Bélidor, Bernard Forest de, Nouveau cours de mathématique à l' usage de l' artillerie et du génie : où l' on applique les parties les plus utiles de cette science à la théorie & à la pratique des différens sujets qui peuvent avoir rapport à la guerre

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            <s xml:id="echoid-s2339" xml:space="preserve">134. </s>
            <s xml:id="echoid-s2340" xml:space="preserve">Pour multiplier deux grandeurs qui ont les mêmes
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            lettres avec différens expoſans l’une par l’autre, il faut écrire
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            ces lettres les unes à côté des autres, & </s>
            <s xml:id="echoid-s2341" xml:space="preserve">leur donner la ſomme
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            des expoſans des deux facteurs: </s>
            <s xml:id="echoid-s2342" xml:space="preserve">ainſi a
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            x a
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              <emph style="sub">3 + 2</emph>
            = a
              <emph style="sub">5</emph>
            ;
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            <s xml:id="echoid-s2343" xml:space="preserve">a
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            b
              <emph style="sub">3</emph>
            x a
              <emph style="sub">4</emph>
            b
              <emph style="sub">2</emph>
            = a
              <emph style="sub">2 + 4</emph>
            b
              <emph style="sub">3 + 2</emph>
            = a
              <emph style="sub">6</emph>
            b
              <emph style="sub">5</emph>
            ; </s>
            <s xml:id="echoid-s2344" xml:space="preserve">car a
              <emph style="sub">3</emph>
            = aaa, & </s>
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              <emph style="sub">2</emph>
            = aa: </s>
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            donc a
              <emph style="sub">3</emph>
            x a
              <emph style="sub">2</emph>
            = aaa x aa = a
              <emph style="sub">5</emph>
            ; </s>
            <s xml:id="echoid-s2347" xml:space="preserve">de même a
              <emph style="sub">2</emph>
            b
              <emph style="sub">3</emph>
            = aabbb, & </s>
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            b
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            = aaaabb : </s>
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            b
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            x a
              <emph style="sub">4</emph>
            b
              <emph style="sub">2</emph>
            = aabbb x aaaabb = aaaaaabbbbb.</s>
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          </p>
          <p>
            <s xml:id="echoid-s2351" xml:space="preserve">135. </s>
            <s xml:id="echoid-s2352" xml:space="preserve">Comme la Diviſion fait toujours le contraire de la
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            Multiplication, elle doit auſſi ſe faire par une voie oppoſée:
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            <s xml:id="echoid-s2353" xml:space="preserve">donc puiſque la multiplication des quantités qui ont les mêmes
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            lettres, avec différens expoſans, ſe fait par l’Addition de ces
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            mêmes expoſans, la Diviſion doit ſe faire par la Souſtraction
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            des expoſans des lettres communes au dividende & </s>
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            ainſi {a
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            /a
              <emph style="sub">2</emph>
            } = a
              <emph style="sub">3 - 2</emph>
            = a, & </s>
            <s xml:id="echoid-s2356" xml:space="preserve">c’eſt ce que l’on fait, lorſqu’après les
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            avoir mis en fraction, on efface les lettres communes au nu-
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            mérateur & </s>
            <s xml:id="echoid-s2357" xml:space="preserve">au dénominateur; </s>
            <s xml:id="echoid-s2358" xml:space="preserve">car{a
              <emph style="sub">3</emph>
            /a
              <emph style="sub">2</emph>
            } = {aaa/aa} effaçant aa au nu-
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            mérateur & </s>
            <s xml:id="echoid-s2359" xml:space="preserve">au dénominateur, il vient a au quotient, de même
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            que par la Souſtraction des expoſans. </s>
            <s xml:id="echoid-s2360" xml:space="preserve">Tout de même {a
              <emph style="sub">4</emph>
            b
