7 tas ter ſumpta: adequate conſtituit ternarium
et quater ſumpta: quaternarium. et dualitas eſt
pars aliquota numeri octonarii. quoniam duali
tas quater ſumpta adequate numerū octonariuꝫ
conſtituit. ¶ Ex quo patet / dualitas non eſt ꝑrs
aliquota numeri ſeptenarii quoniam non aliquo
ties ſumpta: reddit illud totum adequate. ¶ Pro
portio autem irrationalis: eſt illa que nõ immedi
ate ab aliquo numero denominatur. Alio modo
proportio irrationalis: eſt duarum quantitatum
ita ſe habentiū: nulla pars aliquota vnius eſt
ꝑs aliq̊ta alteriꝰ vt ꝓportio q̄ ē īter diametrū et co
ſtã ſui q̈drati. nã diameṫ excedit coſtã et nõ aliq̊ties
nec ꝑ aliquã ꝑtem aliquotã. vel per aliq̈s ꝑtes ali
quotas. vt inferius probabitur in capitulo de ꝓ-
portione irrationali. 11Diuiſio
ꝓportio
nū rõna-
lium. ¶ Proportionum auteꝫ ra-
tionalium .5. ſunt ſpecies tres ſimplices: et due cõ
poſite. ¶ Simplices ſunt iſte. multiplex: ſuperpar
ticularis: et ſuprapartiēs. ¶ Compoſite vero ſunt
multiplex. multiplex ſuperparticularis: mĺtiplex
ſuprapartiens ¶ Unde proportio multiplex: eſt ꝓ
portio qua maius continet minus aliquoties ta-
tū vt dupla, tripla .4. enim continent .2. bis. / et .6.
continent .2. ter tantum Et ideo inter illos nume-
ros eſt ꝓportio multiplex. ¶ Proportio vero ſu-
perparticularis. eſt proportio qua maius cõtinet
minus ſemel tãtū: et aliquam partem eius aliquo
tã adeq̈te. vt ꝓportio ſex ad .4. nã .6. cõtinet .4. ſe-
mel tm̄ et medietatē q̄ eſt pars aliquota ipſoꝝ .4.
¶ Proportio autem ſuprapartiēs: eſt proportio
qua maius continet minus ſemel tantū: et aliquot
partes eius aliquotas: que ſimul non faciunt ali
quam eius partem aliquotam. vt ꝓportio que eſt
inter .7. et .5. Nam .7. continent .5. ſemel tantum: et
duas partes eius aliquotas: puta duas vnitates
¶ Sed proportio multiplex ſuperparticularis eſt
illa qua maius continet minus aliquotiens: et
cum hoc aliquam eius partem aliquotam tantuꝫ
vt proportio que eſt inter nouem et .4. Nã .9. con-
tinent .4. bis. / et vnam partem numeri quaternarii
puta vnitatem. ¶ Proportio autem multiplex ſu
prapartiens: eſt illa qua maius continent minus
aliquotiens et aliquot partes eiꝰ aliquotas: que
non faciunt vnam eius partem aliquotam vt pro
portio que eſt inter .11. et .4. Nã .11. continent .4. bis /
et tres partes aliquotas ipſorum .4. et ille nõ fa-
ciunt aliquam partem aliquotam ipſorum .4.
