Einstein, Albert. 'Die Grundlagen der allgemeinen Relativitaetstheorie'. Annalen der Physik, 49 7 (1916)

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    <html>
      <body>
        <p class="nopar">
          <pb/>
        </p>
        <p class="indent"/>
        <p class="noindent">transformieren, bezeichnen wir ebenfalls als kontravarianten
          <br/>
        Vierervektor. Aus (5a) folgt sogleich, daß die Summen
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_19169x.png" alt="(As ± Bs)" class="left" align="middle"/>
          <br/>
        ebenfalls Komponenten eines Vierervektors sind, wenn
          <span class="cmmi-12">A</span>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b"/>
            </span>
          </sup>
        und
          <br/>
          <span class="cmmi-12">B</span>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b"/>
            </span>
          </sup>
        es sind. Entsprechendes gilt für alle später als ,,Tensoren“
          <br/>
        einzuführenden Systeme (Regel von der Addition und Sub-
          <br/>
        traktion der </p>
        <p class="indent">
          <span class="cmti-12">Kovarianter Vierervektor. </span>
        Vier Größen
          <span class="cmmi-12">A</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17"/>
            </span>
          </sub>
        nennen wir die
          <br/>
        Komponenten eines kovarianten Vierervektors, wenn für jede
          <br/>
        beliebige Wahl des kontravarianten Vierervektors
          <span class="cmmi-12">B</span>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17"/>
            </span>
          </sup>
        </p>
        <table width="100%" class="equation">
          <tr>
            <td>
              <a id="x1-8r6"/>
              <center class="math-display">
                <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191610x.png" alt=" sum n An B = Invariante. n " class="math-display"/>
              </center>
            </td>
            <td width="5%">(6)</td>
          </tr>
        </table>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">Aus dieser Definition folgt das Transformationsgesetz des
          <br/>
        kovarianten Vierervektors. Ersetzt man nämlich auf der
          <br/>
        rechten Seite der </p>
        <center class="par-math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191611x.png" alt=" sum ' sum As'Bs = An Bn s n " class="par-math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">
          <span class="cmmi-12">B</span>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17"/>
            </span>
          </sup>
        durch den aus der Umkehrung der Gleichung (5a) folgenden
          <br/>
        </p>
        <center class="par-math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191612x.png" alt=" sum @-xnBs', s @ xs' " class="par-math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">so erhält </p>
        <center class="par-math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191613x.png" alt=" sum sum @ x sum Bs' ---n-An = Bs'As'. s n @ xs' s " class="par-math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">Hieraus folgt aber, weil in dieser Gleichung die
          <span class="cmmi-12">B</span>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-1b.png" alt="s" class="8x-x-1b"/>
            </span>
            <sup>
              <span class="cmsy-6">'</span>
            </sup>
          </sup>
        unabhängig
          <br/>
        voneinander frei wählbar sind, das Transformationsgesetz</p>
        <table width="100%" class="equation">
          <tr>
            <td>
              <a id="x1-9r7"/>
              <center class="math-display">
                <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191614x.png" alt=" sum A '= @-xn-A . s @ xs' n " class="math-display"/>
              </center>
            </td>
            <td width="5%">(7)</td>
          </tr>
        </table>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">
          <span class="cmbx-12">Bemerkungzur Vereinfachung der Schreibweise der Ausdr</span>
          <span class="cmbx-12">ücke.</span>
          <br/>
        </p>
        <p class="indent">Ein Blick auf die Gleichungen dieses Paragraphen zeigt,
          <br/>
        daß über Indizes, die zweimal unter einem Summenzeichen
          <br/>
        auftreten [z. B. der Index
          <span class="cmmi-12">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17"/>
          </span>
        in (5)], stets summiert wird,
          <br/>
        und zwar
          <span class="cmti-12">nur </span>
        über zweimal auftretende Indizes. Es ist des-
          <br/>
        halb möglich, ohne die Klarheit zu beeinträchtigen, die
          <br/>
        Summenzeichen wegzulassen. Dafür führen wir die Vorschrift
          <br/>
        ein: Tritt ein Index in einem Term eines Ausdruckes zweimal
          <br/>
        auf, so ist über ihn stets zu summieren, wenn nicht ausdrück-
          <br/>
        lich das Gegenteil bemerkt </p>
        <p class="indent"> Der Unterschied zwischen dem kovarianten und kontra-
          <br/>
        varianten Vierervektor liegt in dem Transformationsgesetz
          <br/>
        </p>
      </body>
    </html>
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