20
machus.
riū ṫciū.
riū quītã
¶ Sequitur ſecunda pars de pro-
portionalitatibus et de quibuſdam
proportionum et proportionalita
tum proprietatibus et accidentiis.
portionalitatibus et de quibuſdam
proportionum et proportionalita
tum proprietatibus et accidentiis.
Capitulum primum in quo a:
gitur de diffinitione et diuiſione
proportionalitatum.
11Nicho-gitur de diffinitione et diuiſione
proportionalitatum.
machus.
pRoportionalitas iux
ta nichomachi ſententiam
plurimum ad aſtrologiam
muſicam, veterum lectio-
nes intelligendas confert.
Sed profecto ad phiſicam
phiſicaſ calculatões nõ mi
nꝰ cõducit Ad cuiꝰ ītelligēti
am aduertēdū eſt differētiã eſſe inter ꝓportionē et
ꝓportionalitatē. 22ꝓportio. ¶ Proportio em̄ / vt dictum eſt
habitudo eſt duarū quantitatū ad inuicē cõpara-
tarū. De qua ſuperius dictū eſt. 33Propor
tiõalitaſ ¶ Sed ꝓportiõa
litas eſt duarū ꝓportionū vel pluriū vnius ad al
teram certa habitudo. Ita vt ꝓportio: habitudo
ſit numerorū ſiue quantitatū: ꝓportionalitas ve
ro proportionū collatio exiſtat. Sicut em̄ numeri
ad inuicē cõparãtur in maioritate et in minoritate
ita ꝓportiones ad inuiceꝫ in maioritate et minori
tate referūtur. ¶ Naſcitur hinc oēm ꝓportionali
tatem ꝓportionē eſſe: quãuis nõ omīs ꝓportio ꝓ-
portionalitas exiſtat. 44Correla
riū ṗmū Patet hoc correlariū ex ſe
Nam ꝓportio, aut genus, aut loco generis ſe ha-
bet cū huic termino ꝓportionalitas comparatur
Et aduerte / in ꝓpoſito idem eſt medietas equa-
litas et ꝓportionalitas: et eodē modo diffiniūtur.
55medietaſ Medietas em̄ eſt duarum vel pluriū ꝓportionum
vnius ad alterã certa habitudo: vt habitudo que
eſt inter ꝓportionē duplã et quadrupã. 66Diuiſio
ꝓportio
nalitate. ¶ Poſita
diffintione ꝓportionalitatis ponēda eſt diuiſio.
77Undecim
medieta
tes. Apud recentiores mathematicos vndecim ſunt
ꝓportionalitates ſiue medietates: quarū vltima
perfectiſſima eſt: qm̄ in ea oēs conſonãtie muſica
les ſimplices reperiūtur. Sed apud ãtiquos tres
ꝓportionalitates famate reperiūtur: videlicet a-
rithmetica, geometrica, et muſica ſiue harmonica
88ꝓportio
nalitas
arithme
tica. ¶ Unde ꝓportionalitas arithmetica eſt quando
diſpoſitis tribus quattuor vel pluribus terminis
inter eos eedem differētie: ſed nõ eedem ꝓportio-
nes reperiūtur. Exemplū / vt diſpoſitis his tribus
terminis ſine numeris .1.3.5. inter quos nõ eadem
ꝓportio reperitur: ſed bene eadē differētia. Uniꝰ
em̄ ad .3. eſt ꝓpotio ſubtripla: et triū ad .5. eſt pro-
portio ſubſuꝑbipartiēs tertias. Modo ille pro-
portiones nõ ſunt ſimiles. Differentia tamen. i ex
ceſſus quo ſecūdus numerꝰ excedit primū eſt equa
lis differentie qua tertius excedit ſecundum: quia
vtra dr̄a eſt binarius. In ꝓpoſito em̄ / hoc eſt in
data diffinitione per terminos intelligas nume-
ros ſereatim poſitos vel ea que ſe habēt vt nume
ri ſereatim poſiti: 99Differen
tia. et ꝑ differētias ītelligas exceſſū
quo vnus numerus excedit alterū. Reperies autē /
hanc ꝓportionalitatē in naturali ſerie numerorū
capiendo .6.7.8. comperies inter illos terminos
diuerſas ꝓportiones: quoniã primi ad ſecundum
eſt ꝓportio ſubſexquitertia / et ſecundi ad tertiū eſt
ꝓportio ſubſexq̇ſeptīa et eſt equalis differētia in-
tes illos terminos. Quare in illis terminis repe
ritur ꝓportionalitas arithmetica. Sunt enim illi
termini continuo proportionabiles arithmetice.
