29 lia demas etc. ſed modo manet proportio a. ad b.
et c. ad .d. / ergo ille ſunt equales / quod fuit ꝓbãduꝫ
Sꝫ vniuerſaliter probatur / ſi ſicut ſe hꝫ a.b. ad b.
ita .cd. ad d. / tūc ſic̈ ſe hꝫ a. ad b. ita c. ad .d. Qḋ ſic
probatur / qr. ſicut ſe hꝫ a.b. ad b. ita c.d. ad d. / ergo
ſicut ſe habet a.b. ad c.d. ita b. ad .d. / vt patet ex cõ
cluſione. Uolo igit̄̄ / a.b. ꝑdat .b. et c.d. ꝑdat d. ita
maneãt a. et c. / et tūc arguo ſic / a.b. et c.d. ſe habēt
in ea proportione in qua ſe habent b. et d. q̄ ſit f.
gr̄a argumenti: et a.b. terminus maior deperdit
d. et c.d. terminꝰ minor deperdit d. / ergo inter de-
perditum a maiori termino et deꝑditū a minori ē
ꝓportio f. puta īter b. et d. et talis ꝓportio puta f.
eſt īter a.b. et c.d. / vt ꝓbatū eſt: igit̄̄ facta tali deꝑ-
ditione vel diminutione inter reſiduū ex a.b. et re-
ſiduū ex c.d. manet ꝓportio f. / vt ptꝫ ex ſeptīo cor-
relario quarte cõcluſionis octaui capitis huiꝰ par
tis: et reſiduū ex a.b. ē a: et reſiduū ex c.d. eſt c. / igit̄̄
īter a. et c. eſt f. ꝓportio ſicut inter .b. et d. et ꝑ ↄ̨ñs ſi
cut ſe hꝫ a. ad c. ita b. ad d. puta in f. ꝓportione: et
ex cõſequēti ſeq̇tur ex cõcluſione / ſicut ſe habet a
ad b. ita c. ad d. / qḋ fuit probandū. Et eodē mõ pro
bares ſi a. eēt terminꝰ minor et b. maior. et ēt c. mi
nor et d. maior. 115. correĺ. ¶ Seq̇tur quīto / diſpoſitis ī hac
medietate q̈tuor terminis: ſicut aggregatū ex q̈r-
to et tertio ad tertiū ita aggregatum ex ſecūdo et
prīo ad primū vt diſpoſitis his termīs .8.4.6.3. ſi
cut ſe hñt 3. et .6. ad .6 ita .4. et .8. ad .8. Probat̄̄ /
ſint 4 ṫmini ī hac medietate ↄ̨ſtituti a.b.c.d. / tūc
ſicut ſe habet d.c. ad c. ita b.a. ad a. Qḋ ſic probat̄̄ /
q2 bñ ſeq̇tur ſicut ſe habet a. ad b. ita c. ad d. / igitur
ſicut ſe habet a.b. ad b. ita ſe habet c.d. ad d. / vt ptꝫ
ex ṗmo correlario huiꝰ concluſionis: et vltra ſicut
ſe habet a.b. ad b. ita c.d. ad d. / igit̄̄ ſicut ſe hꝫ d. ad
d.c. ita b. ad b.a. / quod fuit ꝓbandū. Ptꝫ hec cõſe-
quētia ex ꝓbatione tertii correlarii huius ↄ̨cluſio
nis. Et ſic patet correlariū. 226. correl. ¶ Sequitur ſexto / diſ
poſitis .3. terminis cõtinuo ꝓportionabilibus hac
medietate: et aliis tribus etiã cõtinuo ꝓportiona-
bilibꝰ eadē medietate: et eadē ꝓportione qua tres
priores cõtinuo proportionant̄̄: ſicut ſe habēt ex-
trema ṗmi ternarii: ita ſe habēt extrema ſecundi.
vt cõſtitutis .4. et .1.21.6.3. ſicut ſe habēt .4. ad .1. ita
21. ad .3. Sint ſex termini a.b.c.d.e.f. et continuo
ꝓportionētur tres primi termini ꝓportione g. / et
eadē ꝓportione cõtinuo ꝓportionent̄̄ alii tres pu
ta d.e.f. / et ſit ꝓportio cõpoſita adequate ex dupli
ci g.h. / tūc dico / eadē eſt ꝓportio a. ad c. q̄ eſt d. ad
f. Quod ſic oñditur. q2 ꝓportio a. ad .c. eſt .h. et ea-
dē eſt d. ad .f. / igit̄̄ eadē eſt proportio a. ad c. q̄ eſt d.
