4626
velvt AB ad BC, vt ſuperius oſtendimus:
&
permutan-
21[Figure 21]
do, &
per conuerſionem rationis, AD ad DB vt DB ad
DC. Quod in prima figura oſtendendum erat.
DC. Quod in prima figura oſtendendum erat.
In ſecunda verò:
cum ſit AB ad BC, vt BC ad BE, erit
diuidendo, & permutando, AC ad CE vt BC ad BE, vel
vt AB ad BC, ex conſtructione: quod ſerua.
diuidendo, & permutando, AC ad CE vt BC ad BE, vel
vt AB ad BC, ex conſtructione: quod ſerua.
Et cum ſit AD ad DC vt quadratũ AB ad BC, &
qua-
dratum AB ad BC vt linea AB ad BE, ex conſtructione,
erit AD ad DC vt AB ad BE, & per conuerſionem ratio-
nis, permutando, conuertendo, diuidendo, & iterum
conuertendo AD ad DB, vt AC ad CE, vel vt AB ad
BC, vt modò oſtenſum fuit, & permutando, conuerten-
do, per conuerſionem rationis, & diuidendo AD ad DB vt BD ad DC. Quod
erat in ſecunda demonſtrandum.
dratum AB ad BC vt linea AB ad BE, ex conſtructione,
erit AD ad DC vt AB ad BE, & per conuerſionem ratio-
nis, permutando, conuertendo, diuidendo, & iterum
conuertendo AD ad DB, vt AC ad CE, vel vt AB ad
BC, vt modò oſtenſum fuit, & permutando, conuerten-
do, per conuerſionem rationis, & diuidendo AD ad DB vt BD ad DC. Quod
erat in ſecunda demonſtrandum.
ALITER idem breuiùs.
Ijſdem poſitis:
dico iterùm vt in præcedenti.
DEſcribatur ſuper AD ſemicirculus AED, &
per Cerigatur CE diame-
tro AD perpendicularis, iunganturque DE, AE, & BE, quæ produ-
cta in ſecuuda figura, occurrat cum AF ipſi CE parallela in puncto F.
tro AD perpendicularis, iunganturque DE, AE, & BE, quæ produ-
cta in ſecuuda figura, occurrat cum AF ipſi CE parallela in puncto F.
Iam in vtraque figura, cum
22[Figure 22]
ſit per hypoteſim quadratum
AB ad BC, vt recta AD ad DC,
vel vt quadratum AD ad DE,
vel vt quadratum AE ad EC,
ob triangulorum ſimilitudiné,
erit recta AB ad BC, vt recta
AE ad EC: quare in prima fi-
gura erit angulus AEB, æqua-
lis angulo BEC, ſed angulus
BAE æquatur angulo D E C,
quare duo ſimul AEB, BAE,
ſiue vnicus DBE, æqualis erit
duobus ſimul BEC, DEC, ſiue vnico DEB, ergo BD eſt æqualis ipſi DE. In
ſecunda verò, cum ſit AB ad BC, vel FA ad EC, vt AE ad EC erunt AF,
A E interſe æquales, vnde angulus AEF, æqualis angulo AFE ſiue paralle-
larum externo CEB, ſed eſt AEF æqualis duobus ſimul ABE, EAB, quare
& CEB ijſdem angulis ABE, EAB æqualis crit, eſtque pars CED æqualis
vnico angulo EAD, ergo reliquus angulus DEB reliquo DBE æqualis erit,
hoc eſt recta DB æqualis DE. Itaque in vtraque figura cum DB ſit æqualis
DE, ſitque DE media proportionalis inter AD, DC, erit quoq; DB media
inter eaſdem AD, DC. Quod erat demonſtrandum.
AB ad BC, vt recta AD ad DC,
vel vt quadratum AD ad DE,
vel vt quadratum AE ad EC,
ob triangulorum ſimilitudiné,
erit recta AB ad BC, vt recta
AE ad EC: quare in prima fi-
gura erit angulus AEB, æqua-
lis angulo BEC, ſed angulus
BAE æquatur angulo D E C,
quare duo ſimul AEB, BAE,
ſiue vnicus DBE, æqualis erit
duobus ſimul BEC, DEC, ſiue vnico DEB, ergo BD eſt æqualis ipſi DE. In
ſecunda verò, cum ſit AB ad BC, vel FA ad EC, vt AE ad EC erunt AF,
A E interſe æquales, vnde angulus AEF, æqualis angulo AFE ſiue paralle-
larum externo CEB, ſed eſt AEF æqualis duobus ſimul ABE, EAB, quare
& CEB ijſdem angulis ABE, EAB æqualis crit, eſtque pars CED æqualis
vnico angulo EAD, ergo reliquus angulus DEB reliquo DBE æqualis erit,
hoc eſt recta DB æqualis DE. Itaque in vtraque figura cum DB ſit æqualis
DE, ſitque DE media proportionalis inter AD, DC, erit quoq; DB media
inter eaſdem AD, DC. Quod erat demonſtrandum.