1010 Tertimini
ↄ̨tinuo ꝓ-
portiõa-
les ꝓpor
tõalitate
aritithme
tica.
Corrrela
riū ſcḋm ¶ Unde termini continuo proportionabiles pro-
portionalitate arithmetica ſunt illi inter quos cõ-
tinuo eſt equalis exceſſus ita ſicut primus exce-
dit ſecundum aliquo exceſſu: ita ſecundus excedat
tertium equali exceſſu: et tertius quartum / et ſic con
ſequenter: vel econtra ſi incipias a minoribus.
ta nichomachi ſententiam
plurimum ad aſtrologiam
muſicam, veterum lectio-
nes intelligendas confert.
Sed profecto ad phiſicam
phiſicaſ calculatões nõ mi
nꝰ cõducit Ad cuiꝰ ītelligēti
am aduertēdū eſt differētiã eſſe inter ꝓportionē et
ꝓportionalitatē. 22ꝓportio. ¶ Proportio em̄ / vt dictum eſt
habitudo eſt duarū quantitatū ad inuicē cõpara-
tarū. De qua ſuperius dictū eſt. 33Propor
tiõalitaſ ¶ Sed ꝓportiõa
litas eſt duarū ꝓportionū vel pluriū vnius ad al
teram certa habitudo. Ita vt ꝓportio: habitudo
ſit numerorū ſiue quantitatū: ꝓportionalitas ve
ro proportionū collatio exiſtat. Sicut em̄ numeri
ad inuicē cõparãtur in maioritate et in minoritate
ita ꝓportiones ad inuiceꝫ in maioritate et minori
tate referūtur. ¶ Naſcitur hinc oēm ꝓportionali
tatem ꝓportionē eſſe: quãuis nõ omīs ꝓportio ꝓ-
portionalitas exiſtat. 44Correla
riū ṗmū Patet hoc correlariū ex ſe
Nam ꝓportio, aut genus, aut loco generis ſe ha-
bet cū huic termino ꝓportionalitas comparatur
Et aduerte / in ꝓpoſito idem eſt medietas equa-
litas et ꝓportionalitas: et eodē modo diffiniūtur.
55medietaſ Medietas em̄ eſt duarum vel pluriū ꝓportionum
vnius ad alterã certa habitudo: vt habitudo que
eſt inter ꝓportionē duplã et quadrupã. 66Diuiſio
ꝓportio
nalitate. ¶ Poſita
diffintione ꝓportionalitatis ponēda eſt diuiſio.
77Undecim
medieta
tes. Apud recentiores mathematicos vndecim ſunt
ꝓportionalitates ſiue medietates: quarū vltima
perfectiſſima eſt: qm̄ in ea oēs conſonãtie muſica
les ſimplices reperiūtur. Sed apud ãtiquos tres
ꝓportionalitates famate reperiūtur: videlicet a-
rithmetica, geometrica, et muſica ſiue harmonica
88ꝓportio
nalitas
arithme
tica. ¶ Unde ꝓportionalitas arithmetica eſt quando
diſpoſitis tribus quattuor vel pluribus terminis
inter eos eedem differētie: ſed nõ eedem ꝓportio-
nes reperiūtur. Exemplū / vt diſpoſitis his tribus
terminis ſine numeris .1.3.5. inter quos nõ eadem
ꝓportio reperitur: ſed bene eadē differētia. Uniꝰ
em̄ ad .3. eſt ꝓpotio ſubtripla: et triū ad .5. eſt pro-
portio ſubſuꝑbipartiēs tertias. Modo ille pro-
portiones nõ ſunt ſimiles. Differentia tamen. i ex
ceſſus quo ſecūdus numerꝰ excedit primū eſt equa
lis differentie qua tertius excedit ſecundum: quia
vtra dr̄a eſt binarius. In ꝓpoſito em̄ / hoc eſt in
data diffinitione per terminos intelligas nume-
ros ſereatim poſitos vel ea que ſe habēt vt nume
ri ſereatim poſiti: 99Differen
tia. et ꝑ differētias ītelligas exceſſū
quo vnus numerus excedit alterū. Reperies autē /
hanc ꝓportionalitatē in naturali ſerie numerorū
capiendo .6.7.8. comperies inter illos terminos
diuerſas ꝓportiones: quoniã primi ad ſecundum
eſt ꝓportio ſubſexquitertia / et ſecundi ad tertiū eſt
ꝓportio ſubſexq̇ſeptīa et eſt equalis differētia in-
tes illos terminos. Quare in illis terminis repe
ritur ꝓportionalitas arithmetica. Sunt enim illi
termini continuo proportionabiles arithmetice.
