & c.
Quod erat demonſtrandum.
THEOREMA 12. PROPOSITIO 14.
665077Lineæ horarum à mer. uel med.
noc. ſecant ſe-
ct@ones coni-
cas, quas pla-
num horologii
in conis, quorú
baſes ſunt pa-
rall elus ſemper
apparentiũ ma-
ximus, & maxi-
mus ſemper la-
tentium efficit,
in punctis, in
quibus eaſdem
tangunt linez
horarum ab or.
uel occ.
LINEAE horarum à meridie, vel media nocte ſecant communes
ſectiones plani horologij cuiuſcunque, & ſuperficierum conicarum,
quarum vertex eſt centrum mundi, baſes autem duo paralleli tangentes
Horizontem, quorum vnus eſt maximus ſemper apparentiũ, alter vero
maximus ſemper latentium: In punctis autem ſectionum eaſdem com-
munes ſectiones tangunt lineæ horarum ab ortu, vel occaſu.
ſectiones plani horologij cuiuſcunque, & ſuperficierum conicarum,
quarum vertex eſt centrum mundi, baſes autem duo paralleli tangentes
Horizontem, quorum vnus eſt maximus ſemper apparentiũ, alter vero
maximus ſemper latentium: In punctis autem ſectionum eaſdem com-
munes ſectiones tangunt lineæ horarum ab ortu, vel occaſu.
QVONIAM circuli horarum à meridie, vel media nocte ſecant ſuperficies has conicas