ad f. / qḋ fuit ꝓbãdū. q2 vtrobi h. proportio Pro
batur maior: quia proportio a. ad c. cõponitur ex
duplici g. proportione adeq̈te puta ex proportio-
ne que eſt a. ad b. q̄ eſt g. et b. ad .c. q̄ etiã eſt g. / igitur
illa proportio a. ad c. eſt h. Patet conſequētia / q2
proportio h. vt ponit̄̄ cõponitur ex duplici g. ade-
quate. Et iſto mõ probabis minorē: qm̄ proportio
d. ad f. componitur ex duplici g. puta ex proportio
ne g. q̄ eſt d. ad e. et ex proportione g. que eſt e. ad f.
adequate. Et ſic patet correlariū. Et pari demon-
ſtratione oſtendes: conſtitutis tribus quaterna
riis continuo proportionabilibus eadem propor
tione: et quin quinariis: et in quo volueris nūe-
ro: in quacun proportione ſe habent extrema
vniꝰ in eadē ſe habent extrema cuiuſuis alterius.
335. ꝓp̄etaſ et c. ad .d. / ergo ille ſunt equales / quod fuit ꝓbãduꝫ
Sꝫ vniuerſaliter probatur / ſi ſicut ſe hꝫ a.b. ad b.
ita .cd. ad d. / tūc ſic̈ ſe hꝫ a. ad b. ita c. ad .d. Qḋ ſic
probatur / qr. ſicut ſe hꝫ a.b. ad b. ita c.d. ad d. / ergo
ſicut ſe habet a.b. ad c.d. ita b. ad .d. / vt patet ex cõ
cluſione. Uolo igit̄̄ / a.b. ꝑdat .b. et c.d. ꝑdat d. ita
maneãt a. et c. / et tūc arguo ſic / a.b. et c.d. ſe habēt
in ea proportione in qua ſe habent b. et d. q̄ ſit f.
gr̄a argumenti: et a.b. terminus maior deperdit
d. et c.d. terminꝰ minor deperdit d. / ergo inter de-
perditum a maiori termino et deꝑditū a minori ē
ꝓportio f. puta īter b. et d. et talis ꝓportio puta f.
eſt īter a.b. et c.d. / vt ꝓbatū eſt: igit̄̄ facta tali deꝑ-
ditione vel diminutione inter reſiduū ex a.b. et re-
ſiduū ex c.d. manet ꝓportio f. / vt ptꝫ ex ſeptīo cor-
relario quarte cõcluſionis octaui capitis huiꝰ par
tis: et reſiduū ex a.b. ē a: et reſiduū ex c.d. eſt c. / igit̄̄
īter a. et c. eſt f. ꝓportio ſicut inter .b. et d. et ꝑ ↄ̨ñs ſi
cut ſe hꝫ a. ad c. ita b. ad d. puta in f. ꝓportione: et
ex cõſequēti ſeq̇tur ex cõcluſione / ſicut ſe habet a
ad b. ita c. ad d. / qḋ fuit probandū. Et eodē mõ pro
bares ſi a. eēt terminꝰ minor et b. maior. et ēt c. mi
nor et d. maior. 115. correĺ. ¶ Seq̇tur quīto / diſpoſitis ī hac
medietate q̈tuor terminis: ſicut aggregatū ex q̈r-
to et tertio ad tertiū ita aggregatum ex ſecūdo et
prīo ad primū vt diſpoſitis his termīs .8.4.6.3. ſi
cut ſe hñt 3. et .6. ad .6 ita .4. et .8. ad .8. Probat̄̄ /
ſint 4 ṫmini ī hac medietate ↄ̨ſtituti a.b.c.d. / tūc
ſicut ſe habet d.c. ad c. ita b.a. ad a. Qḋ ſic probat̄̄ /
q2 bñ ſeq̇tur ſicut ſe habet a. ad b. ita c. ad d. / igitur
ſicut ſe habet a.b. ad b. ita ſe habet c.d. ad d. / vt ptꝫ
ex ṗmo correlario huiꝰ concluſionis: et vltra ſicut
ſe habet a.b. ad b. ita c.d. ad d. / igit̄̄ ſicut ſe hꝫ d. ad
d.c. ita b. ad b.a. / quod fuit ꝓbandū. Ptꝫ hec cõſe-
quētia ex ꝓbatione tertii correlarii huius ↄ̨cluſio
nis. Et ſic patet correlariū. 226. correl. ¶ Sequitur ſexto / diſ
poſitis .3. terminis cõtinuo ꝓportionabilibus hac
medietate: et aliis tribus etiã cõtinuo ꝓportiona-
bilibꝰ eadē medietate: et eadē ꝓportione qua tres
priores cõtinuo proportionant̄̄: ſicut ſe habēt ex-
trema ṗmi ternarii: ita ſe habēt extrema ſecundi.