1010 Tertimini
ↄ̨tinuo ꝓ-
portiõa-
les ꝓpor
tõalitate
aritithme
tica.
Corrrela
riū ſcḋm ¶ Unde termini continuo proportionabiles pro-
portionalitate arithmetica ſunt illi inter quos cõ-
tinuo eſt equalis exceſſus ita ſicut primus exce-
dit ſecundum aliquo exceſſu: ita ſecundus excedat
tertium equali exceſſu: et tertius quartum / et ſic con
ſequenter: vel econtra ſi incipias a minoribus.
¶ Ex quo elicitur omēs numeros in naturali ſerie
numerorum eſſe terminos continuo proportiona
biles proportionalitate arithmetica: quoniã con
tinuo ſe excedunt equali exceſſu puta vnitate
1111Correla-numerorum eſſe terminos continuo proportiona
biles proportionalitate arithmetica: quoniã con
tinuo ſe excedunt equali exceſſu puta vnitate
riū ṫciū.
¶ Sequitur vlterius proportiones duplam qua-
druplam, octuplam, ſexdecuplam, trigecuplam
ſecundam / et ſic conſequenter aſcēdendo per nume
ros pariter pares: eſſe terminos continuo propor
tionabiles arithmetice. quoniã continuo ille pro-
portiones ſe excedūt per equalem proportionem:
puta duplam Nam quadrupla excedit duplã per
duplam: et octupla excedit quadruplam etiam per
duplam: et ſimiliter ſexdecupla excedit octuplam
per duplã: igitur ille proportiones continuo ſūt
proportionabiles arithmetice. Antecedens patet /
quia addendo duplam ſupraduplã efficitur qua-
drupla: et addendo duplam ſupraquadruplã effi
citur octupla: et ſic conſequenter. Et ille proporti-
ones continuo per illa additamenta ſe excedūt: et
illa additamenta cõtinuo ſunt proportiones du-
ple / igitur cõtinuo ſe excedunt per proportionem
dulam: quod fuit probandum. Huius medietatis
proprietates in ſequenti capite patebunt. 1212Geome-
trica me-
dietas. Geo-
metrica autem medietas ſiue ꝓportionalitas eſt
quotienſcun tribus diſpoſitis terminis: aut plu
ribus inter eos eedem proportiones reperiuntur
eedeꝫ vero differētie nequā. Et per eaſdē ꝓpor-
tiones in propoſitio ītelligas proportiones equa
les. Et per equales proportiones intelligas pro-
portiones eiuſdem denominationis. Cuiuſmodi
ſunt proportio .4. ad .2. et 12. ad .6. Sunt em̄ eiuſ-
dem denominationis: eſt enim vtra illarum du-
pla: vt conſtat ex priori parte. Unde omnes duple
ſunt equales: oēs ſexquialtere, et oēs ſuprabipar-
tientes tertias. Exemplū / huius medietatis in his
terminis .2:4.8. reperitur: quoniã qualis eſt pro-
portio primi ad ſecūdum talis eſt proportio ſecū
di ad tertium: vtrobi enim ſubdupla proportio
inuenitur: ſed non ſunt eedem differentie: quoniã
tertius terminus ſecundum numero quaternario
excedit: ſecūdus vero primum binario dumtaxat
1313Correla
riū q̈rtū. ¶ Educitur ex dictis omnes numeros pariter pa-
res cõtinuo geometrice proportionari. Inter eas
enim cõtinuo proportio dupla eſt: vt patet in his
terminis. 2 4 8 16
1414Correladruplam, octuplam, ſexdecuplam, trigecuplam
ſecundam / et ſic conſequenter aſcēdendo per nume
ros pariter pares: eſſe terminos continuo propor
