Beispiele:

Besonders sei auf folgende Bildungen

(,,Ergänzung“ des kovarianten bzw. kontravarianten Tensors)
und

Wir nennen B den zu A gehörigen reduzierten Tensor.
Analog

Es sei bemerkt, daß g nichts anderes ist als die Ergänzung
von g. Denn man

Da das ,,Linienelement“ d s eine unabhängig vom Koordi-
natensystem definierte Größe ist, hat auch die zwischen zwei
Punkten P₁ und P₂ des vierdimensionalen Kontinuums ge-
zogene Linie, für welche d s ein Extremum ist (geodätische
Linie), eine von der Koordinatenwahl unabhängige Bedeutung.
Ihre Gleichung ist

(20)

Aus dieser Gleichung findet man in bekannter Weise durch
Ausführung der Variation vier totale Differentialgleichungen,
welche diese geodätische Linie bestimmen; diese Ableitung
soll der Vollständigkeit halber hier Platz finden. Es sei eine
Funktion der Koordinaten x; diese definiert eine Schar von
Flächen, welche die gesuchte geodätische Linie sowie alle ihr
unendlich benachbarten, durch die Punkte P₁ und P₂ gezoge-
nen Linien schneiden. Jede solche Kurve kann dann dadurch
gegeben gedacht werden, daß ihre Koordinaten x in Funk-
tion von ausgedrückt werden. Das Zeichen entspreche
dem Übergang von einem Punkte der gesuchten geodätischen