Einstein, Albert - Die Grundlagen der allgemeinen Relativitaetstheorie

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Determinante des Fundamentaltensors. Nach dem Multi-
plikationssatz der Determinanten

|gma gan| = |gma| |gan|.

Andererseits

an n |g ma g |= |dm |= 1.

Also folgt

mn |gmn||g |= 1.

(17)

Invariante des Volumens. Wir suchen zuerst das Trans-
formationsgesetz der Determinante g = |g | mn . Gemäß (11)

| | ' |@ xm @ xn | g = ||----'----'g mn||. @ xs @ xt

Hieraus folgt durch zweimalige Anwendung des Multiplikations-
satzes der

| || | | |2 g'= ||@--xm||||-@-xn |||g |= ||-@-xm|| g, |@ xs'||@ xt'| mn |@ xs'|

oder

| | V~ -'- ||@-xm-|| V~ - g = |@ xs'| g.

Andererseits ist das Gesetz der Transformation des Volum-
elementes

integral ' d t = d x1 d x2 d x3 d x4

nach dem bekannten Jakobischen

| '| d t'= ||@-xs-||d t. |@ xm |

Durch Multiplikation der beiden letzten Gleichungen erhält
man

V~ --- g'd t'= V~ g-d t.

(18)

Statt V~ g wird im folgenden die Größe V~ --g eingeführt, welche
wegen des hyperbolischen Charakters des zeiträumlichen Kon-
tinuums stets einen reellen Wert hat. Die Invariante V~ ---- -g d
ist gleich der Größe des im ,,örtlichen Bezugssystem“ mit
starren Maßstäben und Uhren im Sinne der speziellen Rela-
tivitätstheorie gemessenen vierdimensionalen

Bemerkung über den Charakter des raumzeitlichen Kon-
tinuums. Unsere Voraussetzung, daß im unendlich Kleinen
stets die spezielle Relativitätstheorie gelte, bringt es mit sich,

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