vt cõſtitutis .4. et .1.21.6.3. ſicut ſe habēt .4. ad .1. ita
21. ad .3. Sint ſex termini a.b.c.d.e.f. et continuo
ꝓportionētur tres primi termini ꝓportione g. / et
eadē ꝓportione cõtinuo ꝓportionent̄̄ alii tres pu
ta d.e.f. / et ſit ꝓportio cõpoſita adequate ex dupli
ci g.h. / tūc dico / eadē eſt ꝓportio a. ad c. q̄ eſt d. ad
f. Quod ſic oñditur. q2 ꝓportio a. ad .c. eſt .h. et ea-
dē eſt d. ad .f. / igit̄̄ eadē eſt proportio a. ad c. q̄ eſt d.
ad f. / qḋ fuit ꝓbãdū. q2 vtrobi h. proportio Pro
batur maior: quia proportio a. ad c. cõponitur ex
duplici g. proportione adeq̈te puta ex proportio-
ne que eſt a. ad b. q̄ eſt g. et b. ad .c. q̄ etiã eſt g. / igitur
illa proportio a. ad c. eſt h. Patet conſequētia / q2
proportio h. vt ponit̄̄ cõponitur ex duplici g. ade-
quate. Et iſto mõ probabis minorē: qm̄ proportio
d. ad f. componitur ex duplici g. puta ex proportio
ne g. q̄ eſt d. ad e. et ex proportione g. que eſt e. ad f.
adequate. Et ſic patet correlariū. Et pari demon-
ſtratione oſtendes: conſtitutis tribus quaterna
riis continuo proportionabilibus eadem propor
tione: et quin quinariis: et in quo volueris nūe-
ro: in quacun proportione ſe habent extrema
vniꝰ in eadē ſe habent extrema cuiuſuis alterius.
medieta
tis geo-
metrice.
Quinta concluſio
Quotlibet in hac
medietate geometrica terminis conſtitutis conti
nuo proportionabilibus:: qualis eſt illoruꝫ termi
norū cõtinuo ꝓportio: talis eſt inter eorū differen
tias ſiue exceſſns. vt conſtitutis his terminis .16.8
4.2.1. qualis eſt ꝓportio .6. ad .8. talis eſt exceſſus
quo .16. excedunt .8. ad exceſſum quo .8. excedūt .4.
et exceſſus quo .4. excedunt .2. ad exceſſum quo duo
excedunt vnum / vt patet. Eſt enim inter illos exceſ-
ſus proportio dupla quēadmodū īter terīos Pro
bat̄̄ / ſint .3. ṫmini cõtinuo ꝓportionabiles .f. ꝓpor-
tione puta .ab.cd.e. et exceſſus quo primus excedit
ſecunduꝫ ſit a: et exceſſus quo ſecundus excedit ter
tium ſit c. / tūc dico / ſicut f. ꝓportio eſt inter illos
terminos: vcꝫ īter primum et ſecundum et inter ſe-
cundum et tertium. ita etiã eſt f. proportio inter a.
et c. exceſſus ita a. ad c. eſt proportio f. Quod ſic
oſtendit̄̄ / q2 b. ad d. eſt ꝓportio f. et a. ad .c. eſt eadeꝫ
proportio / igitur a. ad c. eſt f. proportio / quod fuit
ꝓbandū. Probatur maior / quia b. eſt equale c.d.
q2 a.b: excedebat preciſe per a. ipſum .cd. et ſic re-
moto exceſſu .b. manebit equale c.d. et d. eſt equale
e. eadem rõne: et inter .cd. et e. eſt f. proportio / vt po
nitur: ergo inter b: et d. eſt eadem f. proportio Pa
tet conſequentia / q2 oīm equaliū eſt eadem ꝓpor-
tio Minor ꝓbatur / et capio vnū terminū ad quem
a. habeat ꝓportionē f. qui ſit g. / et arguo ſic / ſicut ſe
habet b. ad d. ita ſe habet a. ad g. puta in f. propor
tione: ergo ſicut ſe habet b. ad d: puta in f. ꝓportio
ne ita ſe habet a.b. ad g.d. puta in f. proportione.
