43 portionis multiplicis vel multiplicis ſuperparti
cularis, vel multiplicis ſuprapartientis. Falſitas
conſequentis probatur: quoniam ſi c. eſt pars ali
quota multiplicis ꝓportionis: capio talem ꝓpor
tionem multiplicem inter primos terminos eius:
et arguo ſic: c: proportio multiplex ſuperparticu-
laris, aut multiplex ſnpraꝑtiens, eſt pars aliquo
ta alicuius ꝓportionis multiplicis: igitur ex ali-
quot c. illa proportio multiplex componitur. igi-
tur ex conſequenti ſequitur / alicuius termini in-
termedii ad minimum extremū ipſius proportio-
nis mĺtiplicis / qḋ minimū externū ē vnitas ē ꝓpor
tio c. / vt patet ex tertia ſuppoſitione: et illa ꝓpor-
tio c. eſt multiplex ſuꝑparticularis, aut multiplex
ſuꝑperpartiens: igitur alicuius numeri ad vnita-
tem eſt ꝓportio multiplex ſuprapartiens aut mul
tiplex ſuperparticularis quod eſt oppoſitum ſex-
te ſuppoſitionis: et per conſequens falſum: et ex
conſequenti illud ex quo ſequitur videlicet / c. eſt
ꝓportio multiplex ſuperparticularis, aut multi-
plex ſuprapartiens. Et ſic patet concluſio.
cularis, vel multiplicis ſuprapartientis. Falſitas
conſequentis probatur: quoniam ſi c. eſt pars ali
quota multiplicis ꝓportionis: capio talem ꝓpor
tionem multiplicem inter primos terminos eius:
et arguo ſic: c: proportio multiplex ſuperparticu-
laris, aut multiplex ſnpraꝑtiens, eſt pars aliquo
ta alicuius ꝓportionis multiplicis: igitur ex ali-
quot c. illa proportio multiplex componitur. igi-
tur ex conſequenti ſequitur / alicuius termini in-
termedii ad minimum extremū ipſius proportio-
nis mĺtiplicis / qḋ minimū externū ē vnitas ē ꝓpor
tio c. / vt patet ex tertia ſuppoſitione: et illa ꝓpor-
tio c. eſt multiplex ſuꝑparticularis, aut multiplex
ſuꝑperpartiens: igitur alicuius numeri ad vnita-
tem eſt ꝓportio multiplex ſuprapartiens aut mul
tiplex ſuperparticularis quod eſt oppoſitum ſex-
te ſuppoſitionis: et per conſequens falſum: et ex
conſequenti illud ex quo ſequitur videlicet / c. eſt
ꝓportio multiplex ſuperparticularis, aut multi-
plex ſuprapartiens. Et ſic patet concluſio.
Quarta concluſio.
Nulla proportio
multiplex eſt commenſurabilis alicui proportio-
ni rationali non multiplici. Probatur: quia nul
la ꝓportio multiplex eſt commenſurabilis alicui
ſuperparticulari, aut ſuprapartienti / vt patet ex
ſecunda, nec alicui multiplici ſuꝑparticulari, aut
multiplici ſuprapartienti / vt ptꝫ ex tertia, igit̄̄ nul
la ꝓportio multiplex ↄ̨menſurabilis eſt alicui ꝓ-
portioni rationali non multiplici. Et ſic patet cõ
cluſio.
multiplex eſt commenſurabilis alicui proportio-
ni rationali non multiplici. Probatur: quia nul
la ꝓportio multiplex eſt commenſurabilis alicui
ſuperparticulari, aut ſuprapartienti / vt patet ex
ſecunda, nec alicui multiplici ſuꝑparticulari, aut
multiplici ſuprapartienti / vt ptꝫ ex tertia, igit̄̄ nul
la ꝓportio multiplex ↄ̨menſurabilis eſt alicui ꝓ-
portioni rationali non multiplici. Et ſic patet cõ
cluſio.