22Sufficiē-et quater ſumpta: quaternarium. et dualitas eſt
pars aliquota numeri octonarii. quoniam duali
tas quater ſumpta adequate numerū octonariuꝫ
conſtituit. ¶ Ex quo patet / dualitas non eſt ꝑrs
aliquota numeri ſeptenarii quoniam non aliquo
ties ſumpta: reddit illud totum adequate. ¶ Pro
portio autem irrationalis: eſt illa que nõ immedi
ate ab aliquo numero denominatur. Alio modo
proportio irrationalis: eſt duarum quantitatum
ita ſe habentiū: nulla pars aliquota vnius eſt
ꝑs aliq̊ta alteriꝰ vt ꝓportio q̄ ē īter diametrū et co
ſtã ſui q̈drati. nã diameṫ excedit coſtã et nõ aliq̊ties
nec ꝑ aliquã ꝑtem aliquotã. vel per aliq̈s ꝑtes ali
quotas. vt inferius probabitur in capitulo de ꝓ-
portione irrationali. 11Diuiſio
ꝓportio
nū rõna-
lium. ¶ Proportionum auteꝫ ra-
tionalium .5. ſunt ſpecies tres ſimplices: et due cõ
poſite. ¶ Simplices ſunt iſte. multiplex: ſuperpar
ticularis: et ſuprapartiēs. ¶ Compoſite vero ſunt
multiplex. multiplex ſuperparticularis: mĺtiplex
ſuprapartiens ¶ Unde proportio multiplex: eſt ꝓ
portio qua maius continet minus aliquoties ta-
tū vt dupla, tripla .4. enim continent .2. bis. / et .6.
continent .2. ter tantum Et ideo inter illos nume-
ros eſt ꝓportio multiplex. ¶ Proportio vero ſu-
perparticularis. eſt proportio qua maius cõtinet
minus ſemel tãtū: et aliquam partem eius aliquo
tã adeq̈te. vt ꝓportio ſex ad .4. nã .6. cõtinet .4. ſe-
mel tm̄ et medietatē q̄ eſt pars aliquota ipſoꝝ .4.
¶ Proportio autem ſuprapartiēs: eſt proportio
qua maius continet minus ſemel tantū: et aliquot
partes eius aliquotas: que ſimul non faciunt ali
quam eius partem aliquotam. vt ꝓportio que eſt
inter .7. et .5. Nam .7. continent .5. ſemel tantum: et
duas partes eius aliquotas: puta duas vnitates
¶ Sed proportio multiplex ſuperparticularis eſt
illa qua maius continet minus aliquotiens: et
cum hoc aliquam eius partem aliquotam tantuꝫ
vt proportio que eſt inter nouem et .4. Nã .9. con-
tinent .4. bis. / et vnam partem numeri quaternarii
puta vnitatem. ¶ Proportio autem multiplex ſu
prapartiens: eſt illa qua maius continent minus
aliquotiens et aliquot partes eiꝰ aliquotas: que
non faciunt vnam eius partem aliquotam vt pro
portio que eſt inter .11. et .4. Nã .11. continent .4. bis /
et tres partes aliquotas ipſorum .4. et ille nõ fa-
ciunt aliquam partem aliquotam ipſorum .4.
cia quī
numeri ꝓ
portiõis
rõaĺ ma
ioris ine
q̈litatis.
¶ Harum autem proportionum: ſiue ſpecierum ꝓ
portionum ſufficientia: talis ratione haberi põt
vt adducit Albertus de ſaxonia ī ſuo tractatu de
proportionibus poſt alios mathematicos. Qm̄
oīs numerus: ſiue quantitas ad aliam quantitatē
habens rationalem proportiouem: aut excedit
eam: aut exceditur ab illa. Si excedit eam: aut
continet ipſam aliquoties. aut ſemel tantū: et ali
quid vltra. aut pluries et aliquid vltra. Si primū /
tunc erit proportio multiplex Si ſecūdū / aut illud
aliquid vltra eſt vna pars eius aliquota adequa-
te: aut ē plures partes aliquote que nõ faciūt vnã
partem aliquotam. Si primum: ſic eſt ꝓportio ſu
perparticularis. Si ſecundum / eſt proportio ſuꝑ-
partiens. Si vero maior quantitas continet mi-
norē pluries. et aliquid vltra. vel illud quod vltra
continet eſt pars aliquota adequate aut: plures
partes aliquote: que non faciunt vnã. Si primum /
ſic eſt proportio multiplex ſuperparticulares. Si
ſecundum ſic eſt proportio multiplex ſupraparti-
ens. Et quia quantitas maior habens proportio
nē rationalem ad quantitatem minorē nõ poteſt
pluribus modis ad illam referri ſiue compara-
ri. quam his quin modis conſequens eſt / non
poſſunt eſſe plures ſpecies proportionis rationa
lis his .5. Quãdoquidem eodem modo venari po
teſt minoris inequalitatis proportionum ſuffici
entia. Sola enim ratione: proportio maioris ine
qualitatis: et minoris differunt) De irrationali
autem poſterius dicetur.
