Bélidor, Bernard Forest de, Nouveau cours de mathématique à l' usage de l' artillerie et du génie : où l' on applique les parties les plus utiles de cette science à la théorie & à la pratique des différens sujets qui peuvent avoir rapport à la guerre

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            <emph style="sc">Démonstration</emph>
          .</head>
          <p>
            <s xml:id="echoid-s1637" xml:space="preserve">Pour entendre la raiſon de ces opérations, on fera atten-
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            tion qu’une fraction devient d’autant plus grande, que ſon nu-
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            mérateur augmente, le dénominateur reſtant le même; </s>
            <s xml:id="echoid-s1638" xml:space="preserve">donc
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            pour avoir une fraction deux ou trois fois plus grande, il ſuffit
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            de multiplier le numérateur par 2 ou par 3: </s>
            <s xml:id="echoid-s1639" xml:space="preserve">donc pour le pre-
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            mier cas, pour multiplier une fraction par un entier, il ſuffit
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            de multiplier le numérateur de la fraction par l’entier.</s>
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            <s xml:id="echoid-s1641" xml:space="preserve">Pour le ſecond cas, lorſque le multiplicateur eſt auſſi une
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            fraction, on remarquera que lorſque je multiplie une fraction
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            {2/3}, par exemple par {4/5}, & </s>
            <s xml:id="echoid-s1642" xml:space="preserve">que je multiplie d’abord le numéra-
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            teur 2 de la premiere par le numérateur 4 de la ſeconde, je
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            multiplie par un nombre cinq fois trop grand, puiſque je ne
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            me propoſe pas de multiplier cette fraction par l’entier 4, mais
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            ſeulement par la cinquieme partie de 4; </s>
            <s xml:id="echoid-s1643" xml:space="preserve">& </s>
            <s xml:id="echoid-s1644" xml:space="preserve">c’eſt ce que je fais
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            effectivement en multipliant le dénominateur 3 par le déno-
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            minateur 5 (art. </s>
            <s xml:id="echoid-s1645" xml:space="preserve">95); </s>
            <s xml:id="echoid-s1646" xml:space="preserve">car après cette multiplication, les par-
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            ties ne ſont plus que la cinquieme partie de ce qu’elles étoient
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            avant.</s>
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            <s xml:id="echoid-s1649" xml:space="preserve">Si l’on avoit un entier & </s>
            <s xml:id="echoid-s1650" xml:space="preserve">une fraction à multiplier par
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            un entier & </s>
            <s xml:id="echoid-s1651" xml:space="preserve">une fraction, on donneroit à chaque entier le
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            même dénominateur que la fraction qui l’accompagne, en le
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            multipliant par le dénominateur, & </s>
            <s xml:id="echoid-s1652" xml:space="preserve">le diviſant par le même;
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            <s xml:id="echoid-s1653" xml:space="preserve">on multiplieroit les deux nouvelles fractions qui en réſulte-
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            roient l’une par l’autre, & </s>
            <s xml:id="echoid-s1654" xml:space="preserve">le produit ſeroit le produit que l’on
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            demande. </s>
            <s xml:id="echoid-s1655" xml:space="preserve">Par exemple, (3 + {5/6}) x (4 + {8/9}) = ({18 + 5/6}) x ({36+8/9})
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            = {23/6} x {44/9} = {1012/54}; </s>
            <s xml:id="echoid-s1656" xml:space="preserve">de même pour multiplier {bx/a} - y par {bx/a} +y
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            je réduis les entiers en fractions, en le multipliant par le dé-
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            nominateur de la fraction, à laquelle ils ſont liés par les ſignes
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            + ou -, & </s>
            <s xml:id="echoid-s1657" xml:space="preserve">il vient {bx - ay/a} & </s>
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            <s xml:id="echoid-s1659" xml:space="preserve">multipliant les deux
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            numérateurs l’un par l’autre, c’eſt-à-dire bx - ay par bx + ay,
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            il vient bbxx - abxy + abxy - aayy ou bbxx - aayy, à qui
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            il faut donner pour dénominateur le produit des dénomina-
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            teurs des deux fractions, qui ſera aa, & </s>
            <s xml:id="echoid-s1660" xml:space="preserve">l’on écrira {bbxx - aayy/aa}
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            pour le produit de la multiplication, ou bien {bbxx/aa} - yy.</s>
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