38 denominata a maiori numero vſ ad dupluꝫ in-
īcluſiue eſt maior quam ſubdupla ad illam ſuper-
particularem datam. Patet igitur correlarium.
119. correĺ. ¶ Sequitur nono / in omni proportione ſuper-
particulari proportio maximi extremi eiꝰ ad me-
dium eſt maior quam ſubdupla ad proportioneꝫ
medii ad minimū extremum: vt data proportione
ſexquitertia que eſt .8. ad .6. proportio .8. ad .7. eſt
maior quam ſubdupla ad proportionem .7. ad .6.
Probatur / quia ꝓportio maximi extremi ad me-
dium in proportione ſuperparticulari quecun
fuerit illa denominatur a numero ſuperparticu-
ri īmediate ſequenti numerum a quo denomina-
tur proportio medii ad minimū extremum / vt patꝫ
ex quarta parte ſexti correlarii: et ſic denomīatur
a numero minori duplo ad numeruꝫ a quo deno-
minatur proportio medii ad minimū extremum:
igitur talis proportio maximi ad medium eſt ma
ior quam ſubdupla ad proportionē medii ad mi-
nimuꝫ extremum. Patet conſequentia ex octauo
correlario. 2210. correĺ ¶ Sequitur decimo / in omni propor
tione ſuperparticulari ꝓportio maximi extremi
ad medium eſt maior quam ſubtripla ad illã pro-
portionem ſuperparticularem. Probatur / quia
dato oppoſito puta / ſit ſubtripla aut mīor ſub-
tripla: ſequeretur / ipſa eſſet ſubdupla adequate
ad proportionem medii ad minimū extremū, vel
minor quam ſubdupla: ſed conſequens eſt falſum /
vt patet ex nono correlario: igitur illud ex quo ſe-
quitur: et per conſequens correlarium verū / quod
fuit probandum. Sequela tamen probatur / quia
quando aliquid componitur ex duobus inequali
bus adequate: et minus illornm eſt ſubtriplū eius
puta vna tertia illud minus eſt ſubduplum ad re-
ſiduū puta ad duas tertias: et ſi illud ſit minꝰ quã
tertia illius totius illud eſt minus quã ſubdupluꝫ
ad totū reſiduū: ſed ſic eſt in propoſito per te igi-
tur intentum. 3311. correĺ. ¶ Sequitur vndecimo / data qua-
cun proportione ſuperparticulari denominata
ab aliquo numero: omnis proportio ſuperparti-
cularis denominata a numero excedente illū per
vnitatem adequate eſt maior quã medietas illius
proportionis date. Patet hoc correlariū ex octa
uo correlario: quia omnis talis denoīatur nu-
mero minori quam duplo ad numerū a quo deno
minatur data ſuperparticularis. 4412. correĺ. ¶ Sequit̄̄ duo-
decimo / data naturali ſerie proportionum ſu-
perticulariū puta ſexquialtera, ſexquitertia, ſex-
quiquarta, et ſic deinceps: quelibet proportio ſu-
perparticularis que denomīatur ab altero duo-
rum numerorum īmediate ſequentium numerū a
quo denominatur ſexquialtera eſt maior quã me-
dietas ſexquialtere: et quelibet denominata ab a-
liquo trium numerorum īmediate ſequentium nu
meruꝫ a quo denominatur ſexquitertia eſt maior
quã medietas ſexquitertie: et quelibet denomina-
ta ab aliquo quatuor numerorū īmediate ſequē-
tium numerū a quo denomīatur ſexquiquarta eſt
maior quam medietas eius: et ſic in infinitū ſemꝑ
addendo vnū. Patet hoc correlariū / quoniã que-
libet talis denominatur a numero duplo vel mi-
nori duplo ad numerū a quo denominatur data
proportio ſuꝑparticularis / vt patet intuenti: igi-
tur quelibet talis eſt maior quam medietas date
proportionis ſuperparticularis. Patet conſe-
quentia ex octauo correlario.
īcluſiue eſt maior quam ſubdupla ad illam ſuper-
particularem datam. Patet igitur correlarium.
