Einstein, Albert - Die Grundlagen der allgemeinen Relativitaetstheorie

Linie zu demjenigen Punkte einer benachbarten Kurve, welcher
zu dem gehört. Dann läßt sich (20) durch

integral c2 d w d c = 0 { c1 2 d xm d xn w = gmn---------- d c d c

(20a)

ersetzen. Da

{ ( )} d w = 1- 1-@-gm-nd-xm-d-xn-d xs + g mnd-xm-d d-xn- , w 2 @ xs d c d c d c d c

so erhält man nach Einsetzen von w in (20a) mit Rücksicht
darauf, daß

( ) d-xn- d-d-xn d d c = d c ,

nach partieller Integration

integral c2 d c xs d xs = 0 { c1 { } -d-- g-mn d xm- -1--@ g-mnd-xm-d-xn xs = d c w @ c - 2w @ x d c d c . s

(20b)

Hieraus folgt wegen der freien Wählbarkeit der x das Ver-
schwinden der x. Also sind

xs = 0

(20c)

die Gleichungen der geodätischen Linie. Ist auf der betrach-
teten geodätischen Linie nicht d s = 0, so können wir als
Parameter die auf der geodätischen Linie gemessene ,,Bogen-
länge“ s wählen. Dann wird w = 1, und man erhält an Stelle
von

d2 x @ g d x d x 1 @ g d x d x gm n----m2-+ ----mn----s---m-- ------mn---m----n-= 0, d s @ xs d c d c 2 @ xs d c d c

oder durch bloße Änderung der Bezeichnungsweise

|_ _| 2 m n g d--xa-+ s d-xmd-xn-= 0, as d s2 |_ _| d s d s

(20d)

wobei nach Christoffel gesetzt ist

|_ _| m n ( ) s = 1- @-gms-+ @-gns-- @ g-mn . |_ _| 2 @ xn @ xm @ xs

(21)

Multipliziert man endlich (20d) mit g (äußere Multiplikation
bezüglich , innere bezüglich ), so erhält man schließlich als
endgültige Form der Gleichung der geodätischen Linie

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