              <emph style="sub">2</emph>
            c
              <emph style="sub">5</emph>
            /a
              <emph style="sub">3</emph>
            bc
              <emph style="sub">2</emph>
            } =
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            {aaaabbccccc/aaabcc} = abccc = abc
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            , ce que l’on eût auſſi trouvé par la
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            Souſtraction des expoſans, en faiſant {a
              <emph style="sub">4</emph>
            b
              <emph style="sub">2</emph>
            c
              <emph style="sub">5</emph>
            /a
              <emph style="sub">3</emph>
            bc
              <emph style="sub">2</emph>
            } = a
              <emph style="sub">4 - 3</emph>
            b
              <emph style="sub">2 - 1</emph>
            c
              <emph style="sub">5 - 2</emph>
              <lb/>
            = abc
              <emph style="sub">3</emph>
            . </s>
            <s xml:id="echoid-s2361" xml:space="preserve">De même {d
              <emph style="sub">2</emph>
            f
              <emph style="sub">3</emph>
            g
              <emph style="sub">4</emph>
            /dfg
              <emph style="sub">2</emph>
            } = d
              <emph style="sub">2 - 1</emph>
            f
              <emph style="sub">3 - 1</emph>
            g
              <emph style="sub">4 - 2</emph>
            = df
              <emph style="sub">2</emph>
            g
              <emph style="sub">2</emph>
            ; </s>
            <s xml:id="echoid-s2362" xml:space="preserve">demê-
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            me encore {a
              <emph style="sub">2</emph>
            b
              <emph style="sub">5</emph>
            /a
              <emph style="sub">3</emph>
            b
              <emph style="sub">2</emph>
            } = {b
              <emph style="sub">3</emph>
            /a} en effaçant les lettres communes au nu-
              <lb/>
            mérateur & </s>
            <s xml:id="echoid-s2363" xml:space="preserve">au dénominateur, ou bien en faiſant la ſouſtrac-
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            tion des expoſans a
              <emph style="sub">2 - 3</emph>
            b
              <emph style="sub">5 - 2</emph>
            = a
              <emph style="sub">-1</emph>
            b
              <emph style="sub">3</emph>
            . </s>
            <s xml:id="echoid-s2364" xml:space="preserve">On voit à préſent ce
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            que c’eſt qu’un expoſant négatif; </s>
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            gatif vient de la ſouſtraction d’un nombre plus grand, ôté d’un
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            plus petit que lui: </s>
            <s xml:id="echoid-s2366" xml:space="preserve">donc une quantité qui a un expoſant né-
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            gatif eſt le quotient d’une certaine puiſſance d’une lettre di-
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            viſée par une plus haute puiſſance de la même lettre; </s>
            <s xml:id="echoid-s2367" xml:space="preserve">ainſi
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            a
              <emph style="sub">-2</emph>
            peut venir de {a
              <emph style="sub">3</emph>
            /a
              <emph style="sub">5</emph>
            }, ou bien de {a
              <emph style="sub">5</emph>
            /a
              <emph style="sub">7</emph>
            } ou de {a/a
              <emph style="sub">3</emph>
            }, &</s>
            <s xml:id="echoid-s2368" xml:space="preserve">c, car {a
              <emph style="sub">3</emph>
            /a
              <emph style="sub">5</emph>
            } =
              <lb/>
            {a
              <emph style="sub">3</emph>
            x 1/a
              <emph style="sub">3</emph>
            x a
              <emph style="sub">2</emph>
            }; </s>
            <s xml:id="echoid-s2369" xml:space="preserve">donc en diviſant le numérateur & </s>
            <s xml:id="echoid-s2370" xml:space="preserve">le dénominateur de
              <lb/>
            la fraction par une même grandeur a
              <emph style="sub">3</emph>
            , il vient au quotient
              <lb/>
            {1/a
              <emph style="sub">2</emph>
            }: </s>
            <s xml:id="echoid-s2371" xml:space="preserve">mais on trouve auſſi le quotient de {a
              <emph style="sub">3</emph>
            /a
              <emph style="sub">5</emph>
            } en ôtant l’expoſant
              <lb/>
            5 du diviſeur de l’expoſant 3 du dividende, & </s>
            <s xml:id="echoid-s2372" xml:space="preserve">le quotient </s>
          </p>
        </div>
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