Einstein, Albert. 'Die Grundlagen der allgemeinen Relativitaetstheorie'. Annalen der Physik, 49 7 (1916)
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    <html>
      <body>
        <p class="indent">
          <pb/>
        </p>
        <p class="indent"/>
        <p class="noindent">[(7) bzw. (5)]. Beide Gebilde sind Tensoren im Sinne der
          <br/>
        obigen allgemeinen Bemerkung; hierin liegt ihre Bedeutung.
          <br/>
        Im Anschluß an Ricci und Levi-Civita wird der kontra-
          <br/>
        variante Charakter durch oberen, der kovariante durch unteren
          <br/>
        Index </p>
        <div class="center">
          <p class="noindent"/>
          <p class="noindent">
            <span class="cmbsy-10x-x-120">§ </span>
            <span class="cmbx-12">6. Tensoren zweiten und h</span>
            <span class="cmbx-12">öheren Ranges.</span>
          </p>
        </div>
        <p class="indent">
          <span class="cmti-12">Kontravarianter Tensor. </span>
        Bilden wir sämtliche 16 Produkte
          <br/>
          <span class="cmmi-12">A</span>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17"/>
            </span>
          </sup>
        der Komponenten
          <span class="cmmi-12">A</span>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
            </span>
          </sup>
        und
          <span class="cmmi-12">B</span>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17"/>
            </span>
          </sup>
        zweier kontravarianten
          <br/>
        </p>
        <table width="100%" class="equation">
          <tr>
            <td>
              <a id="x1-10r8"/>
              <center class="math-display">
                <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191615x.png" alt="Amn = Am Bn, " class="math-display"/>
              </center>
            </td>
            <td width="5%">(8)</td>
          </tr>
        </table>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">so erfüllt
          <span class="cmmi-12">A</span>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17"/>
            </span>
          </sup>
        gemäß (8) und (5a) das </p>
        <table width="100%" class="equation">
          <tr>
            <td>
              <a id="x1-11r9"/>
              <center class="math-display">
                <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191616x.png" alt=" ' ' Ast'= @-xs- @ xt-Am n. @ xm @ xn " class="math-display"/>
              </center>
            </td>
            <td width="5%">(9)</td>
          </tr>
        </table>
        <p class="nopar"/>
        <p class="indent"> Wir nennen ein Ding, das bezüglich eines jeden Bezugs-
          <br/>
        systems durch 16 Größen (Funktionen) beschrieben wird, die
          <br/>
        das Transformationsgesetz (9) erfüllen, einen kontravarianten
          <br/>
        Tensor zweiten Ranges. Nicht jeder solcher Tensor läßt sich
          <br/>
        gemäß (8) aus zwei Vierervektoren bilden. Aber es ist leicht
          <br/>
        zu beweisen, daß sich 16 beliebig gegebene
          <span class="cmmi-12">A</span>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17"/>
            </span>
          </sup>
        darstellen
          <br/>
        lassen als die Summe der
          <span class="cmmi-12">A</span>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
            </span>
          </sup>
          <span class="cmmi-12">B</span>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17"/>
            </span>
          </sup>
        von vier geeignet gewählten
          <br/>
        Paaren von Vierervektoren. Deshalb kann man beinahe alle
          <br/>
        Sätze, die für den durch (9) definierten Tensor zweiten Ranges
          <br/>
        gelten, am einfachsten dadurch beweisen, daß man sie für
          <br/>
        spezielle Tensoren vom Typus (8) </p>
        <p class="indent">
          <span class="cmti-12">Kontravarianter Tensor beliebigen Ranges. </span>
        Es ist klar, daß
          <br/>
        man entsprechend (8) und (9) auch kontravariante Tensoren
          <br/>
        dritten und höheren Ranges definieren kann mit 4
          <sup>
            <span class="cmr-8">3</span>
          </sup>
        usw.
          <br/>
        Komponenten. Ebenso erhellt aus (8) und (9), daß man in
          <br/>
        diesem Sinne den kontravarianten Vierervektor als kontra-
          <br/>
        varianten Tensor ersten Ranges auffassen </p>
        <p class="indent">
          <span class="cmti-12">Kovarianter Tensor. </span>
        Bildet man andererseits die 16 Pro-
          <br/>
        dukte
          <span class="cmmi-12">A</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17"/>
            </span>
          </sub>
        der Komponenten zweier
          <span class="cmti-12">kovarianter </span>
        Vierervektoren
          <br/>
          <span class="cmmi-12">A</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
            </span>
          </sub>
        und
          <span class="cmmi-12">B</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17"/>
            </span>
          </sub>
        </p>
        <table width="100%" class="equation">
          <tr>
            <td>
              <a id="x1-12r10"/>
              <center class="math-display">
                <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191617x.png" alt="Amn = Am Bn, " class="math-display"/>
              </center>
            </td>
            <td width="5%">(10)</td>
          </tr>
        </table>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">so gilt für diese das Transformationsgesetz</p>
        <table width="100%" class="equation">
          <tr>
            <td>
              <a id="x1-13r11"/>
              <center class="math-display">
                <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191618x.png" alt=" ' @ xm @ xn Ast = ----'----'Amn . @ xs @ xt " class="math-display"/>
              </center>
            </td>
            <td width="5%">(11)</td>
          </tr>
        </table>
        <p class="nopar"> </p>
      </body>
    </html>
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