tionabiles arithmetice. quoniã continuo ille pro-
portiones ſe excedūt per equalem proportionem:
puta duplam Nam quadrupla excedit duplã per
duplam: et octupla excedit quadruplam etiam per
duplam: et ſimiliter ſexdecupla excedit octuplam
per duplã: igitur ille proportiones continuo ſūt
proportionabiles arithmetice. Antecedens patet /
quia addendo duplam ſupraduplã efficitur qua-
drupla: et addendo duplam ſupraquadruplã effi
citur octupla: et ſic conſequenter. Et ille proporti-
ones continuo per illa additamenta ſe excedūt: et
illa additamenta cõtinuo ſunt proportiones du-
ple / igitur cõtinuo ſe excedunt per proportionem
dulam: quod fuit probandum. Huius medietatis
proprietates in ſequenti capite patebunt. 1212Geome-
trica me-
dietas. Geo-
metrica autem medietas ſiue ꝓportionalitas eſt
quotienſcun tribus diſpoſitis terminis: aut plu
ribus inter eos eedem proportiones reperiuntur
eedeꝫ vero differētie nequā. Et per eaſdē ꝓpor-
tiones in propoſitio ītelligas proportiones equa
les. Et per equales proportiones intelligas pro-
portiones eiuſdem denominationis. Cuiuſmodi
ſunt proportio .4. ad .2. et 12. ad .6. Sunt em̄ eiuſ-
dem denominationis: eſt enim vtra illarum du-
pla: vt conſtat ex priori parte. Unde omnes duple
ſunt equales: oēs ſexquialtere, et oēs ſuprabipar-
tientes tertias. Exemplū / huius medietatis in his
terminis .2:4.8. reperitur: quoniã qualis eſt pro-
portio primi ad ſecūdum talis eſt proportio ſecū
di ad tertium: vtrobi enim ſubdupla proportio
inuenitur: ſed non ſunt eedem differentie: quoniã
tertius terminus ſecundum numero quaternario
excedit: ſecūdus vero primum binario dumtaxat
1313Correla
riū q̈rtū. ¶ Educitur ex dictis omnes numeros pariter pa-
res cõtinuo geometrice proportionari. Inter eas
enim cõtinuo proportio dupla eſt: vt patet in his
terminis. 2 4 8 16
riū quītã
¶ Sequitur ſecundo omnes numeros impares cõ
tinuo ſe triplantes incipiendo a ternario conti-
nuo proportionari geometrice. Nam ſi continuo
ſe triplant: continuo ſe habent in proportione tri
pla: ex quo quilibet ſequens immediate preceden
tem ter continet: vt patet in his terminis .3.9.2.7.
1515Correla
riū ſextã ¶ Elicitur tertio omnes proportiones denomi-
natas a numeris pariter paribus relinquendo
poſt ſecundum numerum pariter parem vnum nu
merum: poſt quartum duos poſt ſeptimum quat
tuor: et ſic conſequenter duplando continuo nu-
meros intermiſſos: eſſe terminos
tinuo ſe triplantes incipiendo a ternario conti-
nuo proportionari geometrice. Nam ſi continuo
ſe triplant: continuo ſe habent in proportione tri
pla: ex quo quilibet ſequens immediate preceden
tem ter continet: vt patet in his terminis .3.9.2.7.
1515Correla
riū ſextã ¶ Elicitur tertio omnes proportiones denomi-
natas a numeris pariter paribus relinquendo
poſt ſecundum numerum pariter parem vnum nu
merum: poſt quartum duos poſt ſeptimum quat
tuor: et ſic conſequenter duplando continuo nu-
meros intermiſſos: eſſe terminos