Patet hec conſequentia ex ſecundo correlario q̈r
te concluſionis: et .ab. etiam ad .cd. eſt proportio
f. / vt ponitur igitur g.d. et c.d. ſunt equalia. Patet
conſequentia / quia idem tertium eandē ꝓportiõeꝫ
hꝫ ad vtrum illoꝝ: et vltra .gd. et c.d. ſūt eq̈lia: g̊
eodē cõi dēpto puta d. r̄ſidua manebūt eq̈lia / ſꝫ re
ſidua ſunt g. et c. / g̊ g. et c. ſunt eq̈lia et a. ad g. eſt f.
proportio / vt poſitū eſt / ergo a. ad c. eſt f. proportio /
quod fuit ꝓbandum Patet hec conſequētia / quia
eiuſdē tertii ad vtrū duorū equaliū eſt eadem ꝓ
portio. Et ſic ptꝫ concluſio Qm̄ eo modo quo pro
batū eſt in illis tribus terminis probabitur quot
cnn diſpoſitis cõtinuo proportionabilibus hac
medietate. Et hec ſit quinta proprietas medieta-
tis geometrice. 441. correĺ. ¶ Ex hac concluſione ſequitur pri-
mo / ſi duo numeri inequales continuo diminuã
tur continuo in eadem ꝓportione manentes: con-
tinno deperditū maiori numero ſe habet in eadeꝫ
ꝓportione ad deperditū minori numero in qua cõ
tinuo ſe habent illi numeri qui diminuuntur. vt ſi
numerus octonarius et quaternarius continuo di
minuantur continuo manētes in ꝓportiõe dnpla:
continuo deperditum ab octonario ſe habebit in
ꝓportione dupla ad deperditum a quaternario.
Hoc correlarium facile ex demonſtratione conclu
ſionis probatur. 552. correĺ. ¶ Sequit̄̄ ſecundo / ſi nõ conti-
nuo deperditum maiori numero ſe habeat ad de
perditum a minori numero in eadem proportiõe:
in qua continuo ſe habent illi numeri q̇ diminuun
tur: illi duo numeri inequales q̇ cõtinuo diminuū
tur non ſe habent in eadem ꝓportione etc. Patet
hoc correlarium ex priori / qm̄ p̄cedens correlariū
eſt vna conditionalis a: igitur ex oppoſito ↄ̨ñtis
eius ſequit̄̄ oppoſitum añcedentis: et ꝑ conſequēs
conditionalis in qua arguitur ex oppoſito conſe
quentis illius ad oppoſitum añtis eſt vera: et ta-
lis eſt correlarium / igitur correlarium verum.
663. correĺ.
medietate geometrica terminis conſtitutis conti
nuo proportionabilibus:: qualis eſt illoruꝫ termi
norū cõtinuo ꝓportio: talis eſt inter eorū differen
tias ſiue exceſſns. vt conſtitutis his terminis .16.8
4.2.1. qualis eſt ꝓportio .6. ad .8. talis eſt exceſſus
quo .16. excedunt .8. ad exceſſum quo .8. excedūt .4.
et exceſſus quo .4. excedunt .2. ad exceſſum quo duo
excedunt vnum / vt patet. Eſt enim inter illos exceſ-
ſus proportio dupla quēadmodū īter terīos Pro
bat̄̄ / ſint .3. ṫmini cõtinuo ꝓportionabiles .f. ꝓpor-
tione puta .ab.cd.e. et exceſſus quo primus excedit
ſecunduꝫ ſit a: et exceſſus quo ſecundus excedit ter
tium ſit c. / tūc dico / ſicut f. ꝓportio eſt inter illos
terminos: vcꝫ īter primum et ſecundum et inter ſe-
cundum et tertium. ita etiã eſt f. proportio inter a.
