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primi.
Capitulū tertiū / in quo oſtenditur: et de
mõſtratur: proportionem irrationalem
eſſe ponendam.
mõſtratur: proportionem irrationalem
eſſe ponendam.
AD demonſtrandum inter a-
liquas magnitudines ꝓportionē irra
tionalem inueniri: que nullo pacto ſit
ſicut numeri ad numerum.
liquas magnitudines ꝓportionē irra
tionalem inueniri: que nullo pacto ſit
ſicut numeri ad numerum.
Suppono primo / proportio qua-
dratorum ſuperficialium: eſt proportio coſtarum
dublicata. Hoc eſt ſi inter coſtas duorum quadra
torum ſuperficialium: ſit aliqua proportio maio-
ris inequalitatis: inter quadrata erit proportio
dupla: ad illã: que eſt inter coſtas ſignatorū qua-
dratorū: vt ſi inter coſtas duorū quadratorū ine-
qualiū ſuperficialiū: fuerit proportio dupla: inter
quadrata erit proportio q̈drupla Hec ſuppoſitio
clare ꝓbatur: et demõſtratur: inferiꝰ. in tertia ꝑte
tractatu ſecūdo: capitulo .2. Uideas eã ibi.
dratorum ſuperficialium: eſt proportio coſtarum
dublicata. Hoc eſt ſi inter coſtas duorum quadra
torum ſuperficialium: ſit aliqua proportio maio-
ris inequalitatis: inter quadrata erit proportio
dupla: ad illã: que eſt inter coſtas ſignatorū qua-
dratorū: vt ſi inter coſtas duorū quadratorū ine-
qualiū ſuperficialiū: fuerit proportio dupla: inter
quadrata erit proportio q̈drupla Hec ſuppoſitio
clare ꝓbatur: et demõſtratur: inferiꝰ. in tertia ꝑte
tractatu ſecūdo: capitulo .2. Uideas eã ibi.
Secunda ſuppoſitio.
Quadratum
diametri: ſe hꝫ ad q̈dratū coſte in ꝓportiõe dupla
Hoc eſt q̈dratū cuiꝰ q̈libet coſta. eſt eq̈lis diametro
alicuiꝰ q̈drati ſe hꝫ in ꝓportiõe dupla: ad illud q̈-
dratū. Probat̄̄ hec ſuppoſitio: et ſit vnū q̈dratum
magnū: cuiꝰ latꝰ ſit .d.c. et diameṫ ſit a.c. ſit aliḋ
paruū cū iſto cõicans cuiꝰ coſta ſit .c.f. et diameter
ſit .d.c et diuidat̄̄ q̈dratū maiꝰ: ꝑ duos diametros
in quatuor triãgulos equales: vt ptꝫ in hac figura /
3[Figure 3] quo poſito argr̄ ſic / ma-
gnū q̈dratū ē duplū
ad paruū q̈dratū et
ipſū magnū q̈dratū
eſt quadratū diame
tri ipſius parui qua
drati. vt ptꝫ manife
ſte / igit̄̄ quadratū di
ametti: ſe hꝫ ad q̈dra
tū coſte: in ꝓportiõe
dupla. Cõſeq̄ntia ptꝫ
cū mīore. et argr̄ maior. q2 q̈dratū magnū: cõtinet
q̈termedietatē parui q̈drati. adeq̈te igr̄ ipſū ma-
gnū q̈dratū: cõtinet bis adeq̈te: paruū q̈dratū. Cõ
ſequentia ptꝫ ex ſe: et ꝓbat̄̄ añs. q2 q̈dratū magnū
q̈ter ↄ̨tinet tm̄: ſicut ē triãgulꝰ .d.e.c. / vt ptꝫ. et ille tri
angulꝰ eſt medietas parui quadrati: vt manifeſte
ptꝫ in figura. igit̄̄ magnū quadratū: quater conti-
net adequate: mediante parui / qḋ fuit ꝓbandum.
diametri: ſe hꝫ ad q̈dratū coſte in ꝓportiõe dupla
Hoc eſt q̈dratū cuiꝰ q̈libet coſta. eſt eq̈lis diametro
alicuiꝰ q̈drati ſe hꝫ in ꝓportiõe dupla: ad illud q̈-
dratū. Probat̄̄ hec ſuppoſitio: et ſit vnū q̈dratum
magnū: cuiꝰ latꝰ ſit .d.c. et diameṫ ſit a.c. ſit aliḋ
paruū cū iſto cõicans cuiꝰ coſta ſit .c.f. et diameter
ſit .d.c et diuidat̄̄ q̈dratū maiꝰ: ꝑ duos diametros
in quatuor triãgulos equales: vt ptꝫ in hac figura /
gnū q̈dratū ē duplū
ad paruū q̈dratū et
ipſū magnū q̈dratū
eſt quadratū diame
tri ipſius parui qua
drati. vt ptꝫ manife
ſte / igit̄̄ quadratū di
ametti: ſe hꝫ ad q̈dra
tū coſte: in ꝓportiõe
dupla. Cõſeq̄ntia ptꝫ
cū mīore. et argr̄ maior. q2 q̈dratū magnū: cõtinet
q̈termedietatē parui q̈drati. adeq̈te igr̄ ipſū ma-
gnū q̈dratū: cõtinet bis adeq̈te: paruū q̈dratū. Cõ
ſequentia ptꝫ ex ſe: et ꝓbat̄̄ añs. q2 q̈dratū magnū
q̈ter ↄ̨tinet tm̄: ſicut ē triãgulꝰ .d.e.c. / vt ptꝫ. et ille tri
angulꝰ eſt medietas parui quadrati: vt manifeſte
ptꝫ in figura. igit̄̄ magnū quadratū: quater conti-
net adequate: mediante parui / qḋ fuit ꝓbandum.
Terita ſuppoſitio.
diametri ad coſtã
eſt ꝓportio: que eſt medietas duple. Probatur / q2
quadrati diametri ad quadratū coſte eſt ꝓportio
dupla: vt ptꝫ ex ſcḋa ſuppoſitione. ergo diametri
ad coſtã: eſt ꝓportio ſubdupla ad duplã. et ꝑ conſe
quēs medietas duple. Patet cõſequētia ex prima
ſuppoſitione. Qm̄ ſemꝑ ꝓportio quadratorū: eſt
dupla ad ꝓportionē coſtaꝝ. Et ſic ꝓportio coſtaꝝ
eſt medietas ꝓportionis quadratoꝝ. Cum igitur
proportio quadratoruꝫ fuerit dupla: coſtaꝝ pro-
portio erit medietas duple.
11Numeri eſt ꝓportio: que eſt medietas duple. Probatur / q2
quadrati diametri ad quadratū coſte eſt ꝓportio
dupla: vt ptꝫ ex ſcḋa ſuppoſitione. ergo diametri
ad coſtã: eſt ꝓportio ſubdupla ad duplã. et ꝑ conſe
quēs medietas duple. Patet cõſequētia ex prima
ſuppoſitione. Qm̄ ſemꝑ ꝓportio quadratorū: eſt
dupla ad ꝓportionē coſtaꝝ. Et ſic ꝓportio coſtaꝝ
eſt medietas ꝓportionis quadratoꝝ. Cum igitur
proportio quadratoruꝫ fuerit dupla: coſtaꝝ pro-
portio erit medietas duple.
primi.
Quarta ſuppoſitio cuinſlibet ꝓpor
tionis ſuprapartientis alter primorū numeroruꝫ
eſt impar. Sunt autē primi numeri alicuius ꝓpor
tionis: qui in ea ꝓportiõe ſunt numeri: vt tria et .2.
ſunt primi numeri ꝓportionis ſexquialtere: quia
in naturali ſerie numeroruꝫ: inter nullos minores
ꝓportio ſexquialtera inuenit̄̄: Probatur ſuppoſi
tio. q2 ſi non: detur oppoſitū. videlicet / vter ſit
numerus par. et arguitur ſic. vter iſtorꝝ eſt nume
rus par. ergo ſequitur / vter illoꝝ eſt medietas /
vt patet ex diffinitione numeri paris: et proportio
medietatū: eſt eadē cū ꝓportione totoꝝ: vt conſtat
et inferius ꝓbabis: igitur illi non erant primi nu-
meri talis ꝓportiõis. q2 nõ erant minimi illiꝰ pro
portionis: cū ſue medietates ſint numeri minores
et ꝑ ↄ̨ñs: nõ dediſti ṗmos nūeros: talis ꝓpoſitiõis
tionis ſuprapartientis alter primorū numeroruꝫ
eſt impar. Sunt autē primi numeri alicuius ꝓpor
tionis: qui in ea ꝓportiõe ſunt numeri: vt tria et .2.