portionum ſufficientia: talis ratione haberi põt
vt adducit Albertus de ſaxonia ī ſuo tractatu de
proportionibus poſt alios mathematicos. Qm̄
oīs numerus: ſiue quantitas ad aliam quantitatē
habens rationalem proportiouem: aut excedit
eam: aut exceditur ab illa. Si excedit eam: aut
continet ipſam aliquoties. aut ſemel tantū: et ali
quid vltra. aut pluries et aliquid vltra. Si primū /
tunc erit proportio multiplex Si ſecūdū / aut illud
aliquid vltra eſt vna pars eius aliquota adequa-
te: aut ē plures partes aliquote que nõ faciūt vnã
partem aliquotam. Si primum: ſic eſt ꝓportio ſu
perparticularis. Si ſecundum / eſt proportio ſuꝑ-
partiens. Si vero maior quantitas continet mi-
norē pluries. et aliquid vltra. vel illud quod vltra
continet eſt pars aliquota adequate aut: plures
partes aliquote: que non faciunt vnã. Si primum /
ſic eſt proportio multiplex ſuperparticulares. Si
ſecundum ſic eſt proportio multiplex ſupraparti-
ens. Et quia quantitas maior habens proportio
nē rationalem ad quantitatem minorē nõ poteſt
pluribus modis ad illam referri ſiue compara-
ri. quam his quin modis conſequens eſt / non
poſſunt eſſe plures ſpecies proportionis rationa
lis his .5. Quãdoquidem eodem modo venari po
teſt minoris inequalitatis proportionum ſuffici
entia. Sola enim ratione: proportio maioris ine
qualitatis: et minoris differunt) De irrationali
autem poſterius dicetur.
Cpitulum ſecundum / in quo agitur de ſpe
ciebus horum quin generum proportionū
et de ipſarum generatione.
ciebus horum quin generum proportionū
et de ipſarum generatione.
OMnis proportio ſiue omne ge
nus proportiõis: infinitas habet ſpecies
Unde genus multiplicis: habet infinitas
ſpecies denominatas a naturali ſerie numerorū
puta duplã denominatã a binario triplã a terna
rio: milleculpam a millenario: centuplam a cen-
tenario. et ſic in infinitū. ¶ Proportio em̄ dupla:
eſt illa qua maius continet minus: bis adequate
vt .4. cum .2. et tripla qua maius continet minus:
ter adequate. et quadrupla quater adequate. et ſic
in infinitum. ¶ Generãtur autem omnes ꝓportio
nes duple que infinite ſunt iſto modo. Diſpona-
tur / primo ſeries naturalis numeroꝝ in vna linea
et in alia linea inferiori diſponantur omnes nu-
meri excedentes ſe binario: incipiendo a binario
in infinitum. Et iſto modo cõparando primum ſu-
perioris linie primo inferioris: et ſecundū ſecūdo
et tertiū tertio. 33gñatio ꝓ
portõnū
duplarū et ſic in infinitum inuenientur infi-
nite ꝓportiõis duple. in preſenti figura clare hoc
poteris conſpicere.