119. correĺ. ¶ Sequitur nono / in omni proportione ſuper-
particulari proportio maximi extremi eiꝰ ad me-
dium eſt maior quam ſubdupla ad proportioneꝫ
medii ad minimū extremum: vt data proportione
ſexquitertia que eſt .8. ad .6. proportio .8. ad .7. eſt
maior quam ſubdupla ad proportionem .7. ad .6.
Probatur / quia ꝓportio maximi extremi ad me-
dium in proportione ſuperparticulari quecun
fuerit illa denominatur a numero ſuperparticu-
ri īmediate ſequenti numerum a quo denomina-
tur proportio medii ad minimū extremum / vt patꝫ
ex quarta parte ſexti correlarii: et ſic denomīatur
a numero minori duplo ad numeruꝫ a quo deno-
minatur proportio medii ad minimū extremum:
igitur talis proportio maximi ad medium eſt ma
ior quam ſubdupla ad proportionē medii ad mi-
nimuꝫ extremum. Patet conſequentia ex octauo
correlario. 2210. correĺ ¶ Sequitur decimo / in omni propor
tione ſuperparticulari ꝓportio maximi extremi
ad medium eſt maior quam ſubtripla ad illã pro-
portionem ſuperparticularem. Probatur / quia
dato oppoſito puta / ſit ſubtripla aut mīor ſub-
tripla: ſequeretur / ipſa eſſet ſubdupla adequate
ad proportionem medii ad minimū extremū, vel
minor quam ſubdupla: ſed conſequens eſt falſum /
vt patet ex nono correlario: igitur illud ex quo ſe-
quitur: et per conſequens correlarium verū / quod
fuit probandum. Sequela tamen probatur / quia
quando aliquid componitur ex duobus inequali
bus adequate: et minus illornm eſt ſubtriplū eius
puta vna tertia illud minus eſt ſubduplum ad re-
ſiduū puta ad duas tertias: et ſi illud ſit minꝰ quã
tertia illius totius illud eſt minus quã ſubdupluꝫ
ad totū reſiduū: ſed ſic eſt in propoſito per te igi-
tur intentum. 3311. correĺ. ¶ Sequitur vndecimo / data qua-
cun proportione ſuperparticulari denominata
ab aliquo numero: omnis proportio ſuperparti-
cularis denominata a numero excedente illū per
vnitatem adequate eſt maior quã medietas illius
proportionis date. Patet hoc correlariū ex octa
uo correlario: quia omnis talis denoīatur nu-
mero minori quam duplo ad numerū a quo deno
minatur data ſuperparticularis. 4412. correĺ. ¶ Sequit̄̄ duo-
decimo / data naturali ſerie proportionum ſu-
perticulariū puta ſexquialtera, ſexquitertia, ſex-
quiquarta, et ſic deinceps: quelibet proportio ſu-
perparticularis que denomīatur ab altero duo-
rum numerorum īmediate ſequentium numerū a
quo denominatur ſexquialtera eſt maior quã me-
dietas ſexquialtere: et quelibet denominata ab a-
liquo trium numerorum īmediate ſequentium nu
meruꝫ a quo denominatur ſexquitertia eſt maior
quã medietas ſexquitertie: et quelibet denomina-
ta ab aliquo quatuor numerorū īmediate ſequē-
tium numerū a quo denomīatur ſexquiquarta eſt
maior quam medietas eius: et ſic in infinitū ſemꝑ
addendo vnū. Patet hoc correlariū / quoniã que-
libet talis denominatur a numero duplo vel mi-
nori duplo ad numerū a quo denominatur data
proportio ſuꝑparticularis / vt patet intuenti: igi-
tur quelibet talis eſt maior quam medietas date
proportionis ſuperparticularis. Patet conſe-
quentia ex octauo correlario.
Quarta concluſio.