ſunt primi numeri ꝓportionis ſexquialtere: quia
in naturali ſerie numeroruꝫ: inter nullos minores
ꝓportio ſexquialtera inuenit̄̄: Probatur ſuppoſi
tio. q2 ſi non: detur oppoſitū. videlicet / vter ſit
numerus par. et arguitur ſic. vter iſtorꝝ eſt nume
rus par. ergo ſequitur / vter illoꝝ eſt medietas /
vt patet ex diffinitione numeri paris: et proportio
medietatū: eſt eadē cū ꝓportione totoꝝ: vt conſtat
et inferius ꝓbabis: igitur illi non erant primi nu-
meri talis ꝓportiõis. q2 nõ erant minimi illiꝰ pro
portionis: cū ſue medietates ſint numeri minores
et ꝑ ↄ̨ñs: nõ dediſti ṗmos nūeros: talis ꝓpoſitiõis
Quīta ſuppoſitio.
Omne quadratū
numeri īparis: eſt īpar. Probatur: q2 oē quadra-
tum numeri īparis: eſt ille numerꝰ: qui reſultat ex
ductu numeri īparis: in ſeipſum ſemel. vt patet ex
ſcḋo arithmetice nichomachi. ſed oīs numerꝰ: re-
ſultãs ex ductu numeri īparis in ſeipſum: eſt īpar /
igitur oē quadratū numeri īparis: eſt īpar. Pro-
batur minor: q2 ſi numerꝰ īpar: multiplicetur per
numeꝝ parē immediate precedentē ipſum vt .5. per
4. / tunc reſultaret numerꝰ par: ſed quãdo multipli
catur per ſeipſum: ſiue dicetur ī ſeipſum ſemel (qḋ
ideꝫ ē) adhuc illi nūero pari: qui reſultabat ex mul
tiplicatione numeri paris: immediate preceden-
tis: additur numerꝰ īpar: vt patet intelligenti. igr̄
totū reſultans: erit nūerꝰ īpar. Patet cõſequētia:
qm̄ ſi numerꝰ īpar: addatur numero pari: reſulta
bit numerꝰ īpar. Exemplū / vt ſi ternariꝰ: multipli
cetur per numeꝝ parem: īmediate precedentē: puta
binariū: reſultabit numerꝰ par: puta ſenariꝰ. et ſi
vlteriꝰ addatur numerꝰ teruariꝰ: ſupra ſenariū re
ſultabit nouenarius: qui eſt numerꝰ īpar reſultãs
ex ductu ternarii in ſeipſum ſemel.
numeri īparis: eſt īpar. Probatur: q2 oē quadra-
tum numeri īparis: eſt ille numerꝰ: qui reſultat ex
ductu numeri īparis: in ſeipſum ſemel. vt patet ex
ſcḋo arithmetice nichomachi. ſed oīs numerꝰ: re-
ſultãs ex ductu numeri īparis in ſeipſum: eſt īpar /
igitur oē quadratū numeri īparis: eſt īpar. Pro-
batur minor: q2 ſi numerꝰ īpar: multiplicetur per
numeꝝ parē immediate precedentē ipſum vt .5. per
4. / tunc reſultaret numerꝰ par: ſed quãdo multipli
catur per ſeipſum: ſiue dicetur ī ſeipſum ſemel (qḋ
ideꝫ ē) adhuc illi nūero pari: qui reſultabat ex mul
tiplicatione numeri paris: immediate preceden-
tis: additur numerꝰ īpar: vt patet intelligenti. igr̄
totū reſultans: erit nūerꝰ īpar. Patet cõſequētia:
qm̄ ſi numerꝰ īpar: addatur numero pari: reſulta
bit numerꝰ īpar. Exemplū / vt ſi ternariꝰ: multipli
cetur per numeꝝ parem: īmediate precedentē: puta
binariū: reſultabit numerꝰ par: puta ſenariꝰ. et ſi
vlteriꝰ addatur numerꝰ teruariꝰ: ſupra ſenariū re
ſultabit nouenarius: qui eſt numerꝰ īpar reſultãs
ex ductu ternarii in ſeipſum ſemel.
Sexta ſuppoſitio.
nullus numerus
impar: eſt duplas ad aliquē numerū. Probatur:
q2 ſi eſſet duplus ad aliquē numerū: iã ille numerꝰ
eſſet ſua medietas adequate: et ſic diuideret̄̄ in du-
as medietates: et ꝑ cõſequēs nõ eſſet impar.
impar: eſt duplas ad aliquē numerū. Probatur:
q2 ſi eſſet duplus ad aliquē numerū: iã ille numerꝰ
eſſet ſua medietas adequate: et ſic diuideret̄̄ in du-
as medietates: et ꝑ cõſequēs nõ eſſet impar.
Hīs iactis ſuppoſitiõibus: ſit prima
cõcluſio. Nulla ꝓportio diametri ad coſtã: ē mĺti
plex, aut mĺtiplex ſuꝑparticularis: aut multiplex
ſuprapartiēs. Probat̄̄ hec cõcluſio: oīs ꝓportio
mĺtiplex, aut mĺtiplex ſuꝑparticĺaris, aut mĺti-
plex ſuprapartiēs eſt dupla aut maior dupla: ſed
nulla ꝓportio diametri ad coſtã: ē dupla aut ma-
ior dupla: igit̄̄ nulla ꝓportio diametri ad coſtam
eſt mĺtiplex: aut mĺtiplex ſuꝑparticularꝪ, aut mĺ-
tiplex ſuprapartiēs. Ptꝫ ↄ̨ña in ſcḋo ſcḋe et maior
ſimiliter: q2 oīs proportio multiplex: eſt dupla: vĺ
mior: et oīs ꝓportio multiplex ſuperparticularis
aut multiplex ſuprapartiens: eſt maior dupla: vt
patebit ex cſḋa parte: igitur oīs proportio multi
plex: aut multiplex ſuꝑparticularis: aut mĺtiplex
ſuprapartiens: eſt dupla: vel maior dupla. Iã ꝓ-
batur minor. q2 oīs proportio diametri ad coſtã:
eſt medietas duple: ſiue ſubdupla ad duplã (quod
idē eſt) adequate: ergo nulla proportio diametri
ad coſtã: eſt ipſa tota dupla: vel maior dupla Pa
tet antecedēs. ex tertia ſuppoſitione: et probat̄̄ cõ
ſequētia. q2 alias medietas eſſet equalis ſuo toti:
vel maior. quod nõ eſt poſibile: deductis ſophiſta
rum quiſquiliis.
cõcluſio. Nulla ꝓportio diametri ad coſtã: ē mĺti
plex, aut mĺtiplex ſuꝑparticularis: aut multiplex
ſuprapartiēs. Probat̄̄ hec cõcluſio: oīs ꝓportio
mĺtiplex, aut mĺtiplex ſuꝑparticĺaris, aut mĺti-
plex ſuprapartiēs eſt dupla aut maior dupla: ſed
nulla ꝓportio diametri ad coſtã: ē dupla aut ma-
ior dupla: igit̄̄ nulla ꝓportio diametri ad coſtam
eſt mĺtiplex: aut mĺtiplex ſuꝑparticularꝪ, aut mĺ-
tiplex ſuprapartiēs. Ptꝫ ↄ̨ña in ſcḋo ſcḋe et maior
ſimiliter: q2 oīs proportio multiplex: eſt dupla: vĺ
mior: et oīs ꝓportio multiplex ſuperparticularis
aut multiplex ſuprapartiens: eſt maior dupla: vt
patebit ex cſḋa parte: igitur oīs proportio multi
plex: aut multiplex ſuꝑparticularis: aut mĺtiplex
ſuprapartiens: eſt dupla: vel maior dupla. Iã ꝓ-
batur minor. q2 oīs proportio diametri ad coſtã:
eſt medietas duple: ſiue ſubdupla ad duplã (quod
idē eſt) adequate: ergo nulla proportio diametri
ad coſtã: eſt ipſa tota dupla: vel maior dupla Pa
tet antecedēs. ex tertia ſuppoſitione: et probat̄̄ cõ
ſequētia. q2 alias medietas eſſet equalis ſuo toti:
vel maior. quod nõ eſt poſibile: deductis ſophiſta
rum quiſquiliis.
Secunda concluſio.
nulla proportio
diametri ad coſtã: eſt aliqua proportio ſuꝑparti-
cularis. Probatur: q2 oīs proportio ſuꝑparticu-
diametri ad coſtã: eſt aliqua proportio ſuꝑparti-
cularis. Probatur: q2 oīs proportio ſuꝑparticu-