nus proportiõis: infinitas habet ſpecies
Unde genus multiplicis: habet infinitas
ſpecies denominatas a naturali ſerie numerorū
puta duplã denominatã a binario triplã a terna
rio: milleculpam a millenario: centuplam a cen-
tenario. et ſic in infinitū. ¶ Proportio em̄ dupla:
eſt illa qua maius continet minus: bis adequate
vt .4. cum .2. et tripla qua maius continet minus:
ter adequate. et quadrupla quater adequate. et ſic
in infinitum. ¶ Generãtur autem omnes ꝓportio
nes duple que infinite ſunt iſto modo. Diſpona-
tur / primo ſeries naturalis numeroꝝ in vna linea
et in alia linea inferiori diſponantur omnes nu-
meri excedentes ſe binario: incipiendo a binario
in infinitum. Et iſto modo cõparando primum ſu-
perioris linie primo inferioris: et ſecundū ſecūdo
et tertiū tertio. 33gñatio ꝓ
portõnū
duplarū et ſic in infinitum inuenientur infi-
nite ꝓportiõis duple. in preſenti figura clare hoc
poteris conſpicere.
Per naturalem ſeriē numerorum: intelligas ordi
ne numerorū incipiēdo ab vnitate nullū numeruꝫ
omittendo. vt .1.2.3.4. etc̈. ¶ Sed infinite ꝓportio-
nes triple: iſto modo generantur Diſponatur / oēs
nūeri ſcḋm ſeriē naturalē nūerorū incipiendo ab
vnitate ī vna linea et ī linea īferiori diſponãt̄̄ oēs
nūeri excedētes ſe ṫnario. et tūc cõparãdo ṗmū īfe
rioris ordinis prīo ſuperioris et ſecūdū ſecūdo et
tertiū tertio: 44gñatio ꝓ
portõnū
triplarū habebunt̄̄ infinite ꝓportiões triple.
ne numerorū incipiēdo ab vnitate nullū numeruꝫ
omittendo. vt .1.2.3.4. etc̈. ¶ Sed infinite ꝓportio-
nes triple: iſto modo generantur Diſponatur / oēs
nūeri ſcḋm ſeriē naturalē nūerorū incipiendo ab
vnitate ī vna linea et ī linea īferiori diſponãt̄̄ oēs
nūeri excedētes ſe ṫnario. et tūc cõparãdo ṗmū īfe
rioris ordinis prīo ſuperioris et ſecūdū ſecūdo et
tertiū tertio: 44gñatio ꝓ
portõnū
triplarū habebunt̄̄ infinite ꝓportiões triple.
portõnū
q̈drupla
rum:
Si vero velis gñare oēs ꝓportiões quadruplas:
capias nūeros excedentes ſe q̈ternario. incipiēdo
a nūero q̈ternario cū ſerie naturali nūeroꝝ. 66Gñatio
quītupla
rum. ¶ Si
aūt quītuplã: capias oēs excedētes ſe q̇nario 77Gñatio
ſextupla
rum. ¶ Si
ſextuplã ſenario. et ſic in infinitū vt facile eſt vide-
re in figuris ſequentibus.
capias nūeros excedentes ſe q̈ternario. incipiēdo
a nūero q̈ternario cū ſerie naturali nūeroꝝ. 66Gñatio
quītupla
rum. ¶ Si
aūt quītuplã: capias oēs excedētes ſe q̇nario 77Gñatio
ſextupla
rum. ¶ Si
ſextuplã ſenario. et ſic in infinitū vt facile eſt vide-
re in figuris ſequentibus.
¶ Suꝑparticularis autē ꝓportio etiam infinitas
habet ſpecies denoīatas a partibus aliquotis: et
vnitate. puta a medietate: a tertia quarta quinta /
et ſic in infinitū. Et ideo prima ſpecies eiꝰ et maxīa
dicitur ſexquialtera. ſecūda vero ſexquitertia. ſex
habet ſpecies denoīatas a partibus aliquotis: et
vnitate. puta a medietate: a tertia quarta quinta /
et ſic in infinitū. Et ideo prima ſpecies eiꝰ et maxīa
dicitur ſexquialtera. ſecūda vero ſexquitertia. ſex