Quibuſcū dua
bus ꝓportiõibus inequalibus propoſitis: maior
illarū minorem per proportionē que eſt inter de-
nominationes earum excedit: vt captis quadru-
pla et tripla: quadrupla que eſt maior excedit tri-
plam per proportionem que eſt inter .4. et .3. que
eſt ſexquitertia. Et hoc ideo / quia tripla denomi-
natur a ternario quadrupla vero a quaternario
55Documē
tum. Et hic aduerte / aliud eſt dicere proportio qua-
drupla excedit triplam per proportionem ſexqui
tertiam: et ſe habet ad triplam in proportione ſex
quitertia. Nam ſexdecupla excedit octuplam per
proportionem duplam: et ſe habet ad illã in pro-
portione ſexquitertia / vt poſtea patebit. Et hoc do
cumentum debes memorie cõmendare ſi vis calcu
latorem intelligere in capitulo ſcḋo de medio nõ
reſiſtēte / qḋ ego voco de medio vniformiter diffor
miter reſiſtente. Probatur concluſio ſupponēdo
primū vnū manifeſtum / quod probatione non in-
diget: videlicet quacun quantitate continua
ſignata ad eã poteſt dari omnis proportio poſſi-
bilis capiendo maiorē quantitatem: quo ſuppo-
ſito capio duas proportiones f. maiorem et g. mi-
norem: et vtriuſ illarum proportionum minimū
extremum ſit c. quantitas continua: et aliud ex-
tremū f. proportionis ſit a. et aliud g. proportiõis
ſit b. / ita proportio f. ſit a. ad c. et proportio g. ſit
b. ad c. / et ſint illi primi termini illarum proporti-
onū gratia argumenti: et tunc dico / proportio f.
maior excedit proportionem g. per proportioneꝫ /
que eſt inter denominationes illaruꝫ / hoc eſt inter
terminos a quibus ille proportiones denominã-
tur puta inter a. et .b. Quod ſic probatur / q2 f. pro-
portio a. ad .c. maior componitur adequate ex ꝓ-
portione a. ad b. et ex proportione b. ad c. que eſt g /
vt patet ex ſecunda concluſione huius: igitur pro-
portio a. ad c. continet adequate proportioneꝫ b.
ad c. et vltra proportionē que eſt a. ad b. / igitur ꝓ-
portio f. que eſt a. ad c. excedit proportionē g. que
eſt b. ad c. per ꝓportionē que eſt a. ad b. / quod fuit
probandum. Illa eni3 eſt proportio inter primos
terminos illarum proportionū a quibus ille pro
portiones f. et g. denominantur. 661. correĺ. ¶ Ex hac conclu-
ſione ſequitur primo / capto vno termino habē-
te duas proportiones maioris inequalitatis ad
duos terminos minores inequales / vt oportet: ꝓ-
portio inter illos duos minores terminos eſt illa
per quam maior proportio excedit minorē: vt ca-
pto octonario numero habente proportioneꝫ ad
ternariū et quaternariū: dico / ꝓportio octona-
rii ad ternariū que eſt maior excedit proportionē
octonarii ad quaternariū minorē per ꝓportionē
que eſt inter quaternariū et ternariū. Probatur /
ſint due ꝓportiones puta f. ꝓportio que ſit a. ad
c. et g. ꝓportio minor que ſit a. ad b. / et tūc ego dico /
ꝓportio b. ad c. eſt illa per quã ꝓportio f. exce-
dit ꝓportionē g. Probatur / q2 ꝓportio f. cõponi-
tur adequate ex ꝓportione a. ad b. et ex ꝓportione
b. ad c. / vt patet ex ſecūda concluſione: igitur ꝓpor
tio f. que eſt a. ad c. addit adequate ſupra ꝓportio
nē g. que eſt a. ad b. ꝓportionē b. ad c. / et per conſe-
quens f. ꝓportio excedit ꝓportionē g. ꝑ ꝓportio-
nē b. ad c. adequate cū illaꝫ adequate addat vltra
alteraꝫ / et illa videlicet b. ad c. eſt proportio que eſt
inter terminos minores illarum duarum propor
tionum inequalium / igitur correlarium verum.
