Einstein, Albert. 'Die Grundlagen der allgemeinen Relativitaetstheorie'. Annalen der Physik, 49 7 (1916)

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    <html>
      <body>
        <p class="nopar">
          <pb/>
        </p>
        <p class="indent"/>
        <p class="indent"> Durch dieses Transformationsgesetz wird der kovariante
          <br/>
        Tensor zweiten Ranges definiert. Alle Bemerkungen, welche
          <br/>
        vorher über die kontravarianten Tensoren gemacht wurden,
          <br/>
        gelten auch für die kovarianten </p>
        <p class="indent">
          <span class="cmti-12">Bemerkung. </span>
        Es ist bequem, den Skalar (Invariante) so-
          <br/>
        wohl als kontravarianten wie als kovarianten Tensor vom
          <br/>
        Range Null zu </p>
        <p class="indent">
          <span class="cmti-12">Gemischter Tensor. </span>
        Man kann auch einen Tensor zweiten
          <br/>
        Ranges vom Typus</p>
        <table width="100%" class="equation">
          <tr>
            <td>
              <a id="x1-14r12"/>
              <center class="math-display">
                <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191619x.png" alt="A n = A Bn m m " class="math-display"/>
              </center>
            </td>
            <td width="5%">(12)</td>
          </tr>
        </table>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">definieren, der bezüglich des Index
          <span class="cmmi-12">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle"/>
          </span>
        kovariant, bezüglich
          <br/>
        des Index
          <span class="cmmi-12">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17"/>
          </span>
        kontravariant ist. Sein Transformationsgesetz ist</p>
        <table width="100%" class="equation">
          <tr>
            <td>
              <a id="x1-15r13"/>
              <center class="math-display">
                <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191620x.png" alt=" ' Ast'= @ xt-@-xa-Ab . @ xb @ xs' a " class="math-display"/>
              </center>
            </td>
            <td width="5%">(13)</td>
          </tr>
        </table>
        <p class="nopar"/>
        <p class="indent"> Natürlich gibt es gemischte Tensoren mit beliebig vielen
          <br/>
        Indizes kovarianten und beliebig vielen Indizes kontravarianten
          <br/>
        Charakters. Der kovariante und der kontravariante Tensor
          <br/>
        können als spezielle Fälle des gemischten angesehen </p>
        <p class="indent">
          <span class="cmti-12">Symmetrische Tensoren. </span>
        Ein kontravarianter bzw. ko-
          <br/>
        varianter Tensor zweiten oder höheren Ranges heißt
          <span class="cmti-12">sym- </span>
          <br/>
          <span class="cmti-12">metrisch</span>
        , wenn zwei Komponenten, die durch Vertauschung
          <br/>
        irgend zweier Indizes auseinander hervorgehen, gleich sind.
          <br/>
        Der Tensor
          <span class="cmmi-12">A</span>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17"/>
            </span>
          </sup>
        bzw.
          <span class="cmmi-12">A</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17"/>
            </span>
          </sub>
        ist also symmetrisch, wenn für jede
          <br/>
        Kombination der Indizes</p>
        <table width="100%" class="equation">
          <tr>
            <td>
              <a id="x1-16r14"/>
              <center class="math-display">
                <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191621x.png" alt=" mn nm A = A , " class="math-display"/>
              </center>
            </td>
            <td width="5%">(14)</td>
          </tr>
        </table>
        <p class="nopar"> </p>
        <table width="100%" class="equation">
          <tr>
            <td>
              <a id="x1-17r15"/>
              <center class="math-display">
                <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191622x.png" alt="Am n = Anm " class="math-display"/>
              </center>
            </td>
            <td width="5%">(14a)</td>
          </tr>
        </table>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent"/>
        <p class="indent"> Es muß bewiesen werden, daß die so definierte Symmetrie
          <br/>
        eine vom Bezugssystem unabhängige Eigenschaft ist. (Aus (9)
          <br/>
        folgt in der Tat mit Rücksicht auf (14)</p>
        <center class="par-math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191623x.png" alt=" st' @-xs'@-xt' mn @ xs'-@-xt' nm @-xt' @ xs' m n ts' A = @ xm @ xn A = @ xm @ xn A = @ xm @ xn A = A . " class="par-math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">Die vorletzte Gleichsetzung beruht auf der Vertauschung der
          <br/>
        Summationsindizes
          <span class="cmmi-12">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle"/>
          </span>
        und
          <span class="cmmi-12">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17"/>
          </span>
        (d. h. auf bloßer Änderung der
          <br/>
        Bezeichnungsweise). </p>
        <p class="indent">
          <span class="cmti-12">Antisymmetrische Tensoren. </span>
        Ein kontravarianter bzw. ko-
          <br/>
        varianter Tenor zweiten, dritten oder vierten Ranges heißt
          <br/>
        </p>
      </body>
    </html>
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