Einstein, Albert. 'Die Grundlagen der allgemeinen Relativitaetstheorie'. Annalen der Physik, 49 7 (1916)

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    <html>
      <body>
        <p class="noindent">
          <pb/>
        </p>
        <p class="indent"/>
        <p class="noindent">auf welcher wir differenziiert haben, eine geodätische Kurve
          <br/>
        sei, so erhalten wir nach (22) durch Ersetzen von
          <span class="cmmi-12">d</span>
          <sup>
            <span class="cmr-8">2</span>
          </sup>
          <span class="cmmi-12">x</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17"/>
            </span>
          </sub>
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191683x.png" alt="/" class="left" align="middle"/>
          <span class="cmmi-12">d s</span>
          <sup>
            <span class="cmr-8">2</span>
          </sup>
        </p>
        <center class="par-math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191684x.png" alt=" m n { --@2-f---- { } -@-f-} d-xm-d-xn- x = @ x @ x - t @ x d s d s . m n t " class="par-math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"/>
        <p class="indent"> Aus der Vertauschbarkeit der Differentiationen nach
          <span class="cmmi-12">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle"/>
          </span>
          <br/>
        und
          <span class="cmmi-12">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17"/>
          </span>
        und daraus, daß gemäß (23) und (21) die Klammer
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191685x.png" alt=" mn { t }" class="left" align="middle"/>
          <br/>
        bezüglich
          <span class="cmmi-12">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle"/>
          </span>
        und
          <span class="cmmi-12">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17"/>
          </span>
        symmetrisch ist, folgt, daß der Klammer-
          <br/>
        ausdruck in
          <span class="cmmi-12">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle"/>
          </span>
        und
          <span class="cmmi-12">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17"/>
          </span>
        symmetrisch ist. Da man von einem
          <br/>
        Punkt des Kontinuums aus in beliebiger Richtung eine geo-
          <br/>
        dätische Linie ziehen kann,
          <span class="cmmi-12">d x</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
            </span>
          </sub>
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191686x.png" alt="/" class="left" align="middle"/>
          <span class="cmmi-12">d s</span>
        also ein Vierervektor mit
          <br/>
        frei wählbarem Verhältnis der Komponenten ist, folgt nach
          <br/>
        den Ergebnissen des
          <span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>
        7, daß</p>
        <table width="100%" class="equation">
          <tr>
            <td>
              <a id="x1-34r25"/>
              <center class="math-display">
                <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191687x.png" alt=" @2 f { m n} @ f Am n = ----------- t -----: @ xm @ xm @ xt " class="math-display"/>
              </center>
            </td>
            <td width="5%">(25)</td>
          </tr>
        </table>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">ein kovarianter Tensor zweiten Ranges ist. Wir haben also
          <br/>
        das Ergebnis gewonnen: Aus dem kovarianten Tensor ersten
          <br/>
        Ranges</p>
        <center class="par-math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191688x.png" alt=" @ f Am = ----- @ xm " class="par-math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">können wir durch Differentiation einen kovarianten Tensor
          <br/>
        zweiten Ranges</p>
        <table width="100%" class="equation">
          <tr>
            <td>
              <a id="x1-35r26"/>
              <center class="math-display">
                <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191689x.png" alt=" { m n } A = @-Am- - t A mn @ xn t " class="math-display"/>
              </center>
            </td>
            <td width="5%">(26)</td>
          </tr>
        </table>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">bilden. Wir nennen den Tensor
          <span class="cmmi-12">A</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17"/>
            </span>
          </sub>
        die ,,
          <span class="cmti-12">Erweiterung</span>
        “ des
          <br/>
        Tensors
          <span class="cmmi-12">A</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
            </span>
          </sub>
        . Zunächst können wir leicht zeigen, daß diese
          <br/>
        Bildung auch dann auf einen Tensor führt, wenn der Vektor
          <span class="cmmi-12">A</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
            </span>
          </sub>
          <br/>
        nicht als ein Gradient darstellbar ist. Um dies einzusehen,
          <br/>
        bemerken wir zunächst, daß</p>
        <center class="par-math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191690x.png" alt=" @ f y @-x-- m " class="par-math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">ein kovarianter Vierervektor ist, wenn
          <span class="cmmi-12">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle"/>
          </span>
        und
          <span class="cmmi-12">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle"/>
          </span>
        Skalare sind.
          <br/>
        Dies ist auch der Fall für eine aus vier solchen Gliedern be-
          <br/>
        stehende </p>
        <center class="par-math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_191691x.png" alt=" @ f(1) @ f(4) Sm = y(1)------+ .+ .+ y(4)------, @ xm @ xm " class="par-math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">falls
          <span class="cmmi-12">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-20.png" alt="y" class="12x-x-20"/>
          </span>
          <sup>
            <span class="cmr-8">(1)</span>
          </sup>
          <span class="cmmi-12">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle"/>
          </span>
          <sup>
            <span class="cmr-8">(1)</span>
          </sup>
          <span class="cmmi-12">...</span>
          <span class="cmmi-12">.
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-20.png" alt="y" class="12x-x-20"/>
          </span>
          <sup>
            <span class="cmr-8">(4)</span>
          </sup>
          <span class="cmmi-12">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle"/>
          </span>
          <sup>
            <span class="cmr-8">(4)</span>
          </sup>
        Skalare sind. Nun ist aber klar, daß
          <br/>
        sich jeder kovariante Vierervektor in der Form
          <span class="cmmi-12">S</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
            </span>
          </sub>
        darstellen
          <br/>
        läßt. Ist nämlich
          <span class="cmmi-12">A</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
            </span>
          </sub>
        ein Vierervektor, dessen Komponenten
          <br/>
        </p>
      </body>
    </html>
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