Quinta concluſio
Nulla proportio
ſuperparticularis eſt commenſurabilis alicui ꝓ-
portioni ſuperparticulari. Probatur ſupponen
do / inter cuiuſlibet ꝓportionis ſuperparticula
ris primos numeros nullus numerus mediat vt
viſum eſt in prima parte vbi agebatur de genera
tione ꝓportionum ſuperparticularium. quo ſup
poſito arguitur ſic: inter cuiuſlibet ꝓportionis ſu
perparticularis primos numeros nullus mediat
numerus: igitur nulla talis ex aliquot ītermediis
ꝓportionibus adequate componitur. Patet con
ſequentia / quia nulla eſt ꝓportio intermedia niſi
ſit numerus intermedius: et vltra ex nullis ꝓpor-
tionibus componitur. igitur nulla ꝓportio ē pars
aliquota eius: et per conſequens ipſa non eſt com
menſurabilis alicui proportioni ſuperparticula
ri. Patet conſequentia / quia alias aliquid eſſet
pars aliquota vtriuſ. Et ſic patet concluſio.
11obiectio.
ſuperparticularis eſt commenſurabilis alicui ꝓ-
portioni ſuperparticulari. Probatur ſupponen
do / inter cuiuſlibet ꝓportionis ſuperparticula
ris primos numeros nullus numerus mediat vt
viſum eſt in prima parte vbi agebatur de genera
tione ꝓportionum ſuperparticularium. quo ſup
poſito arguitur ſic: inter cuiuſlibet ꝓportionis ſu
perparticularis primos numeros nullus mediat
numerus: igitur nulla talis ex aliquot ītermediis
ꝓportionibus adequate componitur. Patet con
ſequentia / quia nulla eſt ꝓportio intermedia niſi
ſit numerus intermedius: et vltra ex nullis ꝓpor-
tionibus componitur. igitur nulla ꝓportio ē pars
aliquota eius: et per conſequens ipſa non eſt com
menſurabilis alicui proportioni ſuperparticula
ri. Patet conſequentia / quia alias aliquid eſſet
pars aliquota vtriuſ. Et ſic patet concluſio.
¶ Sed tu dices / hec ꝓbatio eſt inefficax: quoniã
concedit / aliqua proportio ex nullis ꝓportioni
bus componitur quod eſt contra ea que dicta ſūt
capite quarto huius partis. imo ꝓbatio nihil ali
ud probat niſi / ex nullis ꝓportionibus equalibꝰ
rationalibus componitur que ſint partes aliquo
te illius: cum hoc tamen ſtat / aliqua ꝓportio ir-
rationalis eſt pars aliquota duarum ꝓportionū
ſuperparticularium: et ſic erunt commenſurabi-
les. 22reiicitur
obiectio. ¶ Sed hoc non obſtat / quia nulla ꝓportio ſuꝑ
particularis componitur ex alia ſuperparticula
ri et vna irrationali: ſicut nec aliq̄ rationalis cõ-
ponitur ex vna rationali et altera irrationali a-
dequate / vt probãt mathemathici. igitur nulla ſu
ꝑparticularis continet alteram ſuꝑparticularem
ſemel aut aliquoties et vnam partem aliquotam
eius que ſit ꝓportio irrationalis: quia tunc com-
poneretur ex rationali et irrationali adequate:
nec aliqua ſuꝑparticularis continet alteram ſe-
mel vel aliquoties et aliquot partes eius aliquo-
tas que ſint proportiones irrationales: quia tunc
iam ille proportiones irrationales componerent
vnam rationalem: quia alias componeretur illa
ſuperparticularis ex rationali et irrationali: et ſi
ille partes aliquote faciant vnam rationalem iaꝫ
inter terminos illius ꝓportionis ſuꝑparticularis
reperientur aliquot ꝓportiones rationales equa
les / vt patet intuenti: quod tamen eſt falſum cum
non reperiantur inter primos numeros alicuius
ꝓportionis ſuꝑparticularis.
concedit / aliqua proportio ex nullis ꝓportioni
bus componitur quod eſt contra ea que dicta ſūt
capite quarto huius partis. imo ꝓbatio nihil ali
ud probat niſi / ex nullis ꝓportionibus equalibꝰ
rationalibus componitur que ſint partes aliquo
te illius: cum hoc tamen ſtat / aliqua ꝓportio ir-
rationalis eſt pars aliquota duarum ꝓportionū
ſuperparticularium: et ſic erunt commenſurabi-
les. 22reiicitur
obiectio. ¶ Sed hoc non obſtat / quia nulla ꝓportio ſuꝑ
particularis componitur ex alia ſuperparticula
ri et vna irrationali: ſicut nec aliq̄ rationalis cõ-
ponitur ex vna rationali et altera irrationali a-
dequate / vt probãt mathemathici. igitur nulla ſu
ꝑparticularis continet alteram ſuꝑparticularem
ſemel aut aliquoties et vnam partem aliquotam
eius que ſit ꝓportio irrationalis: quia tunc com-
poneretur ex rationali et irrationali adequate:
nec aliqua ſuꝑparticularis continet alteram ſe-
mel vel aliquoties et aliquot partes eius aliquo-
tas que ſint proportiones irrationales: quia tunc
iam ille proportiones irrationales componerent
vnam rationalem: quia alias componeretur illa
ſuperparticularis ex rationali et irrationali: et ſi
ille partes aliquote faciant vnam rationalem iaꝫ
inter terminos illius ꝓportionis ſuꝑparticularis
reperientur aliquot ꝓportiones rationales equa
les / vt patet intuenti: quod tamen eſt falſum cum
non reperiantur inter primos numeros alicuius
ꝓportionis ſuꝑparticularis.
Sexta concluſio
Inter rationales.
tantum ꝓportio multiplex commenſuratur ꝓpor
tioni multiplici. Probatur / quia proportio multi
plex eſt commenſurabilis ꝓportioni multiplici / vt
patet de quadrupla reſpectu duple: et inter ratio-
nales nulla non multiplex eſt cõmenſurabilis ali
cui ꝓportioni multiplici / vt patet ex quarta cõclu
ſione / igitur propoſitum. Conſequentia patet ex
dialectica.
tantum ꝓportio multiplex commenſuratur ꝓpor
tioni multiplici. Probatur / quia proportio multi
plex eſt commenſurabilis ꝓportioni multiplici / vt
patet de quadrupla reſpectu duple: et inter ratio-
nales nulla non multiplex eſt cõmenſurabilis ali
cui ꝓportioni multiplici / vt patet ex quarta cõclu
ſione / igitur propoſitum. Conſequentia patet ex
dialectica.
Septima concluſio
Omēs propor-
tiones multiplices quarum denominationes ſunt
de numero numerorum ſunt inter ſe cõmenſurabi
les. 33nicholaꝰ
horen. Hanc concluſionem ponit Nicholaus horen
ſub forma dicta: ſed pono eam ſub alia forma cla
riori. Omnes ꝓportiones multiplices ꝓcedentes
ſemper ſecundum dendminationem prime illarū
ſunt cõmenſurabiles: ita ſi prima illarum ſit du
pla. ſecunda immediate ſequens ſit etiam dupla:
et ſic conſequenter tales ſunt cõmenſurabiles. Et
vt paucis abſoluam omnes ꝓportiones quarum
quelibet īmediate ſequētes ſunt eiuſdem denomi
nationis cum prima ſunt commenſurabiles Pa-
tet hec concluſio / quoniam omnes tales ita ſe ha-
bent aliquid eſt pars aliquota vtriuſ / igitur.
Et ad hoc videndum diſponatur vna ſeries nūe-
rorum incipiendo ab vnitate ſemper duplando et
vna alia ſemper triplando, et alia quadruplan-
do, et alia quintuplando, et ſic in infinitum. et tunc
dico / omnes ꝓportiones primi ordinis ſunt cõ-
menſurabiles inter ſe. et quelibet cuilibet alteri il
lius ordines: Et ſic etiam dicendum eſt de ꝓportio
nibus alioruꝫ ordinum. Patet hoc in his figuris
tiones multiplices quarum denominationes ſunt
de numero numerorum ſunt inter ſe cõmenſurabi
les. 33nicholaꝰ
horen. Hanc concluſionem ponit Nicholaus horen
ſub forma dicta: ſed pono eam ſub alia forma cla
riori. Omnes ꝓportiones multiplices ꝓcedentes
ſemper ſecundum dendminationem prime illarū
ſunt cõmenſurabiles: ita ſi prima illarum ſit du
pla. ſecunda immediate ſequens ſit etiam dupla:
et ſic conſequenter tales ſunt cõmenſurabiles. Et
vt paucis abſoluam omnes ꝓportiones quarum
quelibet īmediate ſequētes ſunt eiuſdem denomi
nationis cum prima ſunt commenſurabiles Pa-
tet hec concluſio / quoniam omnes tales ita ſe ha-
bent aliquid eſt pars aliquota vtriuſ / igitur.
Et ad hoc videndum diſponatur vna ſeries nūe-
rorum incipiendo ab vnitate ſemper duplando et
vna alia ſemper triplando, et alia quadruplan-
do, et alia quintuplando, et ſic in infinitum. et tunc
dico / omnes ꝓportiones primi ordinis ſunt cõ-
menſurabiles inter ſe. et quelibet cuilibet alteri il
lius ordines: Et ſic etiam dicendum eſt de ꝓportio
nibus alioruꝫ ordinum. Patet hoc in his figuris
Et ſic etiam conſtitues ordines multarum ſuper-
particularium et ſuprapartientium etc. Quod au
tem iſte ſunt commenſurabiles probatur / quoniã
quelibet illius ordinis eſt equalis prime aut com
ponitur ex aliquot equalibus illi: igitur. ¶ Iſte
concluſiones dempta prima et ſexta ſunt Nicho-
lai horen cum ſuis probationibus ſaltem virtu-
tes probationum et fundamenta ſunt ex ipſo.
44cõtra ni-particularium et ſuprapartientium etc. Quod au
tem iſte ſunt commenſurabiles probatur / quoniã
quelibet illius ordinis eſt equalis prime aut com
ponitur ex aliquot equalibus illi: igitur. ¶ Iſte
concluſiones dempta prima et ſexta ſunt Nicho-
lai horen cum ſuis probationibus ſaltem virtu-
tes probationum et fundamenta ſunt ex ipſo.
cholauꝫ
horen.
¶ Sed videntur mihi ille probationes inefficaces
Fundatur enim principaliter probatio ſecūde ter
tie et quarte in hac ſuppoſitione cuiuſlibet ꝓpor
tionis multiplicis vnitas eſt minimum extremum
Modo illa ſuppoſitio falſa eſt / quoniam octo ad
quatuor eſt proportio multiplex: tamen neutrum
extremorum eius eſt vnitas: Sed diceret Nicho-
laus horen et bene / illa ſuppoſitio et ſi nõ ſit ve-
ra diſtribuendo pro ſingulis generum. eſt tamen
vera diſtribuendo pro generibus ſingulorum: et ī
Fundatur enim principaliter probatio ſecūde ter
tie et quarte in hac ſuppoſitione cuiuſlibet ꝓpor
tionis multiplicis vnitas eſt minimum extremum
Modo illa ſuppoſitio falſa eſt / quoniam octo ad
quatuor eſt proportio multiplex: tamen neutrum
extremorum eius eſt vnitas: Sed diceret Nicho-
laus horen et bene / illa ſuppoſitio et ſi nõ ſit ve-
ra diſtribuendo pro ſingulis generum. eſt tamen
vera diſtribuendo pro generibus ſingulorum: et ī