Einstein, Albert. 'Die Grundlagen der allgemeinen Relativitaetstheorie'. Annalen der Physik, 49 7 (1916)

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    <html>
      <body>
        <p class="nopar">
          <pb/>
        </p>
        <p class="indent"/>
        <p class="indent">
          <span class="cmti-12">Divergenz des kontravarianten Vierervektors. </span>
        Multipliziert
          <br/>
        man (26) mit dem kontravarianten Fundamentaltensor
          <span class="cmmi-12">g</span>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17"/>
            </span>
          </sup>
          <br/>
        (innere Multiplikation), so nimmt die rechte Seite nach Um-
          <br/>
        formung des ersten Gliedes zunächst die Form an</p>
        <center class="par-math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916111x.png" alt=" mn ( ma ) -@-- mn @g--- 1- ta @g--- @gna- @g-mn mn @xn (g Am) - Am @xn - 2 g @xn + @xm - @xa g At . " class="par-math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">Das letzte Glied dieses Ausdruckes kann gemäß (31) und (29)
          <br/>
        in die </p>
        <center class="par-math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916112x.png" alt=" V~ -- 1-@-gt-n 1-@-gtm- --1-- @----g- mn 2 @ xn At + 2 @ xm At + V~ --g @ xa g At. " class="par-math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">gebracht werden. Da es auf die Benennung der Summations-
          <br/>
        indizes nicht ankommt, heben sich die beiden ersten Glieder
          <br/>
        dieses Ausdruckes gegen das zweite des obigen weg; das letzte
          <br/>
        läßt sich mit dem ersten des obigen Ausdruckes vereinigen.
          <br/>
        Setzt man noch</p>
        <center class="par-math-display">
          <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916113x.png" alt="gmn Am = An, " class="par-math-display"/>
        </center>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">wobei
          <span class="cmmi-12">A</span>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17"/>
            </span>
          </sup>
        ebenso wie
          <span class="cmmi-12">A</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
            </span>
          </sub>
        ein frei wählbarer Vektor ist, so er-
          <br/>
        hält man endlich</p>
        <table width="100%" class="equation">
          <tr>
            <td>
              <a id="x1-45r35"/>
              <center class="math-display">
                <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916114x.png" alt="P = V~ -1---@--( V~ -g-An) . - g@ xn " class="math-display"/>
              </center>
            </td>
            <td width="5%">(35)</td>
          </tr>
        </table>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">Dieser Skalar ist die
          <span class="cmti-12">Divergenz </span>
        des kontravarianten Vierer-
          <br/>
        vektors
          <span class="cmmi-12">A</span>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17"/>
            </span>
          </sup>
          <span class="cmmi-12">.</span>
        </p>
        <p class="indent">
          <span class="cmti-12">,,Rotation“ des </span>
        (
          <span class="cmti-12">kovarianten</span>
        )
          <span class="cmti-12">Vierervektors. </span>
        Das zweite
          <br/>
        Glied in (26) ist in den Indizes
          <span class="cmmi-12">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle"/>
          </span>
        und
          <span class="cmmi-12">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17"/>
          </span>
        symmetrisch. Es ist
          <br/>
        deshalb
          <span class="cmmi-12">A</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17"/>
            </span>
          </sub>
          <span class="cmsy-10x-x-120">-</span>
          <span class="cmmi-12">A</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17"/>
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
            </span>
          </sub>
        ein besonders einfach gebauter (anti-
          <br/>
        symmetrischer) Tensor. Man erhält</p>
        <table width="100%" class="equation">
          <tr>
            <td>
              <a id="x1-46r36"/>
              <center class="math-display">
                <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916115x.png" alt=" @-Am- @ An- Bm n = @ x - @ x . n m " class="math-display"/>
              </center>
            </td>
            <td width="5%">(36)</td>
          </tr>
        </table>
        <p class="nopar"/>
        <p class="indent">
          <span class="cmti-12">Antisymmetrische Erweiterung eines Sechservektors. </span>
        Wendet
          <br/>
        man (27) auf einen antisymmetrischen Tensor zweiten Ranges
          <br/>
          <span class="cmmi-12">A</span>
          <sub>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17"/>
            </span>
          </sub>
        an, bildet hierzu die beiden durch zyklische Vertauschung
          <br/>
        der Indizes
          <span class="cmmi-12">
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle"/>
          ,
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17"/>
          ,
            <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi12-1b.png" alt="s" class="12x-x-1b"/>
          </span>
        entstehenden Gleichungen und addiert
          <br/>
        diese drei Gleichungen, so erhält man den Tensor dritten
          <br/>
        Ranges</p>
        <table width="100%" class="equation">
          <tr>
            <td>
              <a id="x1-47r37"/>
              <center class="math-display">
                <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/Einst_Grund_de_1916116x.png" alt=" @-Am-n @-An-s @-Asm- Bm n s = Am ns + Ansm + Asm n = @ xs + @ xm + @ xn , " class="math-display"/>
              </center>
            </td>
            <td width="5%">(37)</td>
          </tr>
        </table>
        <p class="nopar"/>
        <p class="noindent">von welchem leicht zu beweisen ist, daß er antisymmetrisch </p>
        <p class="indent">
          <span class="cmti-12">Divergenz des Sechservektors. </span>
        Multipliziert man (27) mit
          <br/>
          <span class="cmmi-12">g</span>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-16.png" alt="m" class="cmmi-8x-x-16" align="middle"/>
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-b.png" alt="a" class="8x-x-b"/>
            </span>
          </sup>
          <span class="cmmi-12">g</span>
          <sup>
            <span class="cmmi-8">
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17"/>
              <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Grund_de_1916/fulltext/img/cmmi8-c.png" alt="b" class="cmmi-8x-x-c" align="middle"/>
            </span>
          </sup>
        (gemischte Multiplikation), so erhält man ebenfalls
          <br/>
        </p>
      </body>
    </html>
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