772. correĺ.
bus ꝓportiõibus inequalibus propoſitis: maior
illarū minorem per proportionē que eſt inter de-
nominationes earum excedit: vt captis quadru-
pla et tripla: quadrupla que eſt maior excedit tri-
plam per proportionem que eſt inter .4. et .3. que
eſt ſexquitertia. Et hoc ideo / quia tripla denomi-
natur a ternario quadrupla vero a quaternario
55Documē
tum. Et hic aduerte / aliud eſt dicere proportio qua-
drupla excedit triplam per proportionem ſexqui
tertiam: et ſe habet ad triplam in proportione ſex
quitertia. Nam ſexdecupla excedit octuplam per
proportionem duplam: et ſe habet ad illã in pro-
portione ſexquitertia / vt poſtea patebit. Et hoc do
cumentum debes memorie cõmendare ſi vis calcu
latorem intelligere in capitulo ſcḋo de medio nõ
reſiſtēte / qḋ ego voco de medio vniformiter diffor
miter reſiſtente. Probatur concluſio ſupponēdo
primū vnū manifeſtum / quod probatione non in-
diget: videlicet quacun quantitate continua
ſignata ad eã poteſt dari omnis proportio poſſi-
bilis capiendo maiorē quantitatem: quo ſuppo-
ſito capio duas proportiones f. maiorem et g. mi-
norem: et vtriuſ illarum proportionum minimū
extremum ſit c. quantitas continua: et aliud ex-
tremū f. proportionis ſit a. et aliud g. proportiõis
ſit b. / ita proportio f. ſit a. ad c. et proportio g. ſit
b. ad c. / et ſint illi primi termini illarum proporti-
onū gratia argumenti: et tunc dico / proportio f.
maior excedit proportionem g. per proportioneꝫ /
que eſt inter denominationes illaruꝫ / hoc eſt inter
terminos a quibus ille proportiones denominã-
tur puta inter a. et .b. Quod ſic probatur / q2 f. pro-
portio a. ad .c. maior componitur adequate ex ꝓ-
portione a. ad b. et ex proportione b. ad c. que eſt g /
vt patet ex ſecunda concluſione huius: igitur pro-
portio a. ad c. continet adequate proportioneꝫ b.
ad c. et vltra proportionē que eſt a. ad b. / igitur ꝓ-
portio f. que eſt a. ad c. excedit proportionē g. que
eſt b. ad c. per ꝓportionē que eſt a. ad b. / quod fuit
probandum. Illa eni3 eſt proportio inter primos
terminos illarum proportionū a quibus ille pro
portiones f. et g. denominantur. 661. correĺ. ¶ Ex hac conclu-
ſione ſequitur primo / capto vno termino habē-
te duas proportiones maioris inequalitatis ad
duos terminos minores inequales / vt oportet: ꝓ-
portio inter illos duos minores terminos eſt illa
per quam maior proportio excedit minorē: vt ca-
pto octonario numero habente proportioneꝫ ad
ternariū et quaternariū: dico / ꝓportio octona-
rii ad ternariū que eſt maior excedit proportionē
octonarii ad quaternariū minorē per ꝓportionē
que eſt inter quaternariū et ternariū. Probatur /
ſint due ꝓportiones puta f. ꝓportio que ſit a. ad
c. et g. ꝓportio minor que ſit a. ad b. / et tūc ego dico /
ꝓportio b. ad c. eſt illa per quã ꝓportio f. exce-
dit ꝓportionē g. Probatur / q2 ꝓportio f. cõponi-
tur adequate ex ꝓportione a. ad b. et ex ꝓportione
b. ad c. / vt patet ex ſecūda concluſione: igitur ꝓpor
tio f. que eſt a. ad c. addit adequate ſupra ꝓportio
nē g. que eſt a. ad b. ꝓportionē b. ad c. / et per conſe-
quens f. ꝓportio excedit ꝓportionē g. ꝑ ꝓportio-
nē b. ad c. adequate cū illaꝫ adequate addat vltra
alteraꝫ / et illa videlicet b. ad c. eſt proportio que eſt
inter terminos minores illarum duarum propor
tionum inequalium / igitur correlarium verum.
¶ Sequitur ſecundo / ſi duo numeri ſiue quanti-
tates ſe habent in proportione tripla ſubquadru
plum maioris eſt ſubſexquitertium minoris: et ſi
duo numeri ſe habēt in ꝓportiõe dupla ſubq̈dru-
plū maioris eſt ſubduplū minoris: quēadmodum
tates ſe habent in proportione tripla ſubquadru
plum maioris eſt ſubſexquitertium minoris: et ſi
duo numeri ſe habēt in ꝓportiõe dupla ſubq̈dru-
plū maioris eſt ſubduplū minoris: quēadmodum