et c. exceſſus ita a. ad c. eſt proportio f. Quod ſic
oſtendit̄̄ / q2 b. ad d. eſt ꝓportio f. et a. ad .c. eſt eadeꝫ
proportio / igitur a. ad c. eſt f. proportio / quod fuit
ꝓbandū. Probatur maior / quia b. eſt equale c.d.
q2 a.b: excedebat preciſe per a. ipſum .cd. et ſic re-
moto exceſſu .b. manebit equale c.d. et d. eſt equale
e. eadem rõne: et inter .cd. et e. eſt f. proportio / vt po
nitur: ergo inter b: et d. eſt eadem f. proportio Pa
tet conſequentia / q2 oīm equaliū eſt eadem ꝓpor-
tio Minor ꝓbatur / et capio vnū terminū ad quem
a. habeat ꝓportionē f. qui ſit g. / et arguo ſic / ſicut ſe
habet b. ad d. ita ſe habet a. ad g. puta in f. propor
tione: ergo ſicut ſe habet b. ad d: puta in f. ꝓportio
ne ita ſe habet a.b. ad g.d. puta in f. proportione.
Patet hec conſequentia ex ſecundo correlario q̈r
te concluſionis: et .ab. etiam ad .cd. eſt proportio
f. / vt ponitur igitur g.d. et c.d. ſunt equalia. Patet
conſequentia / quia idem tertium eandē ꝓportiõeꝫ
hꝫ ad vtrum illoꝝ: et vltra .gd. et c.d. ſūt eq̈lia: g̊
eodē cõi dēpto puta d. r̄ſidua manebūt eq̈lia / ſꝫ re
ſidua ſunt g. et c. / g̊ g. et c. ſunt eq̈lia et a. ad g. eſt f.
proportio / vt poſitū eſt / ergo a. ad c. eſt f. proportio /
quod fuit ꝓbandum Patet hec conſequētia / quia
eiuſdē tertii ad vtrū duorū equaliū eſt eadem ꝓ
portio. Et ſic ptꝫ concluſio Qm̄ eo modo quo pro
batū eſt in illis tribus terminis probabitur quot
cnn diſpoſitis cõtinuo proportionabilibus hac
medietate. Et hec ſit quinta proprietas medieta-
tis geometrice. 441. correĺ. ¶ Ex hac concluſione ſequitur pri-
mo / ſi duo numeri inequales continuo diminuã
tur continuo in eadem ꝓportione manentes: con-
tinno deperditū maiori numero ſe habet in eadeꝫ
ꝓportione ad deperditū minori numero in qua cõ
tinuo ſe habent illi numeri qui diminuuntur. vt ſi
numerus octonarius et quaternarius continuo di
minuantur continuo manētes in ꝓportiõe dnpla:
continuo deperditum ab octonario ſe habebit in
ꝓportione dupla ad deperditum a quaternario.
Hoc correlarium facile ex demonſtratione conclu
ſionis probatur. 552. correĺ. ¶ Sequit̄̄ ſecundo / ſi nõ conti-
nuo deperditum maiori numero ſe habeat ad de
perditum a minori numero in eadem proportiõe:
in qua continuo ſe habent illi numeri q̇ diminuun
tur: illi duo numeri inequales q̇ cõtinuo diminuū
tur non ſe habent in eadem ꝓportione etc. Patet
hoc correlarium ex priori / qm̄ p̄cedens correlariū
eſt vna conditionalis a: igitur ex oppoſito ↄ̨ñtis
eius ſequit̄̄ oppoſitum añcedentis: et ꝑ conſequēs
conditionalis in qua arguitur ex oppoſito conſe
quentis illius ad oppoſitum añtis eſt vera: et ta-
lis eſt correlarium / igitur correlarium verum.
¶ Sequitur tertio / ſi continuo deperdita a duo
bus numeris inequalibus manent in eadem pro-
portione in qua ſe habent illi numeri in principio
deperditionis: numeri remanētes cõtinuo manēt
in eadem ꝓportione. vt ſi numerus duodenarius
et ſenarius diminuantur: et continuo deperdituꝫ
bus numeris inequalibus manent in eadem pro-
portione in qua ſe habent illi numeri in principio
deperditionis: numeri remanētes cõtinuo manēt
in eadem ꝓportione. vt ſi numerus duodenarius
et ſenarius diminuantur: et continuo